Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm

Charles - Franc¸Ois Sturm

Description

Niveau: Supérieur
Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif : une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 23 janvier 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Seminaire de calcul formel et complexite, Universite Rennes I 1/30

• racines complexes de polynomes complexes


• polynomes


• formule d'inversion de cauchy suites de sturm


• racines reelles de polynomes reels


• formule du produit invariance par homotopie

Sujets

• Calcul formel
• Cauchy
• Leibniz
• Lagrange
• Girard
• Fontana
• Descartes
• Laplace
• Évariste Galois

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

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23 janvier 2009

Michael Eisermann

Institut Fourier, Universit  ´e  Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm

Leth ´ eor ` emefondamentaldel’alg ` ebrerendueffectif: unepreuvere ´ ellealg ´ ebriqueparlessuitesdeSturm

03/ ni,U´eit´eitrsve

Prologue

Lethe ´ or ` emefondamentaldel’alg ` ebre,aliasGauß-d’Alembert,estunre ´ sultat classiquedesmathe ´ matiquesdu19esie ` cle.Ilestsouventutilise ´ ,cit ´ e, enseigne ´ ,...etm ´ eritedoncuneattentionappropri ´ ee.Ilrested’actualit ´ e,par exemple concernant ses aspects algorithmiques ou nume´  riques.

Sidenosjoursl’e ´ nonce ´ duth ´ or ` emen’aplusriendesurprenant,lapreuve e re ´ ellealge ´ briquequejepr ´ esenteiciesttr ` esremarquable:elleeste ´ l ´ egante, e ´ l ´ ementaire,eteffective.Cetexpose ´ apourobjectifdelapopulariser.

Lapreuver ´ eellealge ´ briqueestbase ´ esurdeside ´ esdeGauß(1799),Cauchy (1831/37), et surtout Sturm (1836), mais semble inconnue de nos jours. J’ai euleplaisirdelad ´ ecouvrirenpr ´ eparantuncoursdecalculformel,etj’ai ´ et ´ e ensuitetre ` ssurprisdenepaslatrouverdanslalitt ´ eraturemoderne.

Ainsimacontributionconsistea ` remettrecettebelled ´ emonstrationa ` la lumie ` redujour,apr ` esplusd’unsi ` ecledansl’oubli,etdede ´ velopper l’esquisse de Sturm en due rigueur.

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Plan

1

2 3

4

Le the´ ore` me fondamental de l’alge`  bre Leth ´ eor ` emeetsonhistoire Racinesreellesdepolyno ˆ mesr ´ eels ´ Racinescomplexesdepolyn ˆ omescomplexes

Sturm1829/1835:racinesre ´ ellesdepolyno ˆ mesr ´ eels L’indicedeCauchypourlespolyn ˆ omesr ´ eels La formule d’inversion de Cauchy Suites de Sturm

Sturm1836:racinescomplexesdepolyn ˆ omescomplexes L’indice de Cauchy pour les polyn  ˆ  pl es omes com ex La formule du produit Invariance par homotopie

Conclusions et perspectives

Reference : ´ ´ The Fundamental Theorem of Algebra made effective : an elementary real-algebraic proof via Sturm chains. www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/publications.html#roots

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§1.

Leth ´ eore ` mefondamentaldel’alge ` bre

1

The´ ore` me (version bre`  ve) Tout polynome complexe de degre´ nadmetnracines complexes. ˆ

The´ ore` me  (version longue) SoitRtoitsseel ´ esrrebmonsedsprocelC=R[i]`uoi 2 =−1. Alorspourtoutpolyn ˆ ome F=Z n +c 1 Z n−1 +∙ ∙ ∙+c n−1 Z+c n a coefficientsc 1 , . . . , c n−1 , c n ∈Cil existez 1 , z 2 , . . . , z n ∈Ctels que ` F= (Z−z 1 )(Z−z 2 )∙ ∙ ∙(Z−z n ).

Questions naturelles : Existe-t-iluned ´ emonstration ´ ele ´ mentaire?quicaptelage ´ ome ´ trie? Peut-onaffaiblirl’hypoth ` ese?a ` quelscorpsordonn ´ esaulieudeR? Peut-on renforcer la conclusion ? la rendre effective ?

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§.1

Quelques protagonistes

1

Scipione del Ferro (1456-1526) Niccol ` oFontanaTartaglia(1500-1557) Gerolamo Cardano (1501-1576) Lodovico Ferrari (1522-1565) . . . Niels Henrik Abel (1802-1829) ´ Evariste Galois (1811-1832)

Albert Girard (1595-1632) Rene´ Descartes (1596-1650) Gottfried Leibniz (1646-1716) . . . Leonhard Euler (1707-1783) Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Pierre-Simon Laplace (1749-1827) . . . Carl Friedrich Gauß (1777-1855)

Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ ois Sturm (1803–1855)

Tourisme mathematique ´

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§1.

