MATHÉMATIQUES FILIERE MP

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
SESSION 2011 Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES 1. FILIERE MP Partie I - Étude préliminaire I.A - Convergence des séries de Riemann I.A.1) Soit k ? [a+ 1,+∞[?Z. Alors [k, k+ 1] ? [a,+∞[ et [k? 1, k] ? [a,+∞[. Par suite, f est continue et décroissante sur [k ? 1, k] et [k, k + 1]. Mais alors ∫k+1 k f(x) dx 6 ∫k+1 k f(k) dx = (k + 1? k)f(k) = f(k), (cette inégalité étant valable pour k ? [a,+∞[) et aussi ∫k k?1 f(x) dx > ∫k k?1 f(k) dx = (k? (k ? 1))f(k) = f(k). ?k ? [a+ 1,+∞[?N, ∫k+1 k f(x) dx 6 f(k) 6 ∫k k?1 f(x) dx. I.A.2) • Supposons ? > 1. Soit n > 2. La fonction x 7? 1x? est continue et décroissante sur [1,+∞[.

• égalité requise


• egalité


• coefficients constants dans l'égalité


• classe c∞


• n4 ?


• théorème de sommation de relations de comparaison

Sujets

• Égalité

Informations

• Publié par: larec
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Extrait

n∈N ∗ pournte,céde +1 α 1 k 1 6 α k X 1= 1 , n 6 dvenntnduatq , e −1 1tneitbono,∞+sre .I1.α>apD’3)A.itSooitsérpnlsèreuqa S6α(6)+1 α 1 1− .

SESSION 2011

Partie I - Étude préliminaire I.A - Convergence des séries de Riemann I.A.1) Soit k ∈ [ a + 1 + ∞ [ ∩ Z . Alors [ k k + 1 ] ⊂ [ a + ∞ [ et [ k − 1 k ] ⊂ [ a + ∞ [ . Par suite, f est continue et décroissante sur [ k − 1 k ] et [ k k + 1 ] . Mais alors Z k k + 1 f ( x ) dx 6 Z k k + 1 f ( k ) dx = ( k + 1 − k ) f ( k ) = f ( k ) , (cette inégalité étant valable pour k ∈ [ a + ∞ [ ) et aussi k Z k k − 1 f ( x ) dx > Z k − 1 f ( k ) dx = ( k − ( k − 1 )) f ( k ) = f ( k ) . k ∀ k ∈ [ a + 1 + ∞ [ ∩ N , Z k k + 1 f ( x ) dx 6 f ( k ) 6 Z − 1 f ( x ) dx . k I.A.2) • Supposons α > 1 . Soit n > 2 . La fonction x 7 → x 1 α est continue et décroissante sur [ 1 + ∞ [ . D’après la question précédente, n k n X = 1 k 1 α 6 1 + k X = n 2 Z k k − 1 x 1 α dx = 1 + Z x 1 α dx = 1 +  − ( α − 1 1 ) x α − 1  1 n = 1 + α 1 − 1 − ( α − 1 1 ) n α − 1 1 6 1 + 1 α − 1  n Ainsi, pour tout entier n > 2 , X k 1 α 6 1 + α 1 − 1 ce qui reste vrai pour n = 1 . Mais alors, la suite des sommes partielles k = 1 de la série de terme général positif k 1 α , k ∈ N ∗ , est majorée et donc la série de terme général k 1 α , k ∈ N ∗ converge. • Supposons α 6 1 . La fonction x 1 ti t décroissante sur [ 1 + ∞ [ . Donc, pour n ∈ N ∗ , 7 → est con nue e x 1 n k n X = 1 k 1 α > n X k > X 1 Z k k + 1 x 1 dx = ln ( n + 1 ) . k = 1 k = Puisque n l → i + m ∞ ln ( n + 1 ) = + ∞ , on a n l → i + m ∞ n X k 1 α = + ∞ et donc la série de terme général k 1 α , k ∈ N ∗ diverge. k = 1 ral 1 La série de terme géné n α , n ∈ N ∗ converge si et seulement si α > 1 .

MATHÉMATIQUES 1. FILIERE MP

Concours commun Centrale

1 + 1 ∀ α > 1 , 1 6 S ( α ) 6 α − 1 .

I.B - Première étude asymptotique du reste + ∞ k + 1 1 + ∞ k = n Z k k = n k 1 α 6 k + X = ∞ n Z k k − 1 x 1 α dx ou encore Z n + ∞ x 1 α dx 6 R n ( α ) 6 Z n + − ∞ 1 x 1 α dx ou I.B.1) Pour n > 2 , on a X x α dx 6 X enfin, pour n > 2 ,

0 6 R n ( α ) −  ( α − 1 1 ) n α − 1 6 Z n + − ∞ 1 x 1 α dx − Z n + ∞ x 1 α dx = Z n n − 1 x 1 α dx 6 ( n − ( n − 1 )) × ( n − 1 1 ) α = ( n − 1 1 ) α  On en déduit que ∀ n > 2 , 0 6 n α  R n ( α ) −  ( α − 1 1 ) n α − 1  6  n n − 1  α =  1 + n 1 − 1  α 6 2 α . Ainsi, n α  R n ( α ) −  ( α − 1 1 ) n α − 1  = O ( 1 ) ou encore n → + ∞ R n ( α ) = 1 n α − 1 + O  n 1 α  . n → + ∞ ( α − 1 )

