Cours sur les suites l'intégrale et l'algèbre linéaire élémentaire

Driss Boularas

Description

Niveau: Supérieur
Driss Boularas MATHEMATIQUES Premiere annee deuxieme semestre annee universitaire 1997 - 1998 1

• premiere annee


• y2 ≥


• deuxieme semestre


• demi-axe positif des ordonnees et du sommet


• annee universitaire

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Driss Boularas

´ MATHEMATIQUES

Premie`reann´ee

deuxie`mesemestre

anne´euniversitaire1997-1998

1

Chapitre

Rappels

0.1

0

Ensembles

et

ope´rationssurlesensembles

Lanotiond’ensembleestintuitive.Samanipulationestpre´cis´eeparlesop´erations d´efiniesci-dessous.Lespremiersexemplessontceuxdesensemblesdenombres. Notations “usuelles” des ensembles de nombres :

N: ensemble des nombres entiers naturels, Z: ensemble des nombres entiers relatifs, Relssr´embreesnolbdesnmee:, C: ensemble des nombres complexes, R " :{x!R;x#0}, R ! + :{x!R;x >0},

N ! :{x!N;x"= 0}, Q: ensemble des nombres rationnels, R ! :{x!R;x= 0}, C ! :{x!C;x"= 0}, R + :{x!R;x$0}, R ! " :{x!R;x <0}.

Demanie`reg´ene´rale,lesensembleslespluscourantssontlesensemblesdenombres,de pointsg´eome´triques(duplanoudel’espace)oudefonctions(dontlade´finitionsera donn´eeplustard).

0.1essnnuedserpmelb´emen´elchacntdeuretiCc´´eenedts

0.1.1

Parties d’un ensemble

SoitEun ensemble quelconque. Une partie deEstmenel´´eestlonedblemsnenutse appartiennenta`E. Exemples 1. On poseE=R 2 . Les ensemblesA={(x, y)!R 2 ;|x|<1}et B={(x, y)!R 2 ;x et= 1y$1}sont bien des parties deE.

2.

3.

SiEmbleensen,l’uplaesengnelceatedrsst´dsembsedeleneigenl’e`tadserauqslird une partie.

SoitEofcnitnodse´nfieisdanssedelbmesne’lRsnad,`avaleursRet continues. L’en- semble des fonctions polynomiales est une partie deE.

3

4

CHAPITRE 0. RAPPELS

0.2 ntant ´En reR 2 srtieseiserd,seapenlre`t´orpp`eepnrauraparnalpnuAetBde prese l’exemple 1.

0.3tieduplan?resese-tlinuperaedblquesriadt`lae’lmesn

0.4des fonctions rationnelles n’est pas une partie deL’ensemble Ede l’exemple 3 ci- dessus. Pourquoi ?

On noteP(E), l’ensemble des parties de l’ensembleE. SiAest une partie deE, on note

A%E

ouA!P(E).

Un cas particulier de partie deEeparsigned´e.Onlivedbmelneests’le&.

0.1.2

Re´union

SoientAetBdeux parties deE.apOnllpee´reoinuednAet deBla partie deE, note´eA'Brpae,dte´nfiei

A'B={x!E;x!Aoux!B}.

Exemple :E=R 2 , A={(x, y)!R 2 ;|x|<1}, B Dessiner la partieA'B.

={(x, y)!R 2 ;x

= 1 ety$1}.

Dans la suite l’ensemble d’indicesI” est une partie deNouZ, (en particulierNouZ toutentiers),toutensachantquel’onpeutde´finirplusge´n´eralementcettenotion. Defac¸onanalogue,ond´efinitlar´euniond’unefamilledeparties(A i ) i#I deEo,u`I estunensembled’indicesdonn´e.Onappeller´euniondelafamille(A i ) i#I entiarapltoe´e ! A i e´tgeale`a i#I ! A i ={x!E;(i!Iafiirtne´vx!A i }.

i#I Exemple :SiE=R, I=N ! etA i = ])i, i[, alors ! A i = i#I

0.1.3

Intersection

R.

SoientAetBdeux parties deE. On appelle intersection deAet deB, la partie de E,on´teeA*B`la,get´e e a

A*B={x!E;x!Aetx!B}.

Exemple :E=R 2 , A={(x, y)!R 2 ;x 2 +y 2 <1}, B={()1,0),(0,)1),(1,0),(0,1)}.

A*B

=&.

