Esperance Variance Inegalites de concentration L3: Probabilites

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
3. Esperance. Variance. Inegalites de concentration L3: Probabilites Exercice 1 (QCM). Un examen consiste en 20 questions auxquelles il faut repondre par oui ou par non ; chaque reponse juste est notee 1 point et chaque reponse fausse, 0 point. Un etudiant repond entierement au hasard : sa note finale est une variable aleatoire X. a. Soit Xk la note qu'il obtient a la ke question : calculer E [Xk] et varXk. b. Exprimer X en fonction des Xk ; en deduire E [X] et Var (X). c. Donner la loi de X ; calculer la probabilite pour l'etudiant d'avoir une note inferieure a 5. Quel est le majorant qu'on obtient pour cette probabilite, a l'aide de l'inegalite de Hoeffding ? d. Un etudiant serieux estime qu'il donnera une reponse exacte a chaque question avec une probabilite de 0,8. Quelle est la loi de sa note, son esperance et sa variance ? Donner une minoration pour la probabilite qu'il ait plus de 12. Exercice 2. Enveloppes. Une assistante de direction distraite range n lettres au hasard dans les enveloppes qu'elle avait prealablement remplies. On note N(?) le nombre de courriers qui arrivent effectivement a leur destinataire. Calculer E [N ]. Questions subsidiaires : calculer Var (N). En deduire que P (N ≤ 10) ≥ 0, 99.

• minoration pour la probabilite


• probabilite


• independantes de meme loi


• algorithme stan- dard de recherche du maximum


• x1

Sujets

• Probabilité

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• Publié par: vehot
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• Langue: Français

Extrait

3. Esp ´ erance. Variance.Isd ´ eonecntcetirano ´ ngelati L3: Peosribab ´ til Exercice 1(QCM).Un examen consiste en 20 questions auxquelles il faut re´pondreparouiouparnon;chaquer´eponsejusteestnot´ee1pointetchaque r´eponsefausse,0point.Un´etudiantre´pondentie`rementauhasard:sanote finaleestunevariableale´atoireX. e a.SoitX k reltiesqukcual:conuqi’oltbeitna`allanoteE[X k ] et varX k . b.ExprimerXen fonction desX k rdinued´ee;E[X(] et VarX). c.Donner la loi deXtenoneuriova’dtnaiduteepourl’´babilit´ellrpaorc;lauc infe´rieure`a5.Quelestlemajorantqu’onobtientpourcetteprobabilit´e,a` l’aidedel’in´egalite´deHoeffding? d.e´nUneauepr´seonacexa`etqahceutudiants´erieuxetsmiqe’uliodnnre questionavecuneprobabilite´de0,8.Quelleestlaloidesanote,sonesp´erance etsavariance?Donneruneminorationpourlaprobabilit´equ’ilaitplusde 12. Exercice 2.Enveloppes.Une assistante de direction distraite rangenlettres auhasarddanslesenveloppesqu’elleavaitpr´ealablementremplies.Onnote N(ωestieurdt`alementcvieteffvineairrqursierrouecedbrmonel)atan.eri CalculerE[N].Questions subsidiaires :calculer Var(N).End´eduireque P(N≤10)≥0,99. Calculerla loi deNla loi limite de. CalculerN. Exercice 3.Nombre de runs.On se donne un mot ω=ω 1 ω 2 . . . ω n de longueurne´edutitsnoc,nltertseit´reesauhasardavecrsimenadesnus.ca Le sac contientalettresAetblettresBappelle. Onrundeω(ouire´se) 1 unesuitemaximaledelettresconse´cutivesdeωidentiques .On noteN(ω) le nombre de runs deω. Parexemple, siω=BAAABBBAABBBB,N(ω) = 5. Montrerqu’onpeute´crireNsous la forme N=X 1 +X 2 +X 3 +∙ ∙ ∙+X n , ou`lesX i Ene.tr`entsorenimretmarapelarnoullidontond´eedvsraailbseedeB de´duireE[N].Question subsidiaire :(calculer VarN). Exercice 4.Nombre d’occurences.On se donne un mot ω=ω 1 ω 2 . . . ω n de longueurn,constiute´ednarasvedaeer´uhsausnacasnmercdesi.tertseitl Lesaccontientunexemplairedechaquecaracte`red’imprimerie(onsuppose que ceux-ci sont au nombre detnote). OnN(ω) le nombre d’occurences du mot CARTAN dansω. CalculerE[N].Questions subsidiaires :calculer Var(N). Peut-onappliquerl’ine´galite´deHoeffding`aNIndirectement ?directement ? Exercice 5.Une urne contientbboules blanches etrunebges;´etaouletnruo tire´e,onremet,avecelle,cee.Onposebleoudslecauoelruit´r b rc p=, q=, γ=. b+r b+r b+r On noteX n alavirbaels1a`ali´ealoiat´ereleganeh,me`-uober´eeletilancestb et`a0sielleestrouge.OnposeS n =X 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n . a.Trouver les lois deX 1 et deX 2 en fonction dep,qetγ. b.dnetaoi´rlecerocieffitdenerimcolerpxEX 1 etX 2 en fonction dep,qetγ. c.Trouver la loi conditionnelle deX n sachant queS n−1 =k. 1 maximaleausenso`uellen’estpascontenuedansunesuitedelettresidentiquesencore plus longue. 1

