Définition On note C l'ensemble des nombres complexes Un nombre complexe z C s'écrit de manière unique sous la forme algébrique

Vincent Jalby

Description

Niveau: Supérieur
CHAPITRE VII Les nombres complexes 1. Définitions Définition 1.1 On note C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe z 2 C s'écrit de manière unique sous la forme algébrique : z D x C iy où • x et y sont deux réels • i le nombre complexe vérifiant i2 D 1. On pose • R.z/ D Re.z/ D x. C'est la partie réelle de z. • I.z/ D Im.z/ D y. C'est la partie imaginaire de z. Opérations Soit z D x C iy et z0 D x0 C iy0 deux nombres complexes. • Égalité : z D z0 ” ( x D x0 y D y0 • Addition : z C z0 D .x C iy/C .x0 C iy0/ D .x C x0/C i.y C y0/ • Multiplication : zz0 D .x C iy/.x0 C iy0/ D .xx0 yy0/C i.xy0 C x0y/ Définition 1.2 Le conjugué de z D x C iy est le nombre complexe z D x iy Propriétés • z C z D 2x D 2Re.z/ • z z D 2iy D 2i Im.z/ • zz D x2 C y2 • z C z0 D z C z0 • zz0 D z z0 2.

• solution particulière


• solution réelle


• ck2 sinn


• equation différentielle linéaire


• solution générale


• degré


• k1 cosn


• u0 u0

Sujets

• Université de Limoges
• Équation différentielle linéaire

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 avril 2011
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Extrait

CHAPITRE VII Les nombres complexes

1. Dfinitions Dfinition 1.1 On noteCl’ensemble des nombres complexes. Un nombre complexez2Cs’Écrit de maniÈre unique sous la forme algÉbrique: zDxCiy oÙ •xetysont deux rÉels 2 •ile nombre complexe vÉrifiantiD 1. On pose •R.z/DRe.z/Dx. C’est la partie rÉelle dez. •I.z/DIm.z/Dy. C’est la partie imaginaire dez.

Oprations 0 0 0 SoitzDxCiyetzDxCiydeux nombres complexes. •Egalite : ( 0 xDx 0 zDz” 0 yDy •Addition : 0 0 0 0 0 zCzD.xCiy/C.xCiy /D.xCx /Ci.yCy /

•Multiplication : 0 0 0 0 0 0 0 zzD.xCiy/.xCiy /D.xxyy /Ci.xyCx y/

Dfinition 1.2 Le conjuguÉ dezDxCiyest le nombre complexe

zDxiy

Dfinition 2.1 Tout nombre complexe non nulzDxCiypeut s’Écrire de maniÈre unique sous la forme trigonomÉtrique

zD.cosCisin / •est le module du complexez. On le note aussijzj. On a p 2 2 jzj DxCy

•est l’argument du complexez. On le note aussiarg.z/. Il est dÉfini par x x y y cosD DpsinD Dp jzj jzj 2 2 2 2 xCy xCy

Proposition 2.2 Le module et l’argument d’un complexe vÉrifient les propriÉtÉs sui- vantes 1)jzj D0”zD0 2)jzj D jzj 0 0n n 3)jzzj D jzj jzjetjzj D jzj 0 0 4)jzCzj6jzj C jzj 0 0n 5) arg.zz /Darg.z/Carg.z /etarg.z /Dnarg.z/ 6) arg.1=z/D arg.z/ 7)jzj D jzjetarg.z/D arg.z/

Notation exponentielle On note i eWDcosCisin Tout nombre complexezpeut donc s’Écrire

i zD.cosCisin /De

On a laformule de Moivre:

i n i n eD.e/ n cosnCisinnD.cosCisin /

Proprits •zCzD2xD2Re.z/ 3. Èquations dans C •zzD2iyD2iIm.z/ Proposition 3.1 2 2 •zzDxCy Tout polynÔme de degrÉnÀ coefficients dansCadmet exactement 0 0 •zCzDzC z nracines dansC. 0 0 •zzDz z Proposition 3.2 2 SoitaxCbxCcD0une Équation du second degrÉ À coefficients 2. Forme trigonomtrique d’un complexe 2 rÉels etDb4acson discriminant. Le plan complexe • Si > 0, il y a deux solutions rÉelles distinctes : p p zDxCiy bbC y x 1 Detx 2 D 2a 2a Un nombre complexezDxCiy  2 • SiD0, il y a une solution rÉelle double : peut tre reprÉsentÉ dansRappelÉ alorsplan complexe. Le complexez b xD est appelÉaffixedu point.  2a 0 x • Si < 0, il y a deux solutions complexes conjuguÉes : On peut aussi reprÉsenterzpar ses coordonnÉes polaires.;  /2 p p Œ0;C1ŒŒ0; 2 Œ: bibCi zDetzD zD.cosCisin 2a 2a  /

