Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine On considere le sous espace vectoriel F de R4 forme des solutions du systeme suivant

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 11-12 semaine 7 ————————————————————————————————————————— 1 ) On considere le sous-espace vectoriel F de R4 forme des solutions du systeme suivant : (?) { x1 ? x2 ? x3 + 2x4 = 0 (E1) x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E2) . Donner une base de F . 2) Soit B = (e1, e2, e3) une base d'un R-espace vectoriel E. Montrer en utilisant la definition que B? = (e1 + e2 + e3, e2 + e3, e3) est une base de E. 3) Donner dans la base B? les coordonnees de e1 + e2 + e3 et e3. 4) Quelles sont les coordonnees dans la base B? d'un vecteur de coordonnees (x, y, z) dans la base B. ————————————————————————————————————————— 1) F est constitue des solutions d'un systeme homogene a coefficients reels de deux equations a quatre inconnues. C'est donc un sous-espace vectoriel de R4. F est encore forme des solutions du systeme homogene : (?) { x1 ? x2 ? x3 + 2x4 = 0 (E1) 3x2 + 2x3 ? x4 = 0 (E2 ? E1) . qui est un systeme triangule de variables libres x3 et x4. On obtient : x2 = ? 2 3 x3 + 1 3 x4 .

• coordonnees de e1


• lineaire des vecteurs de b?


• e3 dans la base b?


• famille libre


• x3 ?


• x1


• famille b?

Sujets

• Indépendance linéaire

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

NometPr ´ enom:L1MPAlg ` ebre11-12semaine7 ————————————————————————————————————————— 4 1)Onconside´relesous-espacevectorielFdeRnodssusyseosulitvant:t`emesuide´mrof ( x 1 −x 2 −x 3 + 2x 4 (= 0E 1 ) (∗) x 1 + 2x 2 +x 3 +x 4 (= 0E 2 ). Donner une base deF. 2) SoitB= (e 1 , e 2 , e 3 ) une base d’unR-espace vectorielElitunasidaltnfie´.Mtronenerition 0 queB= (e 1 +e 2 +e 3 , e 2 +e 3 , e 3 ) est une base deE. 0 3) Donner dans la baseBeoordlesceesdonn´e 1 +e 2 +e 3 ete 3 . 0 4)Quellessontlescoordonn´eesdanslabaseBonn´ees(rdecoordnuevtcue’dx, y, z) dans la baseB. ————————————————————————————————————————— 1)Fogomehemco`ane`estneicffieedslee´rstittconessou´ednodsulitsy`tu’sndeuexs´equations`a 4 quatre inconnues.C’est donc un sous-espace vectoriel deR.Ferofneocetsionsolutdessrm´e dusyste`mehomog`ene: ( x 1 −x 2 −x 3 + 2x 4 (= 0E 1 ) (∗) 3x 2 + 2x 3 −x 4 = 0(E 2 −E 1 ). quiestunsyste`metriangul´edevariableslibresx 3 etx 4 . Onobtient : 2 1 x 2 =−x 3 +x 4 . 3 3 On obtient alors : 1 5 x 1 =x 2 +x 3 −2x 4 =x 3 −x 4 . 3 3 Ilenr´esulte: 1 5 2 1 F={(x 3 −x 4 ,−x 3 +x 4 , x 3 , x 4 ) tels quex 3 , x 4 ∈R)}. 3 3 3 3 1 25 1 F={x 3 (,−,1,0) +x 4 (−, ,0,1) tels quex 3 , x 4 ∈R)}. 3 33 3 1 25 1 Aini,Fest l’ensemble des combinaisons lineaires des vecteursu= (,−,1,0) etv= (−, ,0,1). 3 33 3 La famille (u, ve)amefleildostunnccirtedene´gare´Filleefamstun.C’eehol´rce,eacilrbe.´enn C’est donc une base deF. Celacorrespondaur´esultatducours:l’algorithmedere´solutiond’unsyst`emehomog`ene`a coefficients dans un corpsKdepuqe´a`snoitaninconnues fournit une base du sous-espace n vectoriel deKno.sseosulittu´eparsconsti 2) Montrons que la famille (e 1 +e 2 +e 3 , e 2 +e 3 , e 3 ) est une famille libre deE. Soita, b, ctrois re´elstelsque: a(e 1 +e 2 +e 3 ) +b(e 2 +e 3 ) +ce 3 = 0. On obtient : ae 1 + (a+b)e 2 + (a+b+c)e 3 = 0.