I.B.2) Soit k ∈ N ∗ . La fonction f est de classe C 2 sur ] 0 + ∞ [ . La formule de Taylor-Laplace à l’ordre 2 s’écrit f ( k + 1 ) − f ( k ) = ( k + 1 − k ) f ′ ( k ) +  ( k + 1 − 2 k ) 2 f ′′ ( k ) + Z k k + 1 ( k + 1 2 − t ) 2 f ( 3 ) ( t ) dt 1 α 1 ) + 1 ( = − + 1 + α ( α + 1 Z k k + x α 1 + − 2 t ) 2 dx k α 2 k α 2 k 1 ) avec 0 6 α ( α 2 + 1 ) Z k k + 1 ( k + x α 1 + − 2 t ) 2 dx 6 α ( α 2 + 1 ) Z k k + 1 k 1 α 2 + 2 dx = α 2 ( k α α + + 2 . I.B.3) Soit n ∈ N ∗ . D’après la question précédente, R n ( α ) = k + = X ∞ n k 1 α = k + X = ∞ n  f ( k + 1 ) − f ( k ) + 2 αk α − + 1 A k  .

N • Pour N > n , X ( f ( k + 1 ) N → + ∞ − f ( k )) = f ( N ) − f ( n ) (somme télescopique). Puisque lim f ( N ) = 0 (car α − 1 > 0 ), la série k = n de terme général f ( k + 1 ) − f ( k ) , k > n , converge et X ( f ( k + 1 ) − f ( + ∞ k )) = − f ( n ) = α − 1 1 ) n α − 1 . k = n ( 1 • k + = X ∞ n 2 αk α = + 1 α 2 R n ( α + 1 ) n → = + ∞ α 2 (( α + 1 ) − 1 1 ) n ( α + 1 )− 1 + O  (( α + 1 ) − 1 ) n α + 1  = 2n 1 α + O  n α 1 + 1  . •  − k + X = ∞ n A k  = k + X = ∞ n k = n ( α + 1 ) n α + 1 + O  n α 1 + 2  et en p A k 6 α ( α 2 + 1 ) + X ∞ R n ( α + 2 ) avec R n ( α + 2 ) n → = + ∞ 1 articulier R n ( α + 2 ) n → = + ∞ O  n α 1 + 1  . Par suite, − k + = X ∞ n A k n → = + ∞ O  n α 1 + 1  . En résumé, R n ( α ) n → = + ∞ ( α − 1 1 ) n α − 1 +  2n 1 α + O  n α 1 + 1  + O  n α 1 + 1  n → = + ∞ ( α − 1 1 ) n α − 1 + 2n 1 α + O  n α 1 + 1  . R n ( α ) n → = + ∞ ( α − 1 1 ) n α − 1 + 2n 1 α + O  n α 1 + 1  .

k) + 2p−1 X −j j!   f ( j X 1= k a j− =k+p  1 k    0 f=a f (    k) j Xk k a 1= X p + ′  2=k enticonvsontmmesluelnentllmenoenle=1ip(s k) f (   j! osserèinredxueds =j
1 j 1 p ! 1− i X 0= i af (i+j) ! = X 06i6p−1 olA.∈gsrI( ∞ Ce)C X j t p 1 j =1 (j ! g pX ) =   i X  6060 j+k= 6j6p p−1 1  a i j! i a  p6j61 )j+i( f !j X k −12p  =    =1 S)1.(tio illu A.II eBsdnoerNoA-remb uoll I i .I seedeBnrretnombredeTaylo )i( f i a 0=i X 1−p =geosnp.OC)I ∞ (∈CtfN∈e ∗ neptS.ioleelteréesui ∈N una n ) n eItiarPulrmFoI- ncfola)àe1édital1=pàtex→7x:fnoit 0 ×1=nta ′ btie.Ono S . io 0 ′ 1=noace1dt lippelqu>2tpna.O)1edfalàagé’étil:x7→x p . D onctionf p , 1− l X 1= nacscesa iaanO.tnrtnomisn stxi’e é lladeceen(e n austi I . .I n ) N∈ MontA.2)l’unronsticiledéiusaa(et n∈n )So N .(ait) n ′ n N∈ nuustiselotuoin. Onappliquel’ég j X 2= )11+( + −k k a 1− j j! = 1 a k− kX j= ,ona 1=l X 1−p + ′ f= ′ gcnotd , e =0 j! −j1)k− a ( dnpénead ;l s p noit l) oùlesbb lp f (p+ oc N∈ eivn(eti n ) n ac,onsulasdnt.Def définuitera 0 =iepatia( )s oSl N sa) n∈n −j+1 a n =2 rslo . A j! ∗ N∈n∀te1 j Xn −= n a, égalitérequisees(, 0 a)f= ′′ f0+te’lpoisp>urt22e6p6karvtuqeipdnaup1= récusparcequrren,Na|∀e∈p • . uP | p 16 p =,a>1∀p =2 X i +1 − p !i i−1+p a nortnoM . l’unicitédelasuieta() n∈n . N 0 a1=te urécncre∀ne,,a∈Na= n ′ qec n omiuertn −1 i i ′ a +n i X 2= n = 1+ par r ors,isal ! .Matnemeriassecénan ′ n ,aN ∗ n∈t∀1e 0 =a ′ ∈n e N tsnus,(i ′ a) n lution,oesuiteso +n = n =i X1 N∈n∀ ′ a, ∗ . A i! siin ′ n 2 a −i+1 !i i−p ′ a 2 erocneuoa ′ 2,p>,∀ i= p X 1 = p− i i . ! ′ a −p usémnEéra ′ p− donc X i=2 1 =− p i Xp ! ′ a 1= i i−p te , ! p! !  a ′ i! i i p− =p!  boitne 0 t p = i X 1= i 1 sl’égalité(∗),onansdnttanscotsenicffieocseltnafiitnnide x j . E ′ p−j ! j! a =j p 1 =x X p p ′ 1− p+a! −1 x p + p + 0 x ′ 1 pasiaM ′ a=g !k )k .)∗(= p X k=1 g ( rtequef ′ )l 0=edos l b p ( f +p 261. +2 X i=2 |a |a p+1 |6 p 16A.olsrp,Ka|| k 1 i =2 e− ! = ! 6 1 i X i +∞ 2+p 6 2=i X −2+p !i | i equavraiéestalitnigé,1’lae= 0 siuq J0k∈e∀qunssopoupS.0>ptioS• .0=pdn