2 d.diolalreibaborpeeedt´liExprimX n en fonction deb,r,cetE[S n−1 ]. En d´eduire,parre´currence,laloideX n . Exercice 6. a.Une personne anhcopassnadse´lcroetuvrirsapeetveuto dansl’obscurit´e.Elleprendauhasardlescl´eslesunesapre`slesautresetles essaye. OnnoteXquesl´ecsseell’elderbmonerlabonne.yaaeavtnedrtuoev Ensupposantqu’unecle´unefoisessay´eeestensuitemisedecˆote´,quelleest laprobabilit´ep k queteriosnnpereectt´eclla`aabelneonktatnevie`-etem (p k =P(X=kCalculer)) ?E[X(] et VarX). b.Statistique de Wilcoxon.Une urne contientNseunobluot´em´er1`aesde Nsepa`rseelastuers,auhasardetenO.artxectiuobssdle’uelelrnunes sans remise, et on noteR k lrapalenum´eroport´ek`-bemeeluor´tideeeurl’.ne Donner la loi deR k ecnairavs,.p´eronesetsaance c.On pose : W n =R 1 +R 2 +∙ ∙ ∙+R n . Calculerl’esp´erancedeW n la loi du couple (. CalculerR i , R j ) pouri6=j, et 2 ve´rifierqu’ellenede´pendpasde(i, j). CalculerE[Wescecruiud-es´dnete] N sivementE[R i R j ] puis la variance deW n . Exercice 7. Soit (X n ) n≥1 oites.Suneteniol,iarlb´tgeteanndpemeˆeemsdvedetiuse´dni.a. Nit´tdeere’ldineD´emontrsitives.re`iopserueltnesteanva`a´endndpe.a.iunev Wald : E[X 1 +∙ ∙ ∙+X N ] =E[X 1 ].E[N] Exercice 8.Rang relatif et code de Lehmer.´dCrenoisa’glnolshmesorittan- dard de recherche du maximum dans une liste de nombres (x 1 , x 2 , ..., x n ) : 10M←x 1 20 Pouri`2=an, faire : 30 SixM < i alorsM←x i 40 Fini. 50 Fin dans lequel on faitn−1 testsxM < k , etR n affectationsM←x i .R n est le nombre derecords´dpenedd;linsdaqule’oelrerde´gnselsosleartnx i , et est doncale´atoire(onsupposetouslesordres´equiprobables).Danslemeilleurdes casR n = 1, et dans le pire des casR n =noudraitcependantslueptor;ˆven pre´cissurletempsToceuq(thmegoril’alˆuteTest de la formea+bn+cR n avec des constantesa, betciuql)unaagegthuclniiseieed´tntdelamad´epende 2 et calculerE[T] =a+bn+cE[R n ] ainsi que Var(T) =cVar (R n cela). Pour on fait apparaˆıtreR n pe´dni.a.vedemmos.lempsiesntdaenunesommec a.On noteY k le rang relatif dex k dans (x 1 , x 2 , ..., x k c-),d-a`rel.dgnaex k une fois que (x 1 , x 2 , ..., x k ’oslanedoicrrerdaP.tnasselpmexere)gne:´tsar {ω= (x 1 , x 2 , ..., x 6 ) = (10,4,6,24,1,40)} ⇒ {(Y 1 (ω), Y 2 (ω), ..., Y 6 (ω)) = (1,1,2,4,1,6)}; d’o`uR 6 t6.E1,4eionseratix´t,suatautdrbscoreisro:t=3upnssapotontus lesordres´equiprobablespour(x 1 , x 2 , ..., x n uve)e´irefiqr  1 si pour toutk,1≤y k ≤k, n! P(Y 1 =y 1 etY 2 =y 2 etet ...Y n =y n ) 0,sinon. End´eduirequelesY i osntseendad´epntinsiolsruelrennodt. b.ExprimerR n en fonction desY i te´resquestiesoudrelortntcuddsnoi’len,io c-`a-d.calculerE[R n ] ainsi que Var(R n ). c.Donner une majoration de  hi p p PR n ∈logn−alogn ,logn+alogn .