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CHAPITRE VIII

Èquations rcurrentes linaires

1. Rappels sur les suites Suite arithmtique On dit que.u n / n est unesuite arithmÉtiquede raisonr2Rsi

On a alors

u nC1 Du n Cr

u n Du 0 Cnr

8n2N

8n2N

Suite gomtrique  On dit que.u n / n est unesuite gÉomÉtriquede raisonq2Rsi

On a alors

u nC1 Dqu n

n u n Du 0 q

8n2N

8n2N

er 2. Èquations rcurrentes du 1 ordre

Dfinition 2.1 Une Équation rÉcurrente linÉaire d’ordre 1 À coefficient constant est une Équation du type

.E/

u nC1 Dau n Cf .n/

oÙ.u n / n est une suite À dÉterminer.

8n2N

Proposition 2.2 L’Équation homogÈne (ou sans second membre) associÉe

.E 0 /

v nC1 Dav n

a pour solution la suite gÉomÉtrique de raisona:

n v n Da v 0

Proposition 2.3 Si.u n / n est une solution particuliÈre de.E/, la solution gÉnÉrale de .E/est alors

n u n Dv n Cu n Da v 0 Cu n

8n2N

En faisantnD0dans l’expression ci-dessus, on trouve

n u n Da .u 0 u 0 /Cu n

8n2N

Recherche d’une solution particulire Sif .n/DP .n/est un polynÔme, on cherchera une solution par- ticuliÈre sous la forme : •Q.n/sia¤1 •nQ.n/siaD1 oÙQ.n/est un polynÔme de mme degrÉ queP .n/.

n Sif .n/Dr, on cherchera une solution particuliÈre sous la forme n •krsir¤a

n •nkrsirDa

3. Èquations rcurrentes du 2nd ordre Dfinition 3.1 Une Équation rÉcurrente linÉaire du second ordre est une Équation du type

au nC2 Cbu nC1 Ccu n Df .n/8n2N.E/ L’Équation caractÉristique associÉe À.E/est l’Équation du second ordre 2 arCbrCcD0 .E c / 2 On noteDb4acle discriminant de cette Équation.

Remarque Si > 0, l’Équation.E c /À deux solutions rÉelles distinctes : p p bCb r 1 Detr 2 D 2a 2a SiD0, l’Équation.E c /À une solution rÉelle « double » : b rD 2a Si < 0, l’Équation.E c /À deux solutions complexes : p p bCibi rDetrN D 2a 2a Proposition 3.2 Soit l’Équation de rÉcurrence linÉaire du second ordre homogÈne (ou sans second membre)

au nC2 Cbu nC1 Ccu n D08n2N etle discriminant de l’Équation caractÉristique.

.E 0 /

• si > 0, la solution gÉnÉrale de.E 0 /est de la forme n n rC u n DK 1 1 K 2 r 2 oÙr 1 etr 2 sont les racines de l’Équation caractÉristique.

• siD0, la solution gÉnÉrale de.E 0 /est de la forme n u n D.K 1 nCK 2 /r oÙrest la racine double de l’Équation caractÉristique.

• si < 0, la solution gÉnÉrale de.E 0 /est de la forme n u n D .K 1 cosnCK 2 sinn / ˙i oÙe sont les racines complexes conjuguÉes de l’Équation caractÉristique.

Thorme 3.3 Soit l’Équation de rÉcurrence linÉaire du second ordre

au nC2 Cbu nC1 Ccu n Df .n/ Alors, toute solution de.E/est de la forme

oÙ

u n Dv n Cu n

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.E/

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•.u n /est une solution particuliÈre de.E/ •.v n /est la solution gÉnÉrale de

au nC2 Cbu nC1 Ccu n D0

.E 0 /

Recherche d’une solution particulire Sif .n/DP .n/est un polynÔme, on cherchera une solution par- ticuliÈre sous la forme : •Q.n/si1n’est pas racine de l’Équation caractÉristique •nQ.n/, si1est une racine simple 2 •n Q.n/, si1est racine double oÙQ.n/est un polynÔme de mme degrÉ queP .n/.

Recherche d’une solution particulire n Sif .n/Dq, on cherchera une solution particuliÈre sous la forme : n •Kq, siqn’est pas solution de l’Équation caractÉristique.E c / n •Knq, siqest solution simple de.E c / 2 n •Kn q, siqest solution double.E c /

Recherche d’une solution particulire ˛ n Sif .n/DeP .n/, on cherchera une solution particuliÈre sous la forme :

˛ n Q.n/e

˛ n nQ.n/e

2 ˛ n n Q.n/e

oÙQ.n/est un polynÔme de mme degrÉ queP .n/.

