Concours Centrale Supélec

Michel Andr”Ani

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2001 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière PC Préliminaire On rappelle qu'une fonction de dans est bornée par un réel si la fonction est majorée par : . 1) Soit un entier supérieur ou égal à . En calculant de deux façons différen- tes le développement limité à l'ordre à l'origine de la fonction mon- trer que : 2) Prouver que si est une suite croissante de réels strictement positifs et , des entiers tels que , on a : . Partie I - I.A - Soit une fonction de classe et de classe par morceaux de dans telle que et soient bornées sur respectivement par et . I.A.1) En écrivant, pour , l'inégalité de Taylor-Lagrange entre et et entre et , montrer que : . I.A.2) En déduire que est bornée par . I.B - I.B.1) Montrer de même que, si est de classe et de classe par mor- ceaux de dans , telle que et soient bornées sur respectivement par et , on a : . I.B.2) est-elle également bornée sur ? ? IR IR K 0> ? K x IR ? x( ),?? K≤ m 1 m ex 1–( )m 1–( )m k– Cm k k j k 1= m ∑ 0m! si j est un entier entre 1 et m 1,– si

• norme de la convergence uniforme


• k–


• ir m0


• inégalité de taylor-lagrange


• entier naturel


• concours centrale -supélec

Sujets

• Entier naturel

Informations

• Publié par: larec
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français

Extrait

MATHƒMATIQUES IFiliËre PC MATHƒMATIQUES I

PrÈliminaire

On rappelle quÕune fonction  de IR dans IR est bornÈe par un rÈel K>0 si la fonction  est majorÈe par K : xIR,(x) K . 1)Soit m un entier supÈrieur ou Ègal ‡ 1 . En calculant de deux faÁons diffÈren- m x tes le dÈveloppement limitÈ ‡ lÕordre m ‡ lÕorigine de la fonction (e  Ð1) mon- trer que : m mÐjk k  0 si j est un entier entre 1 et mÐ1, )C k (Ð1 m =  m! si j=m. k=1 2)Prouver que si (u) est une suite croissante de rÈels strictement positifs et k , k n des entiers tels que 1kn , on a : n k (u uu() u uu) . 1 2k1 2n

Partie I - 1 2 I.A -Soit f une fonction de classe C et de classe C par morceaux de IR dans IR telle que f et f soient bornÈes sur IR respectivement par M et M . 0 2 I.A.1) EnÈcrivant, pour h>0 , lÕinÈgalitÈ de Taylor-Lagrange entre x et x+h et entre x et xÐh , montrer que : M Mh 0 2 xIR,f(x) - + - . h2 I.A.2) EndÈduire que f est bornÈe par 2M M . 0 2 I.B - 2 3 I.B.1) Montrerde mÍme que, si f est de classe C et de classe C par mor- (3) ceaux de IR dans IR , telle que f et f soient bornÈes sur IR respectivement par M et M , on a : 0 3 13 1 2 xIR,f(x) - (9M M) . 0 3 2 I.B.2) f est-elle Ègalement bornÈe sur IR ?

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MATHƒMATIQUES I

FiliËre PC

FiliËre PC

Dans toute la suite du problËme, n est un entier naturel supÈrieur ou Ègal ‡ 2 .

Partie II - nÐ1n Soit f une fonction, non constante, de classe C et de classe C par morceaux (n) de IR dans IR telle que f et f soient bornÈes sur IR respectivement par M 0 et M . n II.A -En utilisant la question 1) du prÈliminaire ainsi que lÕinÈgalitÈ de Taylor- Lagrange ‡ lÕordre n appliquÈe ‡ la fonction f entre les valeurs x et x+h pour (nÐ1) h=1,2,, nÐ1 , montrer que la fonction f est, elle aussi, bornÈe sur IR . (k) II.B -En dÈduire que toutes les dÈrivÈes f bornÈes pour sont 0kn . On (k) note alors M= sup f(x). k xIR II.C - II.C.1) Montrerque pour tout entier k tel que 0kn , on a M>0 . k M kÐ1 k II.C.2) Enutilisant la suite Þnie (u) avec u=2 - , en dÈduire k k 1kn M kÐ1 que pour tout entier k entre 0 et n , on a : k(nÐk) -------------------- 2 1Ðkn kn M2M M . k0n Est-ce la meilleure majoration possible ?