sseC 2p sur[kk+1]L.faroumeledaTly ctonngion p .E tiarilucg,redtsealce ur]0eC ∞ setil+∞[dtmeneselefamêdek∈itSo ∗ .onaf.LN ∗ sefnoitcssalcedt +) p21− l X d) = t ′ fk( (2p+l) (k =1 b l2p f +k( k )t−1 +)k( 1+k Z p+(2 (t 1) (2 2p ! g p) p2 i X k(=))1g−(g+kg (i) ) i i! +1−k =0 (k dro’làecalpaL-rorslotariécs’2pre +1+p t( )i td ! )

On a montré par récurrence que ∀ p ∈ N , | a p | 6 1 . 1 a 0 1 1 1 a 1 = − a 2 0 = − 2 et a 2 = − a 2 1 − = − = 6 4 6 12 . 1 1 a 1 = − et a 2 = 12 . 2 II.A.3) a) Pour p ∈ N , posons u p = 1 . Puisque ∀ p ∈ N , | a p | 6 u p , on a R a > R u = 1 et en particulier, pour tout nombre complexe z tel que | z | < 1 , la série X a p z p converge. p ∈ N b) On effectue le produit de Cauchy des deux séries entières considérées et pour | z | < 1 , on obtient ∞ n ( e z − 1 ) ϕ ( z ) =
+ X 1 z n ! !   j + = X ∞ 0 a p z p   n = a n + 1 − = z + n + X = ∞ 2
i = n X 1 a n i ! − i ! z n = z + z + n + X = ∞ 1
n X + 1 i ! i ! z n + 1 i = 1 = z Par suite, pour tout nombre complexe z non nul tel que | z | < 1 , ϕ ( z ) = e z 1 . D’autre part, ϕ ( 0 ) = a 0 = 1 . − + ∞ c) Notons D le disque unité ouvert. Pour tout z de D  { 0 } , posons ψ ( z ) = ϕ ( z ) − a 1 z = a 0 + X a p z p . Pour z ∈ D  { 0 } , p = 2 on a ψ ( z ) = ϕ ( z ) − a 1 z = e z z − 1 + z 2 = 2z 2 + ( e z z ( e − z 1 − ) 1 ) = z 2 ( ( e e z z − + 1 1 ) ) . z ∈ D  { 0 } , on a ψ (− z ) − z  e 1 z − + 1 1   ) = z 2 ( ( e e z z + − 1 1 ) ) = ψ ( z ) ce qui rest Pour = e vrai pour z = 0 . Donc, la fonction ψ est 2  e 1 z paire et on sait que ∀ k > 1 , a 2k + 1 = 0 . ∀ k > 1 , a 2k + 1 = 0 . a 0 = 1 , a 1 = − 1 2 , a 3 = 0 puis 1 1 − 10 + 15 − 6 1 a 4 = − a 2 3 − a 6 2 − a 2 1 4 − 1 a 2 0 0 = − 7 1 2 + 48 − 1 = = − 20 720 720 . 1 a 4 = − 720 .

. 2p p (
p )! X a −1 (2 i fk(+) k Z 1+ k(1+t− 2 ) p−1X b l2p f (2p+l) soptuepn 2 =)k(Rre i)1+p+(2  O dt) ! (t
! −p 2()p a 0 f i X 1 =i +1 k ( )+ Z k t) 2p k+1− II ∈Ntpoi)S.1.BII orlyaTedelumroF-B.