CommeB= (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base deE,c’estnufemalielilrb.e:tiude´dnenO

a=a+b=a+b+c= 0 0 Ilenr´esulte:a=b=c.0nO=equeouv´sipraaineafalllimB= (e 1 +e 2 +e 3 , e 2 +e 3 , e 3 ) est libre. 0 Montrons que la familleB= (e 1 +e 2 +e 3 , e 2 +e 3 , e 3 ´nretair)segte´.Scetoiuun vecteur deE. CommeB= (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base deE, si (x 1 , x 2 , x 3 )edseen´onrdoosclentsoudans la base B: u=x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 . Cherchons (X 1 , X 2 , X 3 tes,qulse:rt)rsiolee´ u=x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 =X 1 (e 1 +e 2 +e 3 ) +X 2 (e 2 +e 3 ) +X 3 e 3 . Il vient : x 1 e 1 +x−2e 2 +x 3 e 3 =X 1 e 1 + (X 1 +X 2 )e 2 + (X 1 +X 2 +X 3 )e 3 . Ilenr´esultepuisqueB= (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base deE´eiticun(’dnoisserpxe’ledrcteuunve dans une base) ;    X 1 =x 1 (∗) X 1 +X 2 =x 2   X 1 +X 2 +X 3 =x 3 . Ainsi, (X 1 , X 2 , X 3 e’nilemee´R.eriasconlvsoemt`ysesesrt.elIuoevs)noltseoslutionsd’unsyst` qu’ilesttriangul´e.Onobtient: X 1 =x 1 , X 2 =x 2 −X 1 =x 2 −x 1 , X 3 =x 3 −(X 1 +X 2 ) =x 3 −x 2 . On a donc : u=x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 =x 1 (e 1 +e 2 +e 3 ) + (x 2 −x 1 )(e 2 +e 3 ) + (x 3 −x 2 )e 3 . 0 Le vecteurueodtsedsruet´eainlinsvecredeneoccnibiaosbmniB. 0 La familleBstebrlincdoe,e´gnee´arrtcideE. C’estdonc une base deE. Enanticipantuntoutpetitpeusurlecours,onauraitpue´crirequeEest unR-espace vectoriel 0 dedimension3(puisqueparhypothe`selabaseB´ements)trois´elimllaeO.,ralafBest une famillelibre(premi`erepartiedelapreuve)etestform´eedevecteursdeE, c’est donc une base deE.

3) On a clairement :e 1 +e 2 +e 3 = 1(e 1 +e 2 +e 3 ) + 0(e 2 +e 3 ) + 0e 3 (1. Ainsi,,0,0) sont les 0 coordonne´esdee 1 +e 2 +e 3 dans la baseB. On a clairement :e 3 = 0(e 1 +e 2 +e 3 ) + 0(e 2 +e 3 ) + 1e 3 . Ainsi,(0,0,n´eesscoordonlentso1)

2

0 dee 1 +e 2 +e 3 dans la baseB. 4 ) Soitu∈Eoocededee´nnodrs(x, y, z) dans la baseBnOpa.fieinra´donti:u=xe 1 +ye 2 + ze 3 D.rpa’lse`euqa:stion2,onobtient xe 1 +ye 2 +ze 3 =x(e 1 +e 2 +e 3 ) + (y−x)(e 2 +e 3 ) + (z−y)e 3 . 0 Ainsi, (x, y−x, z−ytloncoesdoor´enndses)udans la baseB.

3