Master EDP dispersives

Sylvie Benzoni1

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Master 2 : EDP dispersives Sylvie Benzoni1 24 fevrier 2009 1Universite Claude Bernard Lyon 1,

• edp dispersives


• point commun de modeliser des phenomenes de propagation d'ondes


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Sujets

• Onde plane
• Dispersión

Informations

• Publié par: rasum
• Publié le: 01 février 2009
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• Langue: Français

Extrait

Master 2 : EDP dispersives

Sylvie Benzoni 1

24f ´ evrier2009

1 Universite´ Claude Bernard Lyon 1, [e-mail]

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L’objectifdececoursestdepr ´ esenterunpanoramadeproprie ´ te ´ sanalytiquesetalge ´ briques dequelquese ´ quationsauxd ´ erive ´ espartielles(EDP)mode ´ lisantdesphe ´ nom ` enesdepropagation d’ondesdispersives.Lesdomainesd’applicationsdesEDP ´ etudie ´ essontvari ´ es:vibrations, vagues,transitionsdephase,m ´ ecaniquequantique,etc.

Chapitre

EDP

1

I

dispersives

lineaires ´

Exemplesetd ´ efinitionsdebase

Ons’inte ´ ressedanscepremierchapitrea ` desEDPd’e ´ volutionlin ´ eaires,danslesquelles l’inconnue est une fonction (voire une distribution)

u:R + ×R d →C N (tx)7→u(tx).

(Toutaulongdecesnotes,lescaracte ` resgrasserontutilis ´ espourdesvaleursvectoriellesou matricielles.)Danstouteslesapplicationsconsid ´ er ´ ees,t repre´sentera une variable temporelle et les composantes dexdansR d des variables spatiales. Sauf mention contraire, les EDP line´aires e ´ tudie ´ esseront ` acoefficientsconstants.Onconsid ` ereraprincipalementdesEDPd’ordre1en temps,c’est-`a-diredelaforme ∂ t u+ X A α ∂ α u= 0 α o `u lesαsont des multi-indicesα= (α 1  . . .  α d )de«longueur»|α|= P j α j (use´eospp majoree par un entierm), lesA α ostnedmstairecs(r ´ eellesoucompexel)sN×N, et ´

∂ α :=∂ 1 α 1 ∙ ∙ ∙∂ d α d

estunope ´ rateurded ´ erivationd’ordre|α|. SiN= 1on parle d’EDP scalaire. En voici quelques exemples. ´ Equation de transport :∂ t u+a∙ ru= 0,a∈R d . ´ Equationd’Airy:∂ t u+a∂ x u+k∂ x 3 xx u= 0,a k∈R. ´ + EquationdeSchr ¨ odinger:i∂ t u+hΔu= 0,h∈R ∗ , cettedernie ` repouvante ´ galemente ˆ trevuecommeunsyst ` emed’inconnueu a` valeurs dans R 2 . Onetudiera´egalementdes´equationsd’ordre2entemps,construitesautourdel’e´quationdes ´ ondes. 2 E ´ quationdesondes:∂ tt u−c 2 Δu= 0,c∈R + . ´ EquationdeKlein-Gordon:∂ t 2 t u−c 2 Δu+ku= 0,c∈R +  k∈R ∗ . E ´ quationdeBoussinesq:∂ t 2 t u−c 2 ∂ x 2 x u+k∂ x 4 xxx u= 0,c∈R +  k∈R ∗ ,

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´ CHAPITRE I. EDP DISPERSIVES LINEAIRES

Lesparam ` etrespre ´ sentsdansces ´ equationsproviennentdeconstantesphysiques.Toutesces e´quations ont comme point commun de mode´liser des phe´nome`nes de propagation d’ondes, et l’on verra que la plupart sontdispersivesgaveeuresinU.a’onpr ´ ecsensquel,nenu«ndfin ´ eioit» est la suivante :pageepror ´ eqdesfseideucnertnffe ´ esDPeEunsrepsidtlleisevi ` aessvdeesitsse diff ´ erentes. La suite du chapitre permettra notamment de donner un sens a cette formulation. ` D ´ efinitionI.1 Uneonde planeest une fonctionu: (tx)→u(tx)de la forme

o`uξ∈(R d ) 0 etτ∈R.

u(tx) =U(ξ∙x+τ t)