Partie III -

E  (respectivement F ) dÈsigne lÕespace des fonctions continues par morceaux (respectivement continues) de IR dans IR telles que f(x+1)+f(x)=0 pour tout rÈel x . On admettra ÑcÕest ÈvidentÑ que ce sont des sous-espaces vectoriels rÈels de lÕespace de toutes les fonctions bornÈes de IR dans IR que lÕon munit de la norme de la convergence uniforme, notÈe ici N et dÈÞnie par N(f)=supf(x) . xIR

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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC III.A -DÈmontrer que pour toute fonction f dans E , il existe g unique dans F telle que, en tout point x  o˘ f continue, on a est g(x)=f(x) . On note alors g=T(f) ou g=Tf et lÕon dÈÞnit ainsi une application T de E dans E . III.B -On considËre la fonction  de E telle que : 0 (0)=0,(x)=1 si x] 0;1[ . 0 0 1 *k kÐ1k On pose T=T et si kIN , T=T T , puis pour k1,=T() . o k0 III.B.1) DÈtermineret reprÈsenter graphiquement sur le segement [0;2]  les fonctions  pour k=0,1,2,3,4 . Dans toute la suite , on notera =N() . k kk III.B.2) Montrerque pour tout kIN et tout xIR , k+1k (Ðx)=(Ð1) (x) et (1Ðx)=(Ð1) (x) . k kk k III.B.3) Montrerque, pour k1 , k k =(Ð1) (12) et =(Ð1) (0) . 2k2k2kÐ1 2kÐ1 III.C - III.C.1) Soit fE . Montrer que : x x xIR,2T f(x)=f(t)dt+f(t)dt .   0 1 III.C.2) EndÈduire que, pour tout fE , on a 2N(Tf)N(f) . III.D -DÈterminer les fonctions f de norme 1 de E telles que : 1 N(Tf)= - . 2 III.E -Montrer quÕil nÕexiste pas de fonction f norme de 1  dans F  telleque : 1 N(Tf)= - . 2 III.F -Soit maintenant p un entier naturel non nul et f une fonction de classe nÐ1n C et de classe C par morceaux de IR dans IR telle que f(x+2p)=f(x) pour tout rÈel x . III.F.1) a) Montrerque si f a q zÈros distincts sur [0;2p[ , alors f a au moins q zÈros distincts sur [0;2p[ . b) Montrerque si f et f ont exactement q zÈros distincts sur [0;2p[ ,alors elles nÕont aucun zÈro commun. III.F.2) Pourtout rÈel  tel que 0<  <1 et tout rÈel  , on dÈÞnit la fonction l : xa(x)Ðf(x+) . n

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MATHƒMATIQUES IFiliËre PC (n) (nÐ1) a) Onsuppose que N(f)1 . Montrer que l sÕannule au plus 2p fois sur [0;2p[ . b) On suppose que N(f)  . Montrer que l au moins sÕannule 2p  foissur n [0;2p[ . (n) (k) c) EndÈduire que, si N(f)  et N(f)1 , les l pour k=1,2, ,nÐ1 ont n exactement 2p zÈros sur lÕintervalle [  0;2p[ . III.F.3) Onsuppose f non constante. a) Montrerque lÕon peut trouver  et  dans [  0;2p[ tels que :  nÐ1 f()=N(f),()= - f() . n N(f) On pose alors h(x)=(x)Ðf(x+Ð)N(f) . n nÐ1 b) Icion suppose n3 . VÈriÞer que h()=h()=0 . c) EndÈduire que : (n) ( N(f)  et N(f)1 ) N(f)   . n ( nÐ1 ) d) Montrerque cette derniËre implication est encore vraie pour n=2 . n III.G -Montrer quÕil existe une fonction  de classe C de I  R dans [0;1] valant 1 sur le segment [Ð12;12] et 0 en dehors du segment [Ð1;1] (on pourra utili- x n ser la fonction xasin(t)dt sur le segment [0;] ).  0 nÐ1n III.H -Soit maintenant f une fonction de classe C et de classe C par mor- (n) ceaux de IR dans IR telle que f et f soient bornÈes sur IR et pour laquelle : (n) N(f)  et N(f)1 . n Soit  un rÈel de lÕintervalle [0;1[ . Pour tout entier naturel p non nul, on note f la fonction de pÈriode 2p telle que : p f(x)=f(x)(xp) pour xp . p (n) III.H.1) Montrerque f par morceaux surest continue IR et que lÕon a, pour p p assez grand, (n) N(f)  et N(f)1 . p np III.H.2) EndÈduire que lÕon a encore N(f)   . nÐ1 nÐ1n III.I -Soit f une fonction de classe C et de classe C par morceaux de IR (n) dans IR telle que f et f soient bornÈes sur IR . Montrer que, pour tout entier (k) k compris entre 0 et n , f est bornÈe et que lÕon a : kn (k)1Ðkn(n)1Ðkn N(f) N(f)N(f)  . nÐk n (On pourra utiliser une fonction du type xaa f(bx) ).

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MATHƒMATIQUES I

Partie IV -

FiliËre PC

IV.A -On dÈÞnit, pour p supÈrieur ou Ègal ‡ entier 2 , la fonction   de F , p 1 1 11 afÞne sur 0; - , - ;1Ð - et 1Ð - ;1 et vÈriÞant : p p pp 1 1 (0)=(1)=0, (-)=(1Ð - )=1 . p pp p p p En utilisant le III.C, montrer que, pour tout entier naturel n , on a : n limN(T())= . p n p!+   IV.B -En dÈduire que lÕinÈgalitÈ du III.I ne peut Ítre amÈliorÈe.

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