Lycée Brizeux Samedi Mars PCSI B

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 20 Mars 2010 PCSI B Devoir surveillé no 6 Thermodynamique & Mécanique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Les deux problèmes sont indépendants – Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne sera pas prise en compte. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Sonder l'atmosphère, Centrale-Supelec 2008, filière TSI L'atmosphère entoure toute la Terre et permet à toutes les espèces vivantes terriennes de respirer pour vivre. Les phénomènes physiques intervenant dans l'atmosphère sont nombreux et caractérisent en fait différentes couches en fonction de l'altitude : de la troposphère au niveau du sol jusqu'à l'ionosphère couche d'atmosphère la plus haute avant l'espace. On se propose dans ce sujet d'étudier la façon dont les météorologistes sondent les basses couches de l'atmosphère (troposphère et basse stratosphère) pour tenter de comprendre et de modéliser les phénomènes météorologiques en vue notamment de répondre à la difficile question : « quel temps fera-t-il demain ? ». Données numériques : Rayon de la Terre RT = 6, 4.103 km Accélération de la pesanteur au niveau du sol g = 9, 81 m.s?2 Constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.

• humidité dans l'air


• expression générale de la vitesse ??v et de l'accélération ??a


• masse molaire de l'helium mhe


• enveloppe


• champ de pression


• equation différentielle


• atmosphère isotherme


• ballon


• atmosphère

Sujets

• Enveloppe
• Équation différentielle
• Atmosphère isotherme
• Ballon
• Atmosphère

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 mars 2010
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• Langue: Français

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI B

o Devoir surveillÉ n 6

Samedi 20 Mars 2010

Thermodynamique & MÉcanique –La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ –Les deux problÈmes sont indÉpendants –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ ne sera pas prise en compte. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.

ProblÈme I Sonder l’atmosphÈre, Centrale-Supelec 2008, filiÈre TSI L’atmosphre entoure toute la Terre et permet À toutes les espces vivantes terriennes de respirer pour vivre. Les phnomnes physiques intervenant dans l’atmosphre sont nombreux et caractrisent en fait diffrentes couches en fonction de l’altitude : de la troposphre au niveau du sol jusqu’À l’ionosphre couche d’atmosphre la plus haute avant l’espace. On se propose dans ce sujet d’tudier la faÇon dont les mtorologistes sondent les basses couches de l’atmosphre (troposphre et basse stratosphre) pour tenter de comprendre et de modliser les phnomnes mtorologiques en vue notamment de rpondre À la difficile question : « quel temps fera-t-il demain ? ». DonnÉes numÉriques :

Rayon de la Terre Acclration de la pesanteur au niveau du sol Constante des gaz parfaits Masse molaire de l’air Masse molaire de l’Helium

3 R T = 6,4.10km −2 g= 9,81m.s −1−1 R= 8,31J.K .mol −3−1 M air = 29.10kg.mol −3−1 M He = 4,0.10kg.mol

α  On rappelle qu’À l’ordre 1 en:(1 +1 +) = αete= 1 +

A Modliser l’atmosphÈre Toute prvision mtorologique est base sur un modle fiable de l’atmosphre rendant compte en particulier de la pression, de la temprature et de l’hygromtrie (humidit de l’air) en diffrents points de l’espace. Des mesures exprimentales de ces grandeurs en fonction de l’altitude sont ainsi effectues rgulirement À l’aide de ballons-sonde pour permettre d’affiner les modles informatiques existants et de prvoir les ventuelles formations nuageuses. Dans cette partie, le champ de pesanteur est uniforme et gal À sa valeur au niveau du sol. L’air sera toujours considr localement comme un gaz parfait. A.1 ModÈle simple de l’atmosphÈre isotherme

On considre dans un premier temps le cas d’une atmosphre isotherme au repos, dans laquelle la temprature est uniforme et vautT 0 = 273K. La pression au niveau du sol vautP 0 = 1,0bar= 5 1,0.10P a. On appelleP(z)la pression qui rgne À l’altitudez.

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A.1.1Faire un bilan des forces s’exerÇant sur une tranche de fluide de baseS, comprise entre les altitudeszetz+dz(figure 1). En dduire l’quation diffrentielle vrifie parP(z). A.1.2Dterminer l’expression de la pressionP(z)qui rgne À l’altitudez. Le trac deP(z)est report sur la figure 3 ci-aprs (courbe en pointills). A.1.3Dduire de ce qui prcde l’ordre de grandeur de l’paisseur de l’atmosphre isotherme dans le cadre de ce modle. Faire l’application numrique. Montrer que l’on peut retrouver ces rsultats graphiquement. A.2 Profils de tempÉrature et de pression dans l’atmosphÈre rÉelle

Les donnes transmises par un ballon-sonde au cours d’une traverse de la troposphre et de la basse atmosphre permettent de tracer les profils rels de temprature et de pression rgnant À la verticale d’une station mto. Les rsultats son rassembls sur la figure 2 ci-aprs :