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a2R

Alors, toute solutionx.t /de.E/est de la forme

oÙ

Proposition 1.2 Soit l’Équation diffÉrentielle linÉaire homogÈne À coefficient constant er du 1 ordre

Thorme 1.4 Soit l’Équation diffÉrentielle linÉaire 0 x .t /Ca.t /x.t /Df .t /

• Si > 0, la solution gÉnÉrale de.E/est de la forme

.E/

•a.t /est appelÉ le coefficient •f .t /le second membre •x.t /l’inconnue Le but est de trouver toutes les fonctionsx.t /dÉfinies surI, dÉri- vables et solutions de.E/.

1. Èquations diffrentielles d’ordre 1 Dfinition 1.1 er On appelle Équation diffÉrentielle linÉaire du 1 ordre une Équation de la forme 0 x .t /Ca.t /x.t /D.E/f .t /

oÙrest la solution double de.E c /.

oÙ˛˙iˇsont les solutions complexes conjuguÉes de.E c /. Dans chacun des cas,K 1 etK 2 sont deux constantes rÉelles.

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˛t x.t /De.K 1 cosˇtCK 2 sinˇt /

0 x .t /Cax.t /D0

x.t /Dx g .t /Cx p .t /

oÙaetfsont deux fonctions continues connues dÉfinies sur un in- tervalleIdeR.

•x p .t /est une solution particuliÈre de.E/ •x g .t /est la solution gÉnÉrale de l’Équation homogÈne associÉe :

Recherche d’une solution particulire constante Soit 0 x .t /Ca.t /x.t /Df .t / une Équation diffÉrentielle et

: Variation de la

Proposition 1.3 er Soit l’Équation diffÉrentielle linÉairehomogÈnedu 1 ordre 0 x .t /Ca.t /x.t /D0 .E/

la solution gÉnÉrale de l’Équation homogÈne.E 0 /associÉe. On montre qu’il existe une solution particuliÈre de.E/de la forme

2 arCbrCcD0

00 0 ax .t /Cbx .t /Ccx.t /D0

et.E c /l’Équation caractÉristique associÉe

Proposition 2.2 Soit l’Équation diffÉrentielle homogÈne du second ordre À coefficients constants

.E/

oÙ •a; b; csont des rÉels fixÉs (a¤0) ; •fest une fonction continue dÉfinie sur un intervalleIdeR.

Dfinition 2.1 On appelle Équation diffÉrentielle linÉaire du second ordre À coeffi- cients constants une Équation de la forme

Alors, la solution gÉnÉrale de.E/estxWR!RdÉfinie par at x.t /DKe8t2R

A.t / x.t /DKe

8t2I

oÙ •A.t /est une primitive dea.t / •K2Rest une constante rÉelle quelconque.

Remarque Si on impose À la solutionx.t /de.E/, de prendre un valeur initiale du type x.0/Dx 0 alors la constanteKest dÉterminÉe de maniÈre unique. La solution de.E/est alors unique.

oÙaest une fonction continue dÉfinie sur un intervalleI. Alors, la solution gÉnÉrale de.E/est

oÙr 1 etr 2 sont les deux solutions rÉelles de.E c /. • SiD0, la solution gÉnÉrale de.E/est de la forme

.E/

CHAPITRE IX Èquations diffrentielles linaires

r t x.t /D.K 1 tCK 2 /e

r 1 t r 2 t x.t /DK 1 eCK 2 e

0 x .t /Ca.t /x.t /D0

.E 0 /

2. Èquations diffrentielles d’ordre 2

.E/

• Si < 0, la solution gÉnÉrale de.E/est de la forme

oÙK2Rest une constante rÉelle quelconque.

.E c /

00 0 ax .t /C/bx .t Ccx.t /Df .t /

.E 0 /

2 On noteDb4acson discriminant.

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A.t / x p .t /DK.t /e

oÙK.t /est une fonction À dÉterminer.

A.t / x g .t /DKe

Thorme 2.3 Soit l’Équation diffÉrentielle linÉaire du second ordre

00 0 ax .t /C/bx .t Ccx.t /Df .t /

Alors, toute solutionx.t /de.E/est de la forme

x.t /Dx g .t /Cx p .t /

oÙ •x p .t /est une solution particuliÈre de.E/ •x g .t /est la solution gÉnÉrale de.E 0 /

.E/

Solution particulire : f .t / est un polynÔme Sic¤0, on cherche une solution particuliÈrex p .t /sous la forme d’un polynÔme de mme degrÉ quef. LorsquecD0, on cherche une solution particuliÈre sous la forme d’un polynÔme de degrÉ supÉrieur.