Strat ´ egiesdepreuve

1

Onconnaıˆttroisstrat ´ egiesdepreuve: 1 ...to,Ss,keraegontieu,sni ´ tnalatyqionctionsacit ´ e,fpmoc:esylanA (d’Alembert 1746, Argand 1814, Cauchy 1820) ; 2 oriedeGaloismye ´ rtqieu/shte ´ fos,me ˆ ossontincpIVT:erbnylopruolg ` eA (Euler 1749, Lagrange 1772, Laplace 1795, Gauß 1816) ; 3  : notion d’indice [ brique Topologie alge´ winding number] (Gauß 1799/1816, Cauchy 1831, Sturm–Liouville 1836)

Lapreuvepr ´ esent ´ eeiciest  alge´  brique re´ elle et se situe entre 2 et 3.

Cettepreuver ´ eellealg ´ ebrique,qu’est-cequ’elleoffred’int ´ eressant?

✔lee ´ .slEelest ´ el ´ ementairea:irht ´ mteqieuT+VIdespolyn ˆ omesr ✔ el clos. les arguments sont valables sur un corps re´ Tous ✔La preuve est constructive : elle permet de localiser les racines. ✔plimme ´ ecifa ` aleasfifnemmretnustetimheetsLa’glro.caceteffi ✔deetme ` eor ´ ethdu.emhtirogla’lemonD ´ leelofmritnotsar

Sous des hypothe`  ses minimales nous obtenons des conclusions maximales.

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§.1

Desnombresre ´ elsauxcorpsr ´ eelsclos

2

Th ´ e ` me(caracte ´ risationdesnombresre ´ els) eor Pourtoutcorpsordonn ´ e(R,+,∙,≤)ostn ´ equivalents: 1 (R,≤)re.rieuup ´ essitatiaf’la ` ioaxdemebolaesrn 2 Tout intervalle[a, b]⊂Rest compact. 3 Tout intervalle[a, b]⊂Rest connexe. 4 Toutef:R→R  des valeurs interme´  diaires : continue a la proprie´ t ´e a < b∧f(a)<0< f(b) =⇒ ∃x∈R:a < x < b∧f(x) = 0. Deux tels corps sont isomorphes par un unique isomorphisme de corps. Un tel objet existe : on l’appelle le corps des nombres re´  els,  note´ R.

Cecin ´ ecessitelalogiquedesecondordre.Beaucoupmoinssuffira:

Definition(corpsr ´ eelclos) ´ Un corps ordonne´ (R,+,∙,≤)est ditosr ´ eelcl me si tout polynoˆ P∈R[X]ruselruseav ´ tdeire ´ iresediaerm ´ sintsla ` aopprisatitfaR.

Exemples : les nombres re´  elsRlesr ´ eelsalg ´ ebrqi,eusQ c ⊂R . ., . Tout corps ordonn  ´e admet une unique cloˆ  ture  ´ lle.  Exemple :R(X) c . ree

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§.1

Compl ´ ementssurlescorpsre ´ elsclos

2

Remarque Dansuncorpsre ´ elclosl’ordreestd ´ etermin ´ epara≥0⇔ ∃r∈R:r 2 =a.

D ´ emonstration.Poura >0 me le polynoˆ X 2 −aa une racine dans[0,1 +a].

Th ´ e ` me(clo ˆ turere ´ elle) eor Tout corps ordonne´ (K,+,∙,≤)  re´  elle, admet une cloˆ  ture c’est- ` a-direuneextensionalge ´ briqueR⊃K close. elle qui soit re´ Deuxtellescl ˆ oturessontisomorphesparununiqueisomorphismedecorps.

Lacl ˆ oturer ´ eelleestdoncbienplusrigidequelaclo ˆ turealg ´ ebrique!

Th ´ eor ` eme(Artin–Schreier1927) SoitRun corps et soitC⊃Remeuqirb.solctnuncolg ´ erpsa Si1<dim R (C)<∞alorsRelclosetestr ´ eC=R[i].

Ainsilescorpsre ´ elsclosnousfournissentl’hypoth ` eseminimale.

The´ ore` me  (Tarski 1951, Seidenberg 1954) Lescorpsre ´ elsclosonttouslam ˆ emethe ´ oriee ´ le ´ mentaire.

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§1.

Racinesre ´ ellesdepolyn ˆ omesre ´ els

2

Commentd ´ eterminer/majorerlenombrederacinesdeP∈R[X]dans[a, b]?

Re´ ponses  partielles par Descartes (1596-1650), Fourier (1768-1830), . . .

Th ´ eor ` emedeSturm(1829/35) SiRrolasstr ´ elos,eelc# ˘ x∈[a, b] ˛ P(x) = 0 ¯ =V ab ` S 0 , S 1 , . . . , S n ´ .

Ici la suiteS 0 , S 1 , . . . , S n est obtenue deS 0 =PetS 1 =P 0 par division euclidienneit ´ ere ´ e,S k−1 =Q k S k −S k+1 , jusqu’  `a  ce queS n+1 = 0.

Cethe ´ or ` emepermetdecompterpuisdelocalisertouteslesracinesr ´ eelles:

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