Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l'Ingenieur

Paul Raynaud

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Ecole doctorale Sciences Physiques et Mathematiques pour l'Ingenieur Universites de Rouen et du Havre, INSA de Rouen Autour de la notion de mesure Memoire de synthese presente pour l'obtention de l'Habilitation a Diriger des Recherches en Mathematiques par Paul Raynaud de Fitte Travaux exposes le 9 decembre 2004 devant le jury compose de : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Ahmed Bouziad Professeur a l'Universite de Rouen Claude Dellacherie Directeur de Recherches au CNRS, Univ. de Rouen Roberto Fernandez Professeur a l'Universite de Rouen Henri Heinich Professeur a l'INSA de Rouen Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2 Dalibor Volny Professeur a l'Universite de Rouen Rapporteurs : Erik J. Balder Professeur a l'Universite d'Utrecht, Pays-Bas Vladimir I. Bogachev Professeur a l'Universite d'Etat de Moscou, Russie Jørgen Hoffmann–Jørgensen Professeur a l'Universite d'Aarhus, Danemark Lionel Thibault Professeur a l'Universite Montpellier 2

• convergence stable


• universites de rouen et du havre


• memoire de synthese presente pour l'obtention


• joies de la programmation recursive en maple


• tableaux de resultats sur les convergences stables


• universite de rouen

Sujets

• Giuseppe Valadier
• Fernández
• Jakubowski
• Raynaud
• Baldr
• Thibault

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 décembre 2004
• Nombre de lectures: 49
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

 EcoledoctoraleSciencesPhysiquesetMathematiquespour l’Ingenieur UniversitesdeRouenetduHavre,INSAdeRouen

Autour de la notion de mesure

Memoiredesynthesepresentepourl’obtentionde l’HabilitationaDirigerdesRecherches en Mathematiques par PaulRaynaud de Fitte

Travauxexposesle9decembre2004devantlejurycomposede: Erik J.BalderrtU’detyaP,thcel’aursesierivUnrPfosess-Ba Vladimir I.BogachevoseMu,co  Ed’tdtasrevetilarinU’PssueorefuRssei AhmedBouziadenuoRedetisrevinUseural’Profes ClaudeDellacherieDirecteur de Recherches au CNRS, Univ. de Rouen Roberto Fernandez aurseeserivUnl’RedetisneuorPfo HenriHeinichnProfesserua’lNIASedoReu LionelThibaultPeforuesslarinU’eplloMtntieevsrier2 Daliboroln  VyU’laruesseforPueRodeeitrsvenin Rapporteurs : Erik J.BalderevintisrrueU’lat,chysPad’ereUtProafse-sBs Vladimir I.Bogachevtaed  ’tEuoR,oMcsUnival’tedersirPruessefosiuse JrgenHoffmann–Jr gensensrtie’daAhrsuD,fesseural’UniveorPkramena LionelThibaultr2llientpeeoMsrtiinevlaU’reussferoP

Remerciements

Je tiens tout d’abord a remercier les rapporteurs et les membres du jury : ErikBalder,VladimirI.Bogachev,JrgenHomann–JrgensenetLionel Thibault,quiontacceptelachargedelirecememoireetd’ecrireunrapport, ClaudeDellacheriequiaacceptedepresiderlejury,AhmedBouziad,Roberto Fernandez,HenriHeinichetDaliborVolny. Letravailpresenteiciabeneciedecollaborationsdiversesqui,meˆme lorsqu’ellesetaientanciennes,m’ontouvertdenouveauxhorizons.Jeremercie toutparticulierementCharlesCastaing,quifutmondirecteurdethesede doctorat, Adam Jakubowski, Mikhail I. Kamenski  et Michel Valadier. Merci aussi a Philippe Andary pour m’avoir initie aux joies de la programmation recursive en Maple, ce qui m’a permis de calculer les 8483 points de la gure 2.2 page 42.

Tabledesmatieres

1 Mesures de Young 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Mesures de Young et convergence stable . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Criteres de compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4Tableauxderesultatssurlesconvergencesstables.......17 1.5Convergenceenprobabiliteouenmoyenned’ordrep. . . . . . 19 1.5.1ConvergenceenprobabilitedemesuresdeYoung...19 1.5.2 Convergence en moyenne de mesures de Young . . . . . 23 1.5.3 Produit br e de mesures de Young . . . . . . . . . . . 28 1.6 Applications en theorie des probabilites . . . . . . . . . . . . . 29 1.6.1Solutionsfaiblesd’inclusionsd’evolutionstochastiques29 1.6.2Untheoremedelalimitecentrale............34 2 Autour de la loi forte des grands nombres 39 2.1Moyenneetloidesgrandsnombresdansunespacemetrique.39 2.2LoidesgrandsnombrespourdesfonctionsPettisintegrables.51 2.3Laloidesgrandsnombrescommeresultatdecompacite....55 References58 Indexdesdenitions68 Index des notations 71

iv



Cetravailestessentiellementcentresurlanotiondemesure(positive nie)etsedeclineendeuxparties. LapremierepartieportesurlesmesuresdeYoung,quisontalafoisdes mesures parametrees et des mesures denies sur un espace produit. On y etudie diverses topologies (topologies stables, topologie de la convergence en mesure) et on en tire quelques applications en theorie des probabilites. Ladeuxiemepartieestconsacreealanotiondemoyenne:etudedubary- centreausensdeHererd’uneprobabilitesurunespacemetriqueacourbure negative,loidesgrandsnombrespourcettenotiondebarycentre,puisloides grandsnombrespourdesvariablesPettisintegrablesd’unespacelocalement convexe. Unepartimportantedecetravailaconsisteamettreenrelationles proprietestopologiquesougeometriquesdel’espacesous-jacentavecl’etude des proprietes des mesures ou des espaces de mesures sur cet espace.

v

Chapitre 1

Mesures de Young

Lapresentationquisuitesttireeessentiellementde[CRdFV04,chapitres 1,2,3,4,9] et de [RdF03, CRdF04]. Les applications stochastiques de la section 1.6.1 proviennent de [JKRdF05].

1.1 Introduction LesmesuresdeYoungonteteinventeesplusieursfoisencalculdesvaria- tions,entheorieducontroˆleouenprobabilites,etsousdesnomsdierents: controˆlesrelaxes,regles,variablesaleatoires oues,mesuresparametrees... Ellesgeneralisentlesfonctionsd’uneautremanierequelesdistributions.Un de leurs principaux attraits est qu’on peut les munir d’une topologie pour laquelle on dispose de criteres de compacite ne necessitant que des conditions tresfaiblesetparticulierementsimplesaverier.Ainsi,unesuitedefonctions admet “souvent” une limite au sens des mesures de Young. CommenconsparpresenterlesmesuresdeYoungdansuncasparticu- lier. Soit (f n nuse)defouiteonsmnctielbaruseuelavasnsdarsR d seniedet sur un espace mesure ( ,F, ), ou dit que ( Onest une mesure nie.f n ) convergedemanierestablesi, pour toutA∈ Fet pour toute fonction conti- nue borneeϕ:R d →R, la suite ( R A ϕf n d) n converge. La limite de (f n ) est l’application (A, ϕ)7→lim n R A ϕf n d. Il se trouve que cette application peuteˆtreidentieeaunemesuresur R d einperad, Z R d 1l n A Z A ϕf n d ϕ d= lim pour toutAet toutϕ(sussed-icemmocte1lonno A la fonction indicatrice de Aetg h(noilppataciigesl’nedω, x)7→g(ω)h(xuqreuqetramera)).Iles la marge de exactement estsur . Dans cette convergence, chaquef n

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