Isabelle van den Boom

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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Isabelle van den Boom 1 Les nombres complexes 1-Introduction Ils ont été introduits au 16ème siècle par des mathématiciens italiens de la Renaissance pour donner du sens à certaines équations algébriques. Par exemple : Bombelli en 1572 est amené, lors de la résolution d'une équation du troisième degré par la méthode de Cardan, à déterminer les solutions de l'équation 012542 =+? xx . Il calcule 4121??=∆ et déduit que s' il y a des solutions, elles devront s'écrire sous la forme : 1112 ?+=x et 1112 ??='x . Il vérifie ensuite que de tels « nombres » sont effectivement solutions de l'équation : 1144412542 =+?????+=+? xx !! Pourtant , même si le calcul formel fournissait des solutions, les mathématiciens de l'époque restèrent assez obscurs sur la notation 1? et sur ce que cela représentait car de tels nombres n'existaient pas : Si 1? avait été un nombre on aurait eu, avec les règles de calcul sur les nombres connus : ( ) ( ) 1111111 22 ==?=??=?=? ce qui était absurde. Euler, dans son « Algebra », en 1770 va les nommer nombres imaginaires. C'est lui qui introduisit la notation i. Il dit : « parce que tous les nombres possibles qu'on peut s'imaginer sont soit plus grands, soit plus petits ou égal à 0, il est évident que les racines des nombres négatifs ne comptent pas parmi ceux là.

• complexe ibaz


• zz'zz


• racine carré


• ib'a'


• aiba ?


• première racine


• opposé de z


• aai'aai'


• ib'aiba

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 84
• Langue: Français

Extrait

 Les nombres complexes    1-Introduction  Ils ont été introduits au 16 ème siècle par des mathématiciens italiens de la Renaissance pour donner du sens à certaines équations algébriques.  Par exemple :  Bombelli en 1572amené, lors de la résolution dune équation du troisième degré par laest méthode de Cardan, à déterminer les solutions de léquationx 2 −4x+125=0 . Il calcule∆ = −121 4 et déduit que s il y a des solutions, elles devront sécrire sous la forme :x=2+11−1 etx'=2−11−1 . Il vérifie ensuite que de tels « nombres » sont effectivement solutions de léquation : x 2 −4x+125=4+44−1−121−8−44−1+125=0 !!  Pourtant , même si le calcul formel fournissait des solutions, les mathématiciens de lépoque restèrent assez obscurs sur la notation−1 et sur ce que cela représentait car de tels nombres nexistaient pas : Si−les règles de calcul sur les nombres1 avait été un nombre on aurait eu, avec 2 2 connus :−1= −1= −1−1 = (− 1 ) = 1= qui était absurde.1 ce   Euler, dans son «Algebra», en1770va les nommernombres imaginaires. Cest lui qui introduisit la notationi. Il dit :les nombres possibles quon peut simaginer sont« parce que tous soit plus grands, soit plus petits ou égal à 0, il est évident que les racines des nombres négatifs ne comptent pas parmi ceux là. Ce sont donc des nombres impossibles et on les appelle imaginaires car ils nexistent que dans limagination »    Cest Gauss, en 1831, grâce à la représentation géométrique des complexes qui lèvera le doute quant à lexistence desnombres complexes. On lui doit lécriture dun complexe sous la formea+ib     

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2-Définitions et propriétés  On désire construire un corps que lon nommera C qui contient IR et dans lequel léquationx 2 +1= des solutions .0 possède On souhaite également que les opérations définies sur ce corps prolongent laddition et la multiplication définies sur IR.  Puisque dans notre nouvel ensemblex 2 +1=0 possèdedes solutions, on va décider de  noteriune de ces solutions. De façon évidente,i∉IRsinon−1=i 2 ≥0 comme tout nombre réel .  Que doit-on mettre dans C? On veut déjà que IR⊂Cet quei∈C. Comme + et× doivent être des lois internes, on devra avoir égalementa+ib∈C,∀a∈IR ,∀b∈IR.

