Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T D no

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 4 Corrige Dans ces exercices, W designera toujours un processus de Wiener (brownien standard) 1.— Soient s et t deux reels positifs. Montrer que la covariance de Ws et Wt est le plus petit des deux nombres s et t. Solution On suppose s < t et on ecrit Wt = Wt ?Ws +Ws. On a alors : (1) cov(Ws,Wt) = E ( WsWt ) = E ( Ws(Wt ?Ws) ) + E ( W 2s ) puisque toutes les variables concernees sont centrees. Les accroissements Wt ?Ws et Ws ?W0 = Ws sont independants donc l'esperance du produit est le produit des esperances. Ces dernieres sont nulles, a nouveau en raison du caractere centre des variables. La variance de Ws etant egale a s, on trouve finalement (2) cov(Ws,Wt) = s = s ? t. 2.— Verifier que la variance de W 2s est egale a 2s 2. Solution On a (3) Var(W 2s ) = E(W 4 s )?E(W 2 s ) 2 = E(W 4s )? s 2 puisque E(W 2s ) = Var(Ws) = s.

• variable aleatoire


• ws


• esperance


• calcul stochastique


• normale centree de variance


• lois marginales de z


• accroissements du brownien etant

Sujets

• Variable aléatoire
• Espérance
• Calcul stochastique

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Master IMEA 1

Calcul Stochastique et Finance

Corrige ´

o Feuille de T.D. n 4

Dans ces exercices,Watdnra)disngde´uoojretaronpsuurdeusssceb(reneiWsneinwor

1.—Soientsettxr´eelspdeutnoMqrertiso.sfianridecelauevacoW s etW t est le plus petit des deux nombressett.

Solution On supposes < trni´etcoetW t =W t −W s +W s . On a alors :       2 (1)cov(W s , W t ) =EW s W t =EW s (W t −W s ) +EW s

puisquetouteslesvariablesconcerne´essontcentre´es.LesaccroissementsW t −W s etW s −W 0 =W s sont ind´ependantsdoncl’espe´ranceduproduitestleproduitdesespe´rances.Cesdernie`ressontnulles,`anouveau enraisonducaracte`recentre´desvariables.LavariancedeW s ´tnate´a`elages, on trouve finalement

(2)

cov(W s , W t ) =s=s∧t.

2 2 2.—´eVfierieuqravalnairedecWa`2ageltse´es. s

Solution On a

(3)

2 4 2 2 4 2 Var(W) =E(W)−E(W) =E(W)−s s s s s

2 4 puisqueE(W) =Var(W s ) =sreaca`lucl.IlresteE(W). s s Pourunevariableal´eatoirequelconqueXda`e´tisnef X on a Z (4)E(h(X)) =h(x)f X (x)dx. R 4 pourhfonction mesurable. Ainsi, avech(x) =xetX=W s Z 1 2 4 4−x /2s (5)E(W) =x √ e dx. s R 2πs Paruneinte´grationparparties Z h i +∞ 1 2 2 4 3−x /2s2−x /2s (6)E(W) =−sx e+ 3s x √ e dx. s R 2πs −∞ L’int´egraledusecondmembreest´egale`as, la variance deW s .Leter´tge´reeemottunissoiceannustcrl( compare´ea`l’infinidel’exponentielleetd’unpolynoˆme).Ontrouvedonc

(7)

etparconse´quent

(8)

2002-2011 michel miniconi

4 2 E(W) = 3s s

2 2 2 2 Var(W) = 3s−s= 2s . s

version du 5 avril 2011