Concours Centrale Supélec

Laurent Llabres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2007 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI Partie I - Calculs préliminaires Dans tout ce problème et désignent deux nombres réels, est strictement positif. I.A - Montrer que la fonction définie sur par admet un prolongement par continuité à . On le note encore . Montrer que est intégrable sur puis que est intégrable sur . I.B - I.B.1) Soit un réel tel que . Montrer que l'on a : . I.B.2) En déduire la convergence de ainsi que l'égalité : . I.C - Si est un segment réel et si est une application de classe de dans montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que admet une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite. I.D - I.D.1) Soit et la fonction définie sur par . Montrer que admet un prolongement par continuité en . En déduire la convergence de . I.D.2) Calculer puis, en calculant , en déduire . a v a ? IR* ? x( ) x( )sin( ) 2 x2 ----------------------= IR ? ? IR+ ? IR b 0 a b< < y( )sin y --------------- d y a b∫ 1 y

• filière tsi


• ∞? ?v


• application de classe


• ir ir??


• prolongement par continuité


• intégrale définissant par le changement


• ordre des intégrations dans la définition


• ∞∫


• concours centrale -supélec

Sujets

• Continuité uniforme

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES I

MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Partie I - Calculs préliminaires Dans tout ce problème a et v désignent deux nombres réels, a est strictement positif. * I.A -Montrer que la fonction ϕ définie sur IR par 2 (sin(x)) ϕ(x)= - admet un prolongement par continuité à IR . 2 x On le note encore ϕ . + Montrer que ϕ est intégrable sur IR puis que ϕ est intégrable sur IR . I.B - I.B.1) Soit b un réel tel que 0<a<b . Montrer que l’on a : b b b - b b sin(y)1–cos(y)1–cos(y)1–cos(y) 2 - dy= - + - dy= - +ϕ(x)dx . ∫ ∫ a y y a ∫ a y a - 2 a y 2 +∞ sin(y) I.B.2) Endéduire la convergence de - dy ainsi que l’égalité : ∫ 0 y +∞+∞ sin(y) 2 - dy=ϕ(x)dx . ∫ 0 y ∫ -∞ 1 I.C -Si [α,β]  estun segment réel et si h  estune application de classe C  de β itv [α,β]  dans IC  montrer,à l’aide d’une intégration par parties, que h(t)edt α admet une limite lorsque v tend vers +∞ et déterminer cette limite. I.D - π I.D.1) Soit n∈IN et h la fonction définie sur 0, - par n 2 sin((2n+1)t) h(t)= - . n sin(t) Montrer que h admet un prolongement par continuité en 0 . n π - 2 sin((2n+1)t) En déduire la convergence de I= - dt . ∫ 0 sin(t) n I.D.2) Calculer I puis, en calculant I–I , en déduire I . 0n+1n n

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Filière TSI

Filière TSI

π I.D.3) Soit h l’application définie sur 0, - par 2 1 1 h(t)= - – - . sin(t)t a) Donnerun développement limité de h d’ordre 1 en 0 . π b) Endéduire que h admet un prolongement continu et dérivable à 0, - . 2 On le note encore h . Préciser h(0) et h′(0) . 1 π c) Montrerque h est de classe C sur 0, - . 2 d) Endéduire que π - 2 sin((2n+1)t)h(t)dt tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ . ∫ 0 e) Pour n∈IN on pose π - 2 sin((2n+1)t) J= - dt . ∫ n 0 t Montrer que cette intégrale est convergente puis que la suite (J) converge n n∈IN π vers - . 2 +∞+∞ sin(y) En déduire les valeurs de - dy et de ϕ(x)dx . ∫ 0 y -∞ I.E - I.E.1) Onconsidère à nouveau la fonction ϕ définie dans la première ques- tion et on pose, pour u∈IR , ψ (u)=aϕ(a(u–v)) . v On a ainsi : 2  [ sin(a(v–u))] pourv≠u,ψ (u)= -  v 2  a(v–u)  etψ (v)=aϕ(0)  v Montrer que ψ est continue et intégrable sur IR . v +∞ I.E.2) Montrerque, lorsque v→+∞ , ψ(u)du→ π . v 0 I.F -Montrer que, pour tout nombre réel u , 2a t it(u–v)   1– - edt=2ψ(u) . v   –2a 2a

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I.G - (1–σ)u I.G.1) Montrerque, pour tout réel σ ≥1 , uaψ(u)e intégrable sur est v + IR . +∞+∞ (1–σ)u I.G.2) Montrerque ψ(u)edu vers tend ψ(u)du  lorsque σ  tend v v 0 0 vers 1 par valeurs supérieures.