´ 0.1. ENSEMBLES ET OP ERATIONS SUR LES ENSEMBLES

5

Defa¸conanalogue,ond´efinitl’intersectiond’unefamilledeparties(A i ) i#I deE`uo,Iest unensembled’indicesdonn´e.Onappelleintersectiondelafamille(A i ) i#I ot´eelentiarap

" A i et´egla`ea i#I " A i ={x!E;+i!xI,!A i }. i#I Exemple :E=R, I=N ! , A i = ]) 1 , i 1 i [, " A i ={0}. i#I

0.1.4

Di!teisblemnseence´er

SoientAetBdeux parties deE. On appelle di!´enerencembseiltsdeeAet deB, la partie deE,not´eeA\Be´te,a`elag

A\B={x!A;x /!B}.

Exemple :On poseE=R 2 , A={(x, y)!R 2 ;x 2 < y}, B={(x, y)!R 2 ;x= 0}, C={(x, y)!R 2 ;y= 0}. Les partiesA\BetA\Ctnalaptroseeriv´olepbarapaledsusseduea´etusianplduie respectivementdudemi-axepositifdesordonn´eesetdusommet(0,0).

0.5erirce´dA\(B'C) etA\(B*C).

0.1.5Comple´mentaire

Un cas particulier de la di!ucomageapassstle.iaeremtnlpe´re´ceenseenlimbeest Onappellecomple´mentairedelapartieAdansE, la partie deE,on´teeE\A,tee´lega`a

Exemple :E=R 2 ,

0.1.6

E\A={x!E;x"!A}.

A={(x, y)!R 2 ;x 2 +y 2 <1}.

E\A={(x, y)!R 2 ;x 2 +y 2 $1}.

Produitcart´esien

SoitEetFseenlembOns.peapxuedsiendellpeorudtiactre´EparF,l’enet´nolembse E,F´le´sede´utitsncome(aforsdelmenta, b) aveca!E, b!Ftentfielaivquri´e e proprie´te´ (a, b) = (a $ , b $ )-.(a=a $ ) et (b=b $ ).

Onde´duitparre´currencesurn´traeisedorpctiuendnitiondulad´efinensembles (n$2). C’estainsiquel’ond´efinitlesensemblesde´jaconnusdesnnombresr´eelsdetsleup-R n ou ` de nombres complexesC n .

Onappelleapplicationl’objetmathe´matiquenot´ef:E)/Fou`EetFsont des ensembles etftout´el´ementseopdnnaecuq,ia`rrcolaxdeEassocie unet un seul ´ele´mentf(x) deF. Les ensemblesEetFtcviseepnortsdtetrape´dedeniaomsd´eelpptaenemomaine d’arriv´eedel’application. Les´el´ementsdeE´tnauosttnede´cepp’aelsdonticali.se´lejbotnoseppa Remarque :´dfieaLonqunitinvieel’oedtnnnod’nreptsesaassftisaaiecntraleelafti r´efe´rence`alanotiondecorrespondancequin’apase´te´de´finie.Uned´efinitionrigoureuse vous sera proposee plus tard. ´ On pose alorsy=f(x) et la lettrefindique la loi de correspondance qui lie les e´l´ementsdeEet ceux deForalnesuens’itsulI.ee:lis´usitrte`itnoonat

De´finitionetexemples

0.2.1

Applications

0.2

0.7SoitAetBdeux ensembles finis. Calculer le cardinal deA,B.

0.6cerura´r)euqercnesiM(pertroncard(E) =n, alorscard(P(E)) = 2 n .

Lecardinald’unensembleestlenombrede´ele´ments.Onlenote ses eˆtrefiniouinfini.

card(E). Il peut

0.1.7

Cardinal d’un ensemble

CHAPITRE 0.

RAPPELS

6

g:R/ x0/

f:R x

/ 0/

R x 2 ,

R x 2 ,

/ 0/

h:R + x

f:E/F

pourde´signeruneapplication.C’estcelle-l`aquenousadopteronsdanscecours.Ainsi,les applications

sont di!.setner´e Enfait,onade´ja`vuplusieursclassesd’applications.Ainsi,aupremiersemestredela premie`reann´ee,lesfonctionsre´ellesdevariabler´eelle(E%RetF%R) sont des appli- cationsparticulie`resdontonaapprofondil’´etude.Deˆsecodmestretoujours meme, au n se delapremi`ereann´ee,pourlessuitesdenombresr´eelsou`E%NetF%Ret les appli- cationsline´aires(E%R n etF%R m ).

Cetteanne´eetplustard,nous´etudieronsdesclassesd’applicationsplusg´´erales.O en n utilisera les notations suivantes :

l:R + x

/ 0/

R + x 2 .

R + x 2