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A.2.1Quelle diffrence essentielle y-a-t-il entre la stratosphre et la troposphre ? A.2.2Que pensez-vous du modle vu enA.1de l’atmosphre isotherme pour dcrire la strato- sphre ? On comparera les profils rels de temprature et de pression avec les rsultats du modle (voir figure 3 courbe en pointills). On cherche À affiner le modle prcdent en considrant cette fois un profil de temprature de la forme :T(z) =T 0 −azavecT 0 etades paramtres constants. A.2.3Commenter le choix de ce profil de temprature et valuer numriquementT 0 eta. A.2.4Montrer que le champ de pression dans la troposphre se met sous la forme :P(z) = α P(1−bz)oÙbetαsont des paramtres constants À dterminer. Comparer alors ce champ de pression avec celui obtenu enA.1pour l’atmosphre isotherme lorsque l’on se place À faible altitude (bz1). Un logiciel informatique de traitement de donnes permet d’ajuster les valeurs deP 0 ,betαpour 5 que le modle dcrive correctement les points exprimentaux. On obtient ainsi :P 0 = 1,03.10P a, −5−1 b= 1,95.10metα= 5,91. La courbe correspondante est trace en trait plein sur la figure 3. A.2.5Dduire de ces rsultats une autre dtermination deT 0 etaet comparer aux valeurs trouves prcdemment. Conclure quant À la validit de ce modle pour dcrire la troposphre. A.2.6En utilisant le mme critre que celui vu en A.1.3 pour l’atmosphre isotherme, valuer l’paisseur de l’atmosphre dans ce nouveau modle. Conclure.

B Etude d’un ballon sonde Le ballon-sonde est le moyen le plus simple et le plus conomique d’envoyer une charge dans les diffrentes couches de l’atmosphre. Les ballons mtorologiques, embarquant du matriel scientifique de mesure, explorent par exemple toute la troposphre et la basse stratosphre. On se propose ici d’tudier quelques variantes d’un ballon-sonde stratosphrique : ballon ouvert À l’hlium et ballon ferm À l’hlium. Dans toute cette partie, l’atmosphre est suppose isotherme, de tempratureT 0 = 273K, et le champ de pression est celui fourni par la figure 3 de la partieA. 5 La pression au niveau du sol vautP 0 = 1,0.10P a. Tous les gaz sont considrs comme parfaits et on ngligera la force de frottement dans l’air.

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B.1 Le ballon stratosphÉrique ouvert (B.S.O) On considre le ballon sonde, reprsent sur la figure 4 ci-contre, compos : 3 – d’une enveloppe suppose sphrique, de volumeV= 100m(cor- respondant À un diamtre de l’ordre de6m), ouverte sur l’extrieur par des manches d’vacuation situes À la base du ballon ; – d’un parachute permettant de ralentir la descente du ballon À la fin de la mission ; – d’un rflecteur radar rendant plus facile le suivi À distance du ballon ; – d’une nacelle contenant les appareils de mesure, le systme de tl- communication et de positionnement G.P.S. Dans ce type de ballon, l’enveloppe est indformable et garde un volume Vconstant. Le ballon tant ouvert À sa base, la pression À l’intrieur du ballon est identique À tout moment À celle qui rgne À l’extrieur. Au moment du lancement, le ballon est gonfl À l’hlium.

On suppose que la temprature À l’intrieur du ballon reste constante, gale À la temprature ext- rieureT 0 . La massemde l’ensemble (enveloppe + parachute + rflecteur + nacelle) reste constante au cours du vol. Le volume du ballon est assimil À celui de son enveloppe. B.1.1Le ballon-sonde tant prvu pour monter À quelques dizaines de kilomtres d’altitude, faut- il tenir compte de la variation du champ de pesanteur, assimil ici au champ de gravitation Δg terrestre, avec l’altitude ? Èvaluer la variation relative maximale du champ de pesanteur g entre le sol et l’altitudez= 20km. Conclure. B.1.2Dterminer la massem gaz de gaz contenue dans l’enveloppe au dcollage. B.1.3Effectuer un bilan des forces prcis s’exerÇant sur le ballon au moment du dcollage. En dduire une condition surmpour que le ballon dcolle effectivement. On considre dans la suitem= 10kg. B.1.4Expliquer ce qui se passe dans le ballon au cours de son ascension. B.1.5Le plafond est atteint lorsque le ballon est À son altitude maximale. A quelle condition le ballon plafonne-t-il ? Estimer alors l’altitude maximale atteinte par le ballon-sonde. Ds que le plafond est atteint, un systme de largage libre le ballon de son enveloppe. Le ballon entame alors sa descente, ralentie par le parachute. Une fois retrouvs sur la sol, les appareils de mesure pourront servir une nouvelle fois pour une prochaine mission. B.2 Cas d’un ballon fermÉ

Le ballon-sonde possde cette fois une enveloppe lastique ferme. Cette enveloppe est remplie d’une massem He = 0,80kgd’hlium au moment du lancement. Les accessoires sont identiques À ceux du ballon vu enB.1. On suppose comme prcdemment que la temprature À l’intrieur du ballon est identique À chaque instant À celle de l’air extrieurT 0 . Les observations indiquent que le ballon a un diamtre de2mau dcollage pour atteindre son diamtre maximal de4,6m, juste avant que l’enveloppe n’clate À son altitude maximale. B.2.1Expliquer qualitativement les phnomnes qui provoquent l’clatement du ballon. L’lasticit de l’enveloppe s’explique par les proprits de tension superficielle du matriau, qui im- posent la relation suivante entre la pression intrieurP int du ballon et la pression extrieure de l’air 4σ P ext (formule de Laplace) :P int −P ext =oÙσest appel coefficient de tension superficielle etr r le rayon de l’enveloppe sphrique. B.2.2Prciser l’unit deσet calculer numriquement sa valeur. B.2.3Dterminer l’altitude maximale atteinte par le ballon-sonde.

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