 Considérons lensembleA { a+ib , a∈IR ,b∈IR } . = Sur cet ensemble, on définit deux opérations internes notées + et×qui vérifient : (a+ib) + (a'+ib') =a+a') +i(b+b') ( a+ib )× ( a'+ib' ) = ( aa'−bb' ) + i ( ab'+a' b )   De manière évidente,Acontient tous les éléments du type a+i0 ∀a∈IR ,donc IR⊂C et on noteraa+i0=a Par ailleurs, ( a+i0 ) + ( a'+i0 ) = ( a a' ) + i ( 0+0 ) ( a+a' ) . Cette opération prolonge donc bien laddition deR. De même, ( a+i0 )× ( a'+i0 ) = ( aa'0 ) i0 0 ) = aa'; la multiplication prolonge bien celle deR.  Remarques: i) commei=0+1i, on retrouve par la définition de×quei 2 = −1 ii)a+ib=0⇔a=0et b=0 . En effet,a+ib=0⇐a=0et b=0 est évident. Supposons quea+ib=0et b≠ Comme0 .best un réel non nul, b tedans 1 exisRIet 2 on ai= − b a ce qui implique que a b 2 = − négatif ce qui est impossible car1 donc a∈ bIR et∈IR. Doncb=0 eta+ib=0⇒a0CQFD iii)a+ib=a'+ib'⇔a=a' et b=b'(évident par ii))  Propriétés des opérations dansA •+ et×sont associatives et commutatives (en exo)  •×est distributive par rapport à + (en exo) •0 est élément neutre pour + et 1 est élément neutre pour×(en exo) •Tout élémenta+ib∈Aa un opposé pour la loi + dansAqui est−a+i(−b)(en exo) •Tout élémenta+ibdeAnon nul, admet un inverse unique dans, A. En effet, montrons lunicité dun tel inverse sous réserve dexistence.

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Supposons quea+ibpossède deux inverses dansAque nous appelonsa'+ib'et a"+ib". On aa'+ib'= (a'+ib')×1= (a'+ib')×a+ib)× (a"+ib") ) = ( ( a'+ib' )× ( a+ib ) )× ( a"+ib" ) = a"+ib"doù lunicité. Dautre part, on vérifie que ( 2 a + 2 +i a 2 + − b b 2 ) × ( a+ib ) = 1 a b donca+ibadmet 2 a 2 +i 2 −b 2 comme inverse.

a+b a+b  Pour résumer toutes ces propriétés, on dit que ( A,+, ×) est un corps commutatif que nous appellerons (C,+,×) le corps des complexes On noteraz=a+ibles éléments de ce corps  Notations: •Siz=a ,a∈IR, on dit quezest réel •Siz=0+ib ,b∈IR, on dit quezest un imaginaire pur. •On note−lopposé dez c'est-à-dire−z= −a−ibsiz=a+ib. •On adopte également la notationz n =z×z×...×zsiz∈Cetn∈IN n fois n et siz≠0 ,z −n =z −1 etz 0 =1 .  Définitions : Sizest un complexe qui sécritz=a+ibaveca∈IRetb∈IR, on dit queaest la partie réelle dezque lon noteRe ( z ) et on dit quebest la partie imaginaire dezque lon noteIm(z) Lécriturez=a+ibaveca∈IRetb∈IR, sappelle lécriture algébrique du nombre complexez.   3-Conjugaison  définition : Sizest un nombre complexe qui sécritz=a+ibaveca∈IRetb∈IR, on appelle conjugué dez ,, que lon note le complexez=a−ib.  Propriétés de la conjugaison : pour toutz∈C, pour toutz'∈Con a •z+z=z+z •zz=z×z •    ' z z   =  z z' siz'≠0 • Re ( z ) = 1 2 z+z  et Im ( z ) = 1 2i z−z  •z∈IR⇔z=z en effet z∈IR⇔z=a+0i,a∈IR⇔z=Re ( z ) ⇔ z= 1 2 ⇔z=z  •+ ∈Retz×z∈R + . En effet siz=a+ib, on az+z=2a∈IR