Partie II - Dans cette partie : • ondésigne par (β ) une suite de nombres réels positifs tels que : n n∈IN -s (P)  lasérie βn converge pour tout nombre complexe s vérifiant 1 ∑ n R e(s) >1 où R e(s) désigne la partie réelle de s ; • ondésigne par B une fonction continue et croissante de [1,+∞[ dans IR telle que n * (P)∀n∈IN , B(n)=β ; 2 ∑ k k=1 • onpose, pour tout réel x≥1 et tout complexe s vérifiant R e(s) >0 , B(x) -s   F(x)= - –1x . s   x On suppose que (P)F est intégrable sur [1,+∞[ . 3s +∞ R s • Ondéfinit ainsi pour tout complexe s vérifiant e(s) >0 , G(s)=F(x)dx . ∫ 1 On suppose que +*  IR×IR→IR +* (P)  lafonction  est continue sur IR . ×IR 4 (σ,t)aG(σ+it) Dans toute la suite, on considère un nombre réel σ strictement supérieur à 1 . * II.A -On pose, pour tout n∈IN , n–1 -σ-σ u=B(k)(k–(k+1) ) . ∑ n k=1 II.A.1) Montrerque la suite (u) est croissante. n * n∈IN

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MATHÉMATIQUES IFilière TSI II.A.2) Ona B(k)–B(k–1)=β . Exprimer u en fonction de k n n–1 -σ-σ u βk et de B(n–1)n et en déduire que ( n ) * converge. ∑ n k ∈IN k=1 -σ II.A.3) Endéduire la convergence de la suite (B(n)n) . * n∈IN -σ II.A.4) Enutilisant la croissance de B en déduire que la fonction xaB(x)x admet une limite finie en +∞ . II.B - II.B.1) Transformerl’intégrale définissant G par le changement de variable u x=e . On pose, pour tout v appartenant à [0,+∞[ , 2a t itv   H(a,v)=G(σ+it)1– - edt . ∫ –2a   2a II.B.2) Montrerque : 2a+∞ –u u-(σ–1)u   H(a,v)≤ (e B(e)–1)edudt . ∫  ∫  –2a0 En déduire l’existence d’une constante K telle que : ∀v∈]0,+∞[ , H(a,v)≤4aK . II.B.3) Eninversant l’ordre des intégrations dans la définition de H(a,v) (on admettra que l’inversion est possible), montrer que : +∞ –u u(1–σ)u H(a,v)=2(e B(e)–1)eψ(u)du . ∫ v 0 II.C - -σu u II.C.1) Montrerque, pour tout σ >1 , la fonction uae B(e)ψ(u) est intégra- v + ble sur IR . Indication : on pourra utiliser la question II.A.4. II.C.2) Montrerque, pour tout σ >1 , la fonction 0 +∞ -σu u σae B(e)ψ(u)du est continue sur ]σ ,+∞[ . ∫ v0 0 Elle est donc continue sur ]1,+∞[ et on admettra de plus que : +∞ -σu +∞ u-u u lime B(e)ψ(u)du=e B(e)ψ(u)du . ∫ ∫ v v σ → 1 00 σ >1

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MATHÉMATIQUES I II.D -Montrer que : 2a2a t itv t itv limG(σ+it)(1– - )edt=G(1+it)(1– - )edt . σ →1 ∫ –2a 2a ∫ –2a 2a σ >1

Filière TSI

II.E -Montrer que : 2a+∞+∞ t itv-u u G(1+it)(1– - )edt+2ψ(u)du=2e B(e)ψ(u)du . 2a ∫ ∫ v v –2a0 0 II.F - II.F.1) Enadmettant que le résultat de la question I.C reste valable si on sup- pose seulement la continuité de la fonction h , montrer que : 2a t itv limG(1+it)(1– - )edt=0 . ∫ v→+∞ –2a 2a +∞ -u u II.F.2) Endéduire : lime B(e)ψ(u)du=π . ∫ v v→+∞  0 ••• FIN •••

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