On rappelle les notations usuelles pour les ensembles de nombres : Nest l’ensemble des entiers naturels positifs{0,1,2, . . .}, Zest l’ensemble des entiers relatifs{. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}, Q l’ensemblesest l’ensemble des rationnels, i.e. des fractions
a b,
aveca∈Zetb∈N\ {0}. Pour chacun de ces ensembles, l’ajout de∗signifie que l’on exclut 0 de l’ensemble :N∗,Z∗,Q∗. Q+est l’ensemble des rationnels positifs. L’ensembleQstunensembled´eja`ibneofruinedonrembPas.xerelemp,e aucun rationnelq∈Qn’admet de “suivant” dansQ effet, si on regarde. En l’ensemble A={p∈Q;p > q}
alorsAl´´eenemspluitetapa’pedsntp,uotruo.tnEffetep∈ A, on a p−q∈Q∗+et doncp−(p−q)/e´le´nutedtnemes2A, plus petit quep. Uneautrefac¸ondedirelameˆmechose:dansn’importequelintervalle (rationnel) autour d’un rationnelqslenene(,teffisinfinit´ederationiyluaen ce ’´tait pas le cas, il y aurait un nombre fini de rationnels dans ]q, q+ 1/2[ n e et donc il y aurait un plus petit). Etpourtantlesrationnelssontloinsd’ˆetresuffisants,ladiagonaled’un carr´edecoˆt´e1mesure√ortnome´D.lennoiatnrsupast’einqul-s2niS.e√2
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CHAPTER 1.
´ LES NOMBRES REELS
est un rationnela/b, alors on peut toujours mettre la fractiona/bsous forme re´duite,i.e.sansdiviseurcommun.Notonsc/daOne.itecttefractionr´edu
2 dc2= 2
doncc2= 2d2. Ainsic2est pair, ce qui implique quecund’cale´erria(rsept impair est impair). Doncc= 2c0, ce qui donned2= 2c02etdest pair aussi. Cequicontreditl’hypoth`eseinitialedeprimalit´eentrecetd. Donc√2 n’est pas rationnel. C’est d’ailleurs le cas de toutes les racines ca ´ i ne sont rrees qu pasdesentiers(nonde´montr´eici). Uneautrefacondedirelamˆemechoseestdeconside´rerl’ensemble ¸
B={q∈Q;q2<2}.
C’est un sous-ensemble deQpmelap3r(eaperex/2),li,ade`itrotbesn´or maispourtantiln’apasdeplusgrande´l´ement.Montronsle.Eneffet,si q∈ B, alors de deux choses l’une, soitqest plus petit que 1 auquel cas il est faciledetrouverun´ele´mentdansBqui soit plus grand (par exemple 5/4), soitq Dansest plus grand que 1. ce cas, posons
2−q2 ε=. 3q
Alorsεest rationnel, positif et plus petit queq (. Calculonsq+ε)2, on trouve
q2+ 2εq+ε2
qui est strictement plus petit que
q2+ 3qε ,
c’est`adireque2.Donc`atout´ele´mentdeBunel´ementplustiasnoreicossa ´ grand, toujours dansBsnadrgsu´dnae´letnem.I’ylnasappldeB. C’est ce genre de “trous” dans l’ensembleQleo’uqrmble`acorchenche avecl’ensembledesr´eelsR.
1.2
Ensemblesordonne´s
On dit qu’un ensembleXestrdoen´ons’il est muni d’une relation≤, entre ´el´ementsdeXqui satisfait i)x≤x, pour toutx∈X,
1.2.
´ ENSEMBLES ORDONNES
ii) six≤yety≤xalorsx=y, iii) six≤yety≤z, alorsx≤z. Ensuiteonutilisedesnotations´evidentescomme x≥ypoury≤x x < ypourx≤yetx6=y
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etc. Par exempleQavec la relation usuelle≤elroesbmnuneetsussiaisa´e.Mdonn l’ensembleP(E) de toutes les parties deE, muni de l’inclusion d’ensemble ⊂est un ensemble ord ´ si. onne aus
est muni d’unordre totalsi tous les
Onditqu’unensembleordonne´X e´l´ementsdeXsont comparables : “pour toutx, y∈Xon ax≤you bieny≤x.” C’est le cas pour (Q,≤), mais ce n’est pas le cas pour (P(E),⊂).
SoitXn´eetbleordonuensnmeA⊂Xune partie deX. UnmajorantdeA tu´el´ementm∈Xtel quea≤mpour touta∈A le sous-ensemble. Si es n Aadmet un majorant, ce qui n’est pas toujours le cas, on dit queAest bornesupe´rieurement, ou queAestojame´rmˆDeeuemn.minorantdeAest ´ unele´mentn∈Xtel quea≥npour touta∈A. Si le sous-ensembleA ´ admet un minorant, ce qui n’est pas toujours le cas, on dit queAestebro´n infe´rieurement, ou queAesteim´ron. On dit queAnetl´emun´edmetamaximals’il admet un majorant qui appartienta`A. Autrement dit s’il existea0∈Atel quea≤a0pour tout a∈A. Un tela0est forcement unique (exercice), on le note maxA. De meˆmeonditqueA´eunetdmteneml´aminimals’il admet un minorant qui appartient`aA. Autrement dit s’il existea1∈Atel quea≥a1pour tout a∈A. Un tela1est forcement unique (exercice), on le note minA. Enfin, on note supA, le plus petit des majorants deA De, s’il existe. meˆme,onnoteinfAle plus grand des minorants deA que Notez, s’il existe. supAest encore un majorant deAet que infAest encore un minorant de A que sup. NotezAde´eelntmeeˆrtue´narsino’d’aaucunenA, si c’est le cas on a forcement supA= maxA(exercice). Voyons quelques exemples, dans le casX=Q. Dans le casA=]−1,xmaee´rnimte´roanO.tensembleestmajo1.]eCA= 1, pas de min, on a supA= 1 et infA=−1. Dans le casA= [2,+∞rjomaasaOne.semtniroe´m,iaps[.Cetensemble ´ pas de max, mais minA= 2, on a pas de sup et infA= 2. Pour le casA={q∈Q;q2<2}ajtm´eormbseeslec,neteniroe´.amsiapms Il n’a pas de max, pas de min, pas de sup, pas de inf.
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1.3
Le
corps
des
CHAPTER 1.
´ LES NOMBRES REELS
nombresre´els
Theoreme 1.3.1 (Fondamental)Il existe un corpsRdonn´e,tloetmaentor ´ ` qui contientQeqtiueti´qu´eapalprroeitrvnonuoteapetdmet´eeaajoridem unebornesupe´rieure.
Rappelons que parcorpson entend queRest muni d’une addition + et d’une multiplication.internes telles que : •e:blsidaid’lsectitnotatiommussocve,ad,evitaieme´le´’reutnenternvti0e
•la multiplication est commutative, versible (sauf pour 0) :
associative,
ab=ba a(bc) = (ab)c 1.a=a ∗ ∀a∈R,∃a−1∈R∗;
d’´el´ement
a.(a−1) = 1,
•la multiplication est distributive sur l’addition :
a(b+c) =ab+ac .
neutre
1,
in-
La construction deRe,guontlenememr`vedupreuetlaettxemseroe`hte´ nous ne la ferons pas. L’essentiel est de retenir que dansR, toute partie non videmajore´eadmetunsup.Onende´duitfacilementquetoutepartienon videminor´eeadmetuninf(exercice).Cen’´etaitpaslecasdeQ, comme on l’a vu dans l’exemple 3. DansRon a par exemple, si