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z+z

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etz×z = ( a+ib )× ( a−ib ) = a 2 +b 2 ∈IR +   − z •siz≠0 , on az 1 = z z laissé en exercice   4- Module dun nombre complexe   définition : On appelle module dun nombre complexezle réel positif ou nul notéz

défini parz=z z=a 2 +b 2 siz a+ib.  Propriétés •z=0⇔z=0 preuve:z=0⇔a 2 +b 2 =0⇔a,b) = (0,0) ⇔z=0 siz=a+ib •∀z∈C ,∀z'∈C, on azz'=z×z' preuve : on a zz' 2 = ( zz' )× ( zz' ) =  z'zz' z=z 2 ×z' 2 . • ∀z∈C ,∀z'∈C ,z'≠0 , on a z z' = ' z (en exo)  z •∀z∈C ,∀z'∈C, on a z+z'≤z+z'  preuve :siz=a ibet siz'=a'+ib', il suffit de prouver que (a+a') 2 + (b+b') 2 ≤a 2 +b 2 +a' 2 +b' 2 +2a 2 +b 2 a' 2 +b' 2  càd après développement et simplification que ( ab'−ba' ) 2 ≥0 ce qui est toujours vrai. Remarque:

le cas dégalité nest obtenu que si ( a,b ) = ( a' ,b' ) oùλ ∈IRc'est-à-dire siz= λz'.

   5-Racines carrées dun nombre complexe  Proposition : Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées que lon peut calculer explicitement.  En effet : Considérons le complexe z=a+ib dont on veut calculer les « racines carrées ». On cherchexetydeux réels tels que ( x+iy ) 2 =a+ib 2 2 ⇔      x 2 − xy y =b =a  en identifiant parties réelles puis parties imaginaires

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Or

x+iy 2 =x 2 +y 2 et on ax+iy 2 = (x+iy) 2 =

2 +b 2 . Le système précédent est donc a



a fortiori équiv       x 2 +y x 2 2 2 − xy = y 2 = a = b 2 a +b 2 alent à Deux cas se présentent : •b= cas0 auquela ib a+ = soita>0 etaet -asont deux racines opposées de soita<0 eti−aet -i−asont deux racines opposées de 



•b≠0 .    x 2 = 2 1    a 2 +b 2 +a  (   1) Le système équivaut ày 2 = 1 2    a 2 +b 2 −a (   2 )     2xy=b(  3)   Orb 2 >0 donca 2 +b 2 >a 2 ⇒a 2 +b 2 >aplus grand queaet quea. Les seconds membres des équations 1 et 2 du système sont donc des nombres positifs et on peut donc trouver deux réelsxopposés satisfaisant (1) et deux réelsy opposés satisfaisant (2). Plus précisément , si ε ∈ { 1,−1 } , le système admet les solutionsx= ε 2 1    a 2 +b 2 + ety= εsg(b) 2 1    a 2 +b 2 −a    oùsg(b)est le signe deb.  En choisissantε = on obtient une première racine1 ,  puisε = − on obtient une deuxième racine qui est lopposée de la première.1 ,  Exemple : Chercher les racines carrées du complexes ( 3 4i )  

On cherchexetydeux réels tels que ( x+iy ) 2 =3−4i 2   x=4(1) y 2 1 ( 2 ) ⇔ ( x, y ) = 2,−1 ) ou bien ( x, y ) (− 2,1 ) . = ⇔    2xy=− = 4 ( 3 ) Les racines cherchées sont donc 2−iet 2+i. −   6- Argument dun nombre complexe   Soitz=a+ibun nombre complexe non nul. On a alors z≠ 0 .

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 a   



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z a  i  b u z = a 2 +b 2 + a 2 +b 2  e lon peut noter qαi b avecα = a etβ = 2 . a 2 +b 2 a+b 2 Clairementα 2 + β 2 =1 ,α ∈IRet∈IR. Par conséquent, il existe un uniqueθ ∈0,2π[tel queα =cosθetβ =sinθ. On a donca=z cosθetb=z sinθ et finalement z=z(cosθ +i sinθ)   Définition : Pour tout complexez≠0 , lunique réel θ ∈ [ 0,2πtel quez=z ( cosθ +i sin θ) sappelle largument dezet se noteArg z.  Remarque Siϕ ∈IRvérifie égalementz=z(cosϕ +i sinϕ)alors on aura cos cos Arg z (cosϕ +i sinϕ) = (cos Arg z+i sin Arg z)s-eà-itder'c   ϕ= A z  sinϕ =sin rg

