Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Ensembles d'applications linéaires Soient E et F deux espaces vectoriels sur K (désignant R ou C). On rappelle qu'une application f : E ? F est dites linéaire lorsque : ?(u, v) ? E2,?(?, µ) ? K2, f(?u+ µv) = ?f(u) + µf(v) On note L (E,F ) l'ensemble des applications linéaires de E vers F . On désigne par L (E) := L (E,E) l'ensemble des endomorphismes de E vers lui-même. On examine quelques propriétés de structure sur les ensembles L (E,F ) et L (E). I. L'espace des applications linéaires 1. Combinaisons linéaires d'applications linéaires Proposition. Si E et F sont des K-espaces vectoriels alors L (E,F ) est un K-espace vectoriel. Démonstration. On sait que l'ensemble FE des applications (quelconques) de E vers F est un K-espace vectoriel. Montrons que L (E,F ) est un sous-espace vectoriel de FE . • L'application constante nulle (qui à tout u ? E associe 0F ) est linéaire. Donc L (E,F ) est non vide.

• anneau intègre en général


• anneau


• réciproque f?1 ?


• application constante


• endomorphismes nuls


• application linéaire


• f?1


• loi ?

Sujets

• Anneau
• Application linéaire

Informations

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Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

Ensembles d’applications linéaires

PCSI A2010-2011

SoientEetFdeux espaces vectoriels surK(désignantRouC). On rappelle qu’une applicationf:E→Fest dites linéairelorsque : 2 2 ∀(u, v)∈E ,∀(λ, µ)∈K, f(λu+µv) =λf(u) +µf(v)

On noteL(E, F)l’ensemble des applications linéaires deEversF. On désigne parL(E) :=L(E, E)l’ensemble des endomorphismes deEvers lui-mme. On examine quelques propriétés de structure sur les ensemblesL(E, F)etL(E).

I. L’espace des applications linéaires

1. Combinaisons linéaires d’applications linéaires

Proposition. SiEetFsont desK-espaces vectoriels alorsL(E, F)est unK-espace vectoriel.

E Démonstration.On sait que l’ensembleFdes applications (quelconques) deEversFest unK-espace vectoriel. E Montrons queL(E, F)est un sous-espace vectoriel deF. •L’application constante nulle (qui à toutu∈Eassocie0 F ) est linéaire. DoncL(E, F)est non vide. •Vérifions queL(E, F)est stable par combinaisons linéaires. 2 22 ?Soit(f, g)∈L(E, F). Vérifions quef+g∈L(E, F): soient(u, v)∈Eet(λ, µ)∈Kalors : (f+g)(λu+µv) =f(λu+µv) +g(λu+µv) =λf(u) +µf(v) +λg(u) +µg(v)carfetgsont linéaires; =λ(f+g)(u) +µ(f+g)(v) Doncf+g∈L(E, F)(i.e.f+gest linéaire). 2 2 ?Soitf∈L(E, F)etν∈K. Vérifions queνf∈L(E, F): soit(u, v)∈Eet(λ, µ)∈Kalors : (νf)(λu+µv) =ν(λf(u) +µf(v))carfest linéaire; =λ(νf)(u) +µ(νf)(v) Doncνf∈L(E, F)(i.e.νfest linéaire).

B A retenir :une combinaison linéaire d’applications linéaires est encore une application linéaire. Exemples. 2 2 1. Soientf∈L(R,R)etg∈L(R,R)définies parf((x, y)) =x+ 2yetg((x, y)) =−y. Alors l’applicationh= 2f+gest l’application définie par h((x, y)) = 2(x+ 2y) + (−y) = 2x+ 3y 2 Ainsihest bien une application linéaire deRversR. 0 2. Soitϕ:K[X]→K[X]définie parϕ(P) =P. Doncϕ∈L(K[X]). considérons l’application définie par 0 ψ(P) =P+P. Alorsψ∈L(K[X]); en effet on peut écrireψ=id K[X] +ϕ.

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