EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

Description

Niveau: Supérieur
SEMESTRE D'AUTOMNE EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1. Etudier la monotonie des suites (an)n≥0 définies par : a) an = n2 ? 3n b) an = (2n)! n! c) an = nn ? 2n! d) an = n? + 2(?1)n (? réel positif) 2. Montrer que les suites (an)n≥0 définies par : a) an = (?1)n arctan n arctann + 1 b) an = n sinn 2n + 2 + sinn c) an = n ∑ k=0 sin k sont bornées. 3. Soit a, la suite de terme général an = n3 + 2 n3 + n2 + 1 . Trouver un entier N , tel que, si n ≥ N , on ait |an ? 1| < 10?2. Plus généralement, ? étant un nombre réel strictement positif, déterminer un entier N , tel que, si n ≥ N , on ait |an ? 1| < ?. Qu'a-t-on démontré pour la suite (an) ? 4. Montrer que si lim(an) = ? (? finie ou non), on a lim(|an|) = |?|. En déduire que si la suite (|an|) est divergente, la suite (an) est divergente.

• sinn n? cosn


• infini pour limite


• bn ≤


• ?n ?

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• Publié par: chaeh
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Extrait

SEMESTRE D’AUTOMNE EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

1. Etudier la monotonie des suites ( a n ) n ≥ 0 définies par : 2 a ) a n = n − 3 n b ) a n = (2 n n ! )! c ) a n = n n − 2 n ! d ) a n = nα + 2( − 1) n ( α réel positif ) 2. Montrer que les suites ( a n ) n ≥ 0 définies par : = a ) a n ( − ar 1 c ) t n a a n r n ct + an 1 n b ) a n = 2 n + n 2 sin + n sin n c ) a n = k = n X 0 sin k sont bornées. 3. Soit a , la suite de terme général a n = n 3 n + 3 n + 2 2 +1 . Trouver un entier N , tel que, si n ≥ N , on ait | a n − 1 | < 10 − 2 . Plus généralement, ε étant un nombre réel strictement positif, déterminer un entier N , tel que, si n ≥ N , on ait | a n − 1 | < ε . Qu’a-t-on démontré pour la suite ( a n ) ? 4. Montrer que si lim( a n ) = ℓ ( ℓ finie ou non), on a lim( | a n | ) = | ℓ | . En déduire que si la suite ( | a n | ) est divergente, la suite ( a n ) est divergente. Que pensez-vous de la réciproque ?

5. Ecrire sous forme quantifiée les propriétés suivantes : a) La suite ( a n ) n’est pas majorée b) La suite ( a n ) est divergente c) La suite ( a n ) n’est pas monotone

6. Pour chacune des formules suivantes, reconnaître la propriété générale des suites ( a n ) qui la vérifient, s’il en existe. a ) ( ∃ M ∈ R ) ( ∀ n ∈ N ) ( a n ≥ M ) b ) ( ∀ n ∈ N ) ( ∃ M ∈ R ) ( a n ≥ M ) c ) ( ∀ M ∈ R ) ( ∃ n ∈ N ) ( a n ≥ M ) d ) ( ∃ n ∈ N ) ( ∀ M ∈ R ) ( a n ≥ M ) e ) ( ∀ M ∈ R ) ( ∀ n ∈ N ) ( a n ≥ M ) f ) ( ∃ M ∈ R ) ( ∃ n ∈ N ) ( a n ≥ M )

7. Calculer la limite ℓ des suites ci-dessous, et trouver, pour chacune d’elles, un entier N , tel que, si n ≥ N , on ait | a n − ℓ | ≤ 10 − 2 n + sin n a ) a n = b ) a n = n 2 + n n + 1  + n 2 + n n + 2  + ∙ ∙ ∙ + n 2 + n 2 n n − cos n

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8. Etudier si les suites ( a n ) n ≥ 0 définies ci-dessous possèdent une limite a ) a n = n − 3+( − 1) n b ) a n = 3 n n ( ( − 1 1 ) ) n n + + 2 1 c ) a n = e 2 n ( − 1) n d ) a n = cos( π n ) −

9. Calculer la limite des suites ( a n ) n ≥ 1 définies par a ) a ln( l n n( + 2 n 2l + n l n n n + ) 1) b ) a n = 2 n n 2 + + 2 2 n n n = c ) a n = n 4 n + 2 + n n + + 2 1+ n 2 + n 3 n d ) a n = α α n n + − β β n n ( α et β réels > 0) e ) a n = 1 + 2 + n 2 ∙ ∙ ∙ + n f ) a n = 1+2+ 2 4 n + +1 ∙ ∙ ∙ + 2 n 10. Montrer que la suite ( u n ) définie par ] + [2 π ] + ∙ ∙ ∙ + [ nπ ] u n = [ π n 2 converge et calculer sa limite. (On rappelle que la partie entière [ u ] du nombre u vérifie [ u ] ≤ u < [ u ] + 1) .

11. Distinguer le vrai du faux. Soit ( u n ) une suite réelle. a) si lim u n = 1 et, si pour tout n ∈ N , on a u n ≤ 1 , alors la suite ( u n ) est croissante à partir n →∞ d’un certain rang. b) si lim u n = − 1 , alors il existe n 0 ∈ N tel que, pour tout n ≥ n 0 on ait u n ≤ 0 . n →∞ c) si lim u n = ℓ , alors lim ( u n +1 − u n ) = 0 . n →∞ n →∞ d) si ( u n +1 − u n ) converge vers 0, alors ( u n ) possède une limite finie. e) si la suite ( u n ) n’admet pas l’infini pour limite, alors elle est bornée.

12. Soit α et β deux nombres réels. A quelle condition la suite ( a n ) n ≥ 0 définie par a n = sin α + βn + π 2 n 2 a-t-elle une limite ? Calculer cette limite lorsqu’elle existe. (On commencera par chercher la limite de b n = α + βn + π 2 n 2 − nπ , puis on exprimera a n en fonction de b n ).

13. Soit ( a n ) une suite. On suppose que les suites extraites x , y et z de ( a n ) de terme général x n = a 2 n , y n = a 2 n +1 et z n = a 3 n convergent. Démontrer que ( a n ) converge.

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