  Doncϕ =Arg z+2kπ, k∈Z ce que lon note plus simplementϕ ≡Arg z [ 2 π]  et on dit queϕest congru àArg z modulo 2π .   Proposition : Pour tous complexes non nulszetz, on a :  •Arg ( zz' ) ≡ Arg z+Arg z' [ 2 π]  •Arg    1    ≡−Arg z[2π] z  preuve: posonsθ =Arg zetθ'=Arg z'. •zz'=z z' ( cosθ +i sin θ)( cosθ'+i sinθ' ) = z z' ( cosθcosθ'−sinθsinθ' ) + i ( sinθcosθ'+cosθsinθ' ) ) =zz'(cos(θ + θ') +i sin(θ + θ'))  on déduit le résultat cherché de la remarque précédente. 1 z z 1 1 •= 2 = 2 ( cosθ −i sin θ) = z ( cos (− θ) + i sin (− θ)) = z ( cos (− θ) + i sin (− θ)) z z  z on déduit le résultat cherché de la remarque précédente.   Formule de Moivre : Pour tout nombre réelθ, pour tout entier natureln, on a : (cosθ +i sinθ) n =cos(nθ) +i sin(nθ) 

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preuve: par récurrence initialisation : pourn=0 évident  hérédité : supposons que pour un certainnon ait ( cosθ +i sin θ) n =cos ( n θ) + i sin ( n θ) . Montrons que la formule reste vraie à lordren+1. n1n ( cosθ +i sin θ) + =cosθ +i sin θ) cosθ +i sin θ) = ( cos n θ) + i sin n θ))( cosθ +i sin θ)  = ( cos nθcosθ −sin nθsin θ) + i ( cos nθsinθ +sin nθcos θ)  = (cos(n+1)θ +i sin(n+1)θ).CQFD    On en déduit le corollaire suivant :  Corollaire Pour tout complexez≠0 et pour tout entier naturelnon a  n  Arg z≡n⋅Arg z [ 2 π]     preuve: z n =z ( cos Arg z+i sin Arg z ) n =z n ( cos n Arg z+i sin n Arg z ) = z n ( cos n Arg z+i sin n Arg z ) doù le résultat.    7- Forme trigonométrique dun complexe  r r NotonsPle plan euclidien muni dun repère orthonorméO,OA,OB.

r r  r LapplicationP→CoùOM=a.OA+b.OBest une bijection. Maz=a+ib    Limage dun pointMque nous appelonszsappelle laffixe deM et no noteronsMle point daffixez.

us

 Par exemple, le pointA affixe pour az=1 et le pointBa pour affixez B =i.  Plus généralement, les nombres réels sont les affixes des points de laxe des abscisses appelé axe réel et les nombres imaginaires purs sont ceux de laxe des ordonnées appelé laxe imaginaire pur.  Le plan est alors appelé plan complexe.

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SoitMle point du plan daffixez a+ib .  r 2 2 On aOM=OM=a+b=z.  Posonsθ =Arg ( z ) . On aa=z cosθetb=z sinθ. r r Dautre part,a=OM cos OA,OMet  r r b=OM sin OA,OM  éduit que Arg(z) =OA r ,OM r mod ulo2π  Lécriturez= z ( cosθ +i sin θ ) (cf. paragraphe 6) sappelle lécriture trigonométrique du complexez.  Notation exponentielle : On notee iθ le complexe défini pare iθ =cosθ +i sinθoùθ ∈IR.  On a , pour toutθIR, e iθ = 1 etArg e iθ ≡ θmod2π.

