Licence L3 Algèbre et théorie des nombres

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence L3 – Algèbre et théorie des nombres 2010-2011 6. Anneaux Exercice 6.1 Donner des exemples de corps K : (i) fini, (ii) dénombrable, (iii) tel que tout polynôme dans K[X] admette une racine, (iv) avec aucune des trois propriétés précédentes. Exercice 6.2 1. Trouver deux polynômes distincts dans Z/2Z[X] qui définissent la même fonction de Z/2Z vers Z/2Z. 2. Si K est un corps infini, montrer que deux polynômes distincts dans K[X] définissent des fonctions distinctes de K dans K. Exercice 6.3 1. Donner un exemple de polynôme P (X) ? R[X] sans racine réelle. 2. Montrer que tout polynôme P (X) ? R[X] de degré impair admet au moins une racine réelle. Rappel : Idéal Soit A un anneau commutatif. On dit que I ? A est un idéal si I est un sous-groupe additif de A et si ?x ? I, ?y ? A, on a xy ? I. Exercice 6.4 Déterminer le PGCD de X3 + 4X2 + 4X + 3 et X3 + 5X2 + 8X + 6 dans R[X]. Exercice 6.5 On considère l'anneau R[X]. 1.

• isomorphisme


• lois d'addition et de multiplication usuelles


• polynôme


• unique morphisme d'anneau de z


• anneau quotient


• x3 ?


• diviseurs de zéro dans l'anneau z


• anneaux z

Sujets

• Isomorphisme
• Polynôme
• Anneau quotient

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Extrait

Licence L3 – AlgÈbre et thÉorie des nombres

2010-2011

6. Anneaux Exercice 6.1Donner des exemples de corpsK: (i) fini, (ii) dÉnombrable, (iii) tel que tout polynÔme dansK[X]admette une racine, (iv) avec aucune des trois propriÉtÉs prÉcÉdentes.

Exercice 6.2deux polynÔmes distincts dans1. TrouverZ/2Z[X]qui dÉfinissent la mme fonction deZ/2ZversZ/2Z. 2. SiKest un corps infini, montrer que deux polynÔmes distincts dansK[X]dÉfinissent des fonctions distinctes deKdansK.

Exercice 6.3un exemple de polynÔme1. DonnerP(X)∈R[X]sans racine rÉelle. 2. Montrerque tout polynÔmeP(X)∈R[X]de degrÉ impair admet au moins une racine rÉelle.

Rappel :IdÉal SoitAun anneau commutatif. On dit queI⊂Aest un idÉal siIest un sous-groupe additif deAet si∀x∈I,∀y∈A, on axy∈I.

3 23 2 Exercice 6.4DÉterminer le PGCD deX+ 4X+ 4X+ 3etX+ 5X+ 8X+ 6dansR[X].

Exercice 6.5On considÈre l’anneauR[X]. 3 24 3 2 1. DÉterminerl’idÉalJengendrÉ par les polynÔmesX+3X+4X+2etX+2X+3X+2X+2. 2. Donnerun isomorphisme entre l’anneau quotientR[X]/Jet le corpsC.

3 Exercice 6.6On considÈre dans l’anneauZ[X]les idÉauxI,JengendrÉs par2XetX, et par3X 2 etX+ 1respectivement. 3 1. MontrerqueX−2X∈I∩J. 3 2. MontrerqueI+J=Z[X]. En dÉduire queX−2X∈IJ. 3 3. Montrerqu’il n’existe pas de polynÔmesP∈IetQ∈Jtels queX−2X=P Q.

Rappel :Morphisme d’anneaux SoientAetBdeux anneaux. On dit quef:A→Best un morphisme d’anneaux si pour tousx, y∈Aon a 1.f(x+y) =f(x) +f(y); 2.f(xy) =f(x)f(y); 3.f(1) = 1.

Exercice 6.7qu’il existe un unique morphisme d’anneau de1. MontrerZvers un anneau donnÉA. 2. SoitAun anneau. Que peut-on dire d’un idÉal qui contient0? et d’un idÉal qui contient1? 3. SoientFun corps,Aun anneau. Pourquoi tout morphisme d’anneauxφ:F→Aest-il injectif?

Exercice 6.8DÉterminer tous les morphismes d’anneaux deZdansZ, puis deQdansZ, et finalement deRdansQ.

Exercice 6.9Etablir les isomorphismes suivants : ∼ 1.K[X]/(X−α) =K, oÙKest un corps etα∈K. 2 ∼ 2.Z[X]/(X+ 1) =Z[i].