˛t Solution particulire : f .t / est de la forme eP .t / Sic¤0, on cherche une solution particuliÈrex p .t /sous la forme ˛t x p .t /DeQ.t /oÙQ.t /est un polynÔme • de degrÉn, si˛n’est pas racine de.E c /; • de degrÉnC1, si˛est une racine simple de.E c /; • de degrÉnC2, si˛est racine double de.E c /.

LorsquecD0, on cherche une solution particuliÈre avecQ.t / sous la forme d’un polynÔme de degrÉ supÉrieur.

˛t Solution particulire : f .t / est de la forme e cos.ˇt /P .t / .˛Ciˇ /t On considÈre le second membre complexef z .t /DeP .t /. On est alors ramenÉ au cas prÉcÉdent qui permet de trouver une solution particuliÈre complexez p .t /. Une solution rÉelle de l’Équation initiale est alors

x p .t /DRe.z p .t // x p .t /DIm.z p .t //

dans le cas d’un cosinus dans le cas d’un sinus

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CHAPITRE X Espaces vectoriels / Applications linaires

1. Espaces vectoriels rels

Dfinition 1.1 Un espace vectoriel rÉel est un ensembleEnon-vide muni de deux opÉrations : • une loi de composition interne (L.C.I.) :

EE!E .u; v/7!uCv

• une loi de composition externe (L.C.E.) :

RE!E .; u/7!u

Remarques ÉlÉments de1) Les Esont appelÉs desvecteurs.On les noteu; v; w; : : : 2) Les ÉlÉments deRsont appelÉs desscalaires.On les note ; ; : : : 3) Un espace vectoriel n’est jamais vide :0 E 2E

Dfinition 1.2 On appelle combinaison linÉaire deu 1 ; : : : u n 2E, toute expression de la forme  1 u 1 C    C n u n 2E avec 1 ; : : : ;  n 2R.

2. Sous-espace vectoriel

Dfinition 2.1 On dit queFEest un sous-espace vectoriel deEsi 1)0 E 2F 2)u; v2FH)uCv2F 3)u2F; 2RH)u2F

Remarque 1) L’intersection de deux (ou plus) s.e.v. deEest encore un s.e.v. deE. 2) En gÉnÉral, l’union de deux s.e.v. deEn’est pas un s.e.v. deE. 3) PourAE, on note VectAlesous-espace vectoriel engendrÉ parA. C’est le plus petit s.e.v. deEcontenantA. 4) LorsqueAD fa 1 ; : : : ; a n g, on a

VectAD f 1 a 1 C    C n a n W i 2Rg

3. Base d’un espace vectoriel

Dfinition 3.1 Un systÈme de vecteursBD fb 1 ; : : : ; b n gest une base deEsi tout vecteuru2Epeut s’Écrire de maniÈreuniquecomme une combi- naison linÉaire d’ÉlÉments deB: n X uD i b i iD1

Dans la suite, on se limite aux espaces vectoriels dedimension finie, c’est-À-dire, possÉdant une base finie.

Proposition 3.2 Toute base deEcontient le mme nombrende vecteurs. Ce nombre est appelÉ dimension deE. On note

dimEDn

4. Applications linaires

Dfinition 4.1 SoitEetFdeux espaces vectoriels.On dit qu’une application WE!Fest linÉaire si

.uCv/D.u/C.v/

pour toutu; v2Eet tout2R.

et

.u/D.u/

Proposition 4.2 SoitBD fb 1 ; : : : ; b n gune base deEetWE!Fune application linÉaire. Alorsest complÈtement dÉterminÉe par la donnÉe des vecteurs

.b 1 /; : : : ; .b n /

Proposition 4.3 SoitWE!Fune application linÉaire. L’image deest le sous-espace vectoriel deFdÉfini par :

ImD.E/D f.u/Wu2Eg

Le noyau deest le sous-espace vectoriel deEdÉfini par :

1 KerD .f0 F g/D fu2EW.u/D0 F g

Proposition 4.4 SoitWE!Fune application linÉaire. Alors •est injective si et seulement siKerD f0 E g •est surjective si et seulement siImDF

Remarque L’applicationest bijective SSI KerD f0 E get ImDF.On dit alors queest unisomorphisme.

Thorme 4.5 SoitWE!Fune application linÉaire. Alors

dim kerCdim ImDdimE

Proposition 4.6 SoitWE!Eune application linÉaire (un endomorphisme). Les propriÉtÉs suivantes sont Équivalentes : •'est injective •'est surjective •'est bijective (un automorphisme)

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