Avec cette notation, tout complexezpeut sécrire sous la forme z=z e iArg ( z )  que  lon appelle écriture exponentielle du complexez.  Compte tenu des propriétés déjà démontrées sur les modules et les arguments, il est facile de prouver les propriétés suivantes , qui justifient la notation exponentielle par analogie avec lexponentielle réelle :  i i ' i ' •∀θ ∈IR ,∀θ'∈IR , e θ ×e θ =e (θ+θ )  •∀θ ∈IR,e iθ est inversible et on ae i θ −1 =e −iθ  •∀θ ∈IR,∀n∈IN,e iθ n =e inθ    8-Racinesnièmes dun nombre complexe  On désire résoudre dans C léquationz n = α un complexe donné etoù estnun entier naturel non nul.  Siα =solution de cette équation dans C est lunique 0 alorsz=0 . Siα ≠0 et quen= lunique solution de cette équation est1 alorsz= α.  Dans la suite, on supposera donc que 0 et quen≥2 . 

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 sécrit sous forme exponentielleα = σe iϕ σ = +* e avecα ∈IR tϕ ∈IR.  On va chercher les solutions de léquation sous forme exponentielle. Plus on va chercherρ ∈IR +* et∈IRtels e    z eprécisément, qu   z n = = ρ i α θ On peut se limiter à chercher> si0 carρ = aurait0 onz qui est absurde car0 ce on a supposéα ≠0 .  Léquation est donc équivalente àρ n e inθ = σe iϕ . En identifiant les parties réelles des deux membres , puis les parties imaginaires, il vient :    ρ n n ocns nsin θ = σs in coϕ (1 2 )    =σρθsϕ ( ) ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 implique queρ n 2 = σ 2 doù ρ = σ 1 n car>0 .

 θ = Il sen suit, en reportant ce résultat dans le système,   s in con θ =i cosϕ ϕ c'est-à-dire s n s n

 nθ ≡ ϕmod ulo2π. Autrement dit, il existek∈Ztel queθ+= ϕ2kπ . Notonsθ k cette valeur deθ. n n 1 Finalementz∈   σ  1 n e iθ k , k∈Z    =   σ  n e iθ k , k ∈ { 0,1,..,n−1   }  compte tenu du fait iπ quee 2 =1 .  1 Réciproquement, il est facile de vérifier que , pour toutk ∈ { 0,1,..,n−1 } , σ n e iθ k est solution dez n = αDe plus, ces complexes sont tous distincts..   Conclusion : Léquationz n = αadmetnracines distinctes qui sontz k = σ 1 n e i( ϕ n + 2 n kπ ) , k∈ {0,1,..,n−1}.  Interprétation géométrique 1 Les racines dez n = αsur un cercle centré en 0 de rayonsont les affixes de points situés σ n . Ces points sont les sommets dun polygone régulier àncôtés inscrits dans ce cercle.  Exemple :z 3 =1  2iπk On a z k =e 3 aveck ∈ { 0,1,2 }  

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   Autrement dit, les racines cubiques de lunité  sont doncz 0 =1 ,z 1 = − 2 1 +iet 2 3 z 2 = − 1 2 −i . 3 2 Elles sont les affixes des sommets dun triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre 0 et de rayon 1 comme le montre la figure.  Le complexe− 1 2 +ippasteéel 3 2 j. On remarque quez 2 j j 2 . = =  En effet,j 3 =j×j 2 =1 doncj 2 = 1 j =

j = j =j. j. j  j 2

 De même 1−j 3 =0 = ( 1−j ) 1+j+j 2 . Orj≠1 donc 1+j+j 2 =0 .  9- Résolution de léquation du second degré az 2 +bz+c=0 , a∈C*, b∈C , c∈C  Comme a≠0 , en factorisant paraon obtient aisément az 2 +bz+c=a        z+ b a2    2 − b 2 4 −4 a 2 ac     . Notons =b 2 −4ac et considérons une racine carrée de . On a alors − + az 2 +bz+c=a        z+ a b 2    2 − 4 δ a 2 2   =   a    z − −b a2    −   δ  z− b a2    δ  Les solutions de léquation sont doncz 1 = − 2 b a − etz 2 = −b 2 + a . 

Exemple : Résoudre dans C léquationz 2 −

On a∆= (−i) 2 −i 3= −1−i 3=2i 2    1 2 + i π On peut donc choisirδ =i 2e 6 = − 2 +i 2 Les solutions de léquation sont donc

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iz+i 3 =0. 4 i i i 3   2i 2 e π   i 2e π  2 . = 3 = 6  2    6 comme racine carrée de 2

.

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