Pard´efinition,siv∈R 3 itne`tlaappraanyp’hpler{v;ξ∙v=−τ}, et siuest une onde plane comme ci-dessus, on a pour tout(tx)R×R d , u(tx) =u(0x−vt). Autrement dit, la valeur deut ` al’instantsur un hyperplan{x;ξ∙x=α} (qui ne de´pend pasdupointsurcethyperplan)estenti ` erementd ´ etermin ´ eeparsavaleur ` al’instantt= 0sur l’hyperplan{x;ξ∙x=α+τ t}. Danscequisuitonconsid ` ere(momentane ´ ment)t comme une variable ordinaire, e´galement note´ex 0 les multi-indices comportent a priori une composante, et α 0 pour les de´ri ´ s par vee rapport a` t. D ´ efinitionI.2 On appellesymboletnssnatstocdci’eunnoeffilei ` na ´ ceeEaDiPr X A α ∂ α u0 = |α|≤m

la fonction polynoˆ  miale

p: (R 1+d ) 0 → ξ7→

C N×N p(ξ) := X (iξ) α A α  |α|≤m

ou`ξ α :=ξ 0 α 0

Lesymbole principal est la fonction polynoˆ  miale p m :ξ7→p(ξ) := X (iξ) α A α  |α|=m

α ∙ ∙ ∙ξ d d .

en supposant que les matricesA α ci-dessus ne sont pas toutes nulles (auquel cas il faudrait diminuerm). Lorsquep=p m Pestl’EDtqueondievtc.enU`gneohomreu,ξ∈(R 1+d ) 0 est dit caracte´ristique pour l’EDP si detp m (ξ) = 0.

Parmilesexemplesci-dessuslesseulesEDPhomoge ` nessontl’ ´ equationdetransport,pour laquellep m (ξ) =i(ξ 0 + P d j=1 a j ξ j ) , et l’e´quation des ondes, pour laquelle p m (ξ) =c 2 kξk 2 − ξ 02 tauqsnoiappaeitrennnalt`laacedss.Cesdeux´e-icehPpyseDEiluqreobontoes,dpellnrap dessous la de´finition.

2. DISPERSION

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De´finition I.3 UneEDPli´ire`acoefficientsconstantsdesymboleprincipalp m est ditehyperboliquesi nea •le vecteur(10 . . . 0) n’est pas caracte´ristique, •pour toutξ∈(R 1+d ) 0 eˆoynalmioitclopnl,nofaz7→detp m (ξ 0 +z ξ 1  . . .  ξ d )a toutes ses racines re´elles. Plusg ´ ene ´ ralement,pourη∈(R 1+d ) 0 l’EDP est ditehyperboliquedans les directions trans- verses`al’hyperplan{η∙(tx) = 0}deR 1+d si •le vecteurη n’est pas caracte´ristique, •pour toutξ∈(R 1+d ) 0  miale, la fonction polynoˆz7→detp m (ξ+zη)a toutes ses raci ´  lles. nes ree

Parde ´ finition,uneEDPhyperboliqueadmetaumoinsunedirectioncaract ´ eristique,ζ= (τ ξ 1  . . .  ξ d )∈(R 1+d ) 0 \{0}lanessolutionsdeectt.A ` tieciredesrrcoondtnednoppsednose l’EDPsielleesthomog ` ene:ilsuffiteneffetdechoisirunvecteurVdans le noyau dep m (ζ)et une fonction scalairef:θ7→f(θ)arbitraire ; l’onde plane

u: (tx)7→f(ξ∙x+τ t)V

est solution de l’EDP. (Iciξedtneme´uvno`aneeln´uuead´esig(R d ) 0 tnes,posascom´etantes naturellement(ξ 1  . . .  ξ d ).) Pourlesequationsnonhomog`enesiln’estpasaussifaciledetrouverdessolutionssous ´ forme d’ondes planes. On peut cependant rechercher des ondes planes particulie`res, pe´riodiques enξ∙x+τ t, que l’on appelle alorsphase, et plus spe´cialement sous la forme d’ondes planes progressives monochromatiques(OPPM) :

u: (tx)7→u(tx) = e i(ξ∙x+τ t) .

On obtient alors larelation de dispersionDE,Puqsie’pxirem ` al’aidedusymbolelpmoc(e)tl’de sous la forme detp(τ ξ 1  . . .  ξ d ) = 0. DansuneOPPMcommeci-dessus,lap ´ eriodetemporelleestT= 2π/|τ|etω=−τ(c’est une convention) est lapulsation.

2 Dispersion

Afind’amenerprogressivementlesnotionsfondamentalesli ´ eesauxph ´ enom ` enesdispersifs, on commence par se placer en une dimension d’espace.

