Introduction a l'analyse numerique TD5 Matrices

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Introduction a l'analyse numerique, TD5. Matrices. 1 Decomposition LU d'une matrice tridiagonale. Soit (a1, . . . , an) ? Rn, (b1, . . . , bn?1) ? Rn?1, (c1, . . . , cn?1) ? Rn?1 etA = (ai,j)1≤i,j≤n definie par ?i ? J1, nK, aii = ai, ?i ? J1, n? 1K, ai,i+1 = bi, ?i ? J2, nK, ai,i?1 = ci et aij = 0 sinon. Pour k ? J1, nK, on pose ?k = det(aij)1≤i,j≤k. 1. Etablir une relation de recurrence sur les ?k. 2. On suppose que tous les ?k sont non-nuls. Etablir l'existence d'une decomposition de A sous la forme LU : A = ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 · · · 0 l1 1 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · ln?1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 b1 0 · · · 0 0 ?2 ?1 b2 · · · 0 .

• x? x¯


• matrice tridiagonale


• nom de la methode


• solution x¯ du systeme lineaire


• point de depart x0


• algorithme de resolution des systemes lineaires


• methode de la puissance


• ?k

Sujets

• Matrice tridiagonale

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Introduction`al’analysenum´erique,TD5. Matrices.

1De´compositionLUd’une matrice tridiagonale. n n−1n−1 Soit (a 1 , . . . , a n )∈R, (b 1 , . . . , b n−1 )∈R, (c 1 , . . . , c n−1 )∈RetA= (a i,j ) 1≤i,j≤n de´finiepar∀i∈J1, nK, a ii =a i ,∀i∈J1, n−1K, a i,i+1 =b i ,∀i∈J2, nK, a i,i−1 =c i eta ij = 0 sinon. Pourk∈J1, nK, on poseδ k = det(a ij ) 1≤i,j≤k . ´ 1.Etablirunerelationder´ecurrencesurlesδ k . ´ 2. Onsuppose que tous lesδ k -nontnosnoipmoctisoneecixtsdee´’dnu.Etnulsrl’eabli deAsous la formeLU:   b0∙ ∙ ∙0  δ 1 1  1 00∙ ∙ ∙0 δ 2 0b 2 ∙ ∙ ∙0 l 1 1 0∙ ∙ ∙0 δ 1 . . . . . . . . A . .. = .   . . . . . .  . .  . b  n−1    δ n 0 0∙ ∙ ∙l n−1 1 0 00∙ ∙ ∙ δ n−1 3.Calculerlesd´eterminantsδ k tion´dalteisopmoceLUquand elle existe, dans le cas o`u: ∀i∈J1, nK, a ii = 2b;∀i∈J1, n−1K, b i =c i =−1. 4.De´duiredelaquestion2uneme´thodesimpleder´esolutiondesyste`mesline´aires danslecaso`ulamatriceintervenantesttridiagonale.Calculerlacomplexite´decet algorithme. Remarquedte´pnueerqromtn:Onolaueecd´poomtisiLUexiste pour toute matrice in- versible telle que lesδ k ondeluti´esoedertimhglrolia’iasnselira´eeng´ons,lunnonsuottnoss syste`mesline´airespropos´epr´ec´edemment.Cetalgorithmeestparticuli`erementint´eressant quandonaplusieurssyste`mesline´airesa`re´soudre,faisanttousintervenirlamˆemematrice.

2M´ethodedelapuissance Lam´ethodedelapuissancepermetd’approcherlavaleurpropredeplusgrandmodule pourunematricedonne´e.OnprenddoncM∈M n (C) et on suppose queMa une seule n valeur propre de plus grand module, que l’on noteλ. On prendk ∙ kune norme surCet k 0n kk+1 M x x∈Crolatinfie´dnO.sxrencecurarr´:epx= k . On noteρ(M) =|λ|. kM xk

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