2.1 Dimension un Danscequisuit,onconsid`ereuneEDPlin´eairescalaire,desymbolep, en dimension 1 d’espace. Si(ξ ω)∈R 2 est tel quep(−ω ξ) = 0, l’OPPM

u: (t x)7→u(t x) = e i(ξ∙x−ωt)

est solution de l’EDP. Le re´el ξ est appele´ nombre d’ondeednafdu(lilptuartiiren ˆ otded’oombr angulaire) : siλ ´ edgnsiaellongueur d’ondespdeioerp ´ laontiano,elaita,’cse-t ` a-direpard ´ efini ξ= 2π/λ.

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´ CHAPITRE I. EDP DISPERSIVES LINEAIRES

Commeonl’ad ´ ej ` avu,silesymboleppldeste ` gomohsu,enetoutesles ondes planes

u: (t x)7→u(t x) =U(ξx−ωt)

o ` up(−ω ξ) = 0etUest une fonctionarbitraire, sont des solutions de l’EDP. Siξ6= 0 (ce qui est automatique pour une EPD hyperbolique par exemple, puisque(10)n’est pas ca- ract ´ eristique),onvoitquecesondesplanessepropagenta ` lavitessev=ω/ξ , une quantite´ homog ` enededegr ´ e0 et donc inde´pendente de ξ : par exemple pour l’e´quation de transport, v=anoedsurl’´equationdesetpo,v=±c. Qu’enest-ilpourles ´ equationsnonhomoge ` nes?UneOPPMdenombred’ondeξ6= 0et de pulsationω=W(ξ)se propage a` une vitesseW(ξ)/ξ´en´eralependengqiu´dedξ: c’est lesensdel’ ´ enonce ´ «entef ´ ersdifencee ´ uqserfgaderppoesntre ´ effidsessetivseda ` sleel»dans lavagued´efinitionquenousavonsdonn´eeplushaut.Nousallonsmaintenantpouvoirpre´ciser cette de´finition, en introduisant les notions de vitesse de phaseet devitesse de groupe. Afin de motiver les de´finitions de ces notions, nous allons e´tudier le comportement de solu- tionsplusg´ene´ralesquelesOPPM,enl’occurrencedes«paquets d’ondes», obtenus en«su- perposant»des OPPM. En effet, si on a une famille de solutions de l’EDP sous forme d’OPPM de pulsationω=W(ξ), la fonction u: (t x)7→u(t x 2 1 =) π Z bu 0 (ξ) e i(ξx−W(ξ)t) dξ 

ou` u 0 est (par exemple) dans la classe de Schwartz, est solution de l’EDP et ve´rifie la condition initialeu(0 x) =u 0 (x). Ci-dessusub 0 (ξ)m ´ orsfantrlaneigedreiruoFedee ´ dseu 0 au pointξ: on ve´rifie ainsi que u(0 x) =u 0 (x) ˆ rg ` ecaalaformule d’inversion de Fourier(pour laquelle on pourra se reporter a` l’appendice). Le fait que usoit effectivement solution de l’EDP provient de la«de´rivation sous le signe somme»eesiotua´siretiatnem,rfpau 0 et toutes ses de´rive´es sont int ´ egrables,cequiestlecaspouru 0 ∈S(R). Lame´thode de la phase stationnaireom-´’teemdtlrcedueie[plp.4,6]13er)piov(raprmexe portement deu(t x) a` x/t fixe´ lorsque t→+∞. Supposons qu’il existe un uniqueζtel que W 0 (ζ) =x/t, et queW 00 (ζ)6= 0(c’est le cas par exemple siWest strictement convexe). Alors

4 u(t x)∼ bu 0 (ζ p 4 e) π − t i | sg W n 0 W 0 ( 00 ζ (ζ ) ) | π/ e i(ζx−W(ζ)t) =:ϕ(t x) =:A(t x) e iθ(t,x) .

Lorsque l’on fait varier(t x), le nombre d’onde«local»ζ=ζ(t x) de´fini implicitement par

W 0 (ζ(t x)) =x/t 

est une solution autosimilaire de l’e´quation hyperbolique

∂ t ζ+W 0 (ζ)∂ x ζ= 0.

La vitesseW 0 (ζ)tnemlusp,oupis´er´ecorpudegeE’PDdeleivalssetlepparelelquna’oecest delafamilledesOPPMdepulsationdonn ´ eeparω=W(ξ). Par ailleurs, on voit que la phase θ(t x) :=ζ(t x)x−W(ζ(t x))tve´rifie

∂ x θ=ζ 

∂ t θ=−W(ζ)