Observation et stabilisation d'ondes geometrie et cout du controle

Description

Niveau: Supérieur
Observation et stabilisation d'ondes : geometrie et cout du controle Memoire presente pour l'habilitation a diriger des recherches, specialite mathematiques. Kim Dang PHUNG 17 decembre 2007 Table des matieres 1. Introduction 2. Travaux lies a la these 2.1 Un aperc¸u de l'etat de l'art pour l'equation des ondes 2.2 Stabilisation des equations d'Euler 2D incompressible par la force de Lorentz 2.3 Cout du controle approche de l'equation de la chaleur avec un potentiel 3. Principaux themes de recherche depuis la these 3.1 La constante d'observabilite sous la condition de controle geometrique de C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch 3.2 L'observation vis-a-vis de la geometrie 4. La fonction frequence et ses applications 4.1 L'approche originale de N. Garofalo et F.H. Lin 4.2 L'approche amelioree de I. Kukavica 4.3 Propriete quantitative de continuation unique pour le laplacien 4.4 Propriete quantitative de continuation unique pour l'operateur elliptique ∂2t +∆ 4.5 Propriete quantitative de continuation unique pour la somme de vecteurs propres 4.6 Application a l'equation de la chaleur 4.7 Application a l'equation des ondes 5. Principales nouveautes liees a l'equation de Schrodinger 5.1 De l'equation des ondes a celle de Schrodinger 5.2 De l'equation de Schrodinger a celle des ondes 6. Projet en cours sur l'equation de Schrodinger 7. Travaux en collaboration 8.

• bord


• region ?


• cadre des problemes inverses


• controlabilite exacte


• controle


• condition de controle geometrique


• taille ? du voisinage

Sujets

• Contrôle

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 décembre 2007
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Observation et stabilisation d’ondes :
g¶eom¶etrie et cout^ du contr^ole
M¶emoire pr¶esent¶e pour
l’habilitation a? diriger des recherches,
sp¶ecialit¶e math¶ematiques.
Kim Dang PHUNG
17 d¶ecembre 2007
Table des matieres?
1. Introduction
2. Travaux li¶es a? la these?
2.1 Un aper»cu de l’¶etat de l’art pour l’¶equation des ondes
2.2 Stabilisation des ¶equations d’Euler 2D incompressible par la force de Lorentz
2.3 Cout^ du contr^ole approch¶e de l’¶equation de la chaleur avec un potentiel
3. Principaux th?emes de recherche depuis la th?ese
3.1 La constante d’observabilit¶e sous la condition de contr^ole g¶eom¶etrique de C. Bardos, G.
Lebeau et J. Rauch
3.2 L’observation vis- a-vis de la g¶eom¶etrie
4. La fonction fr¶equence et ses applications
4.1 L’approche originale de N. Garofalo et F.H. Lin
4.2che am¶elior¶ee de I. Kukavica
4.3 Propri¶et¶e quantitative de continuation unique pour le laplacien
24.4 Propri¶et¶e quantitative de continuation pour l’op¶erateur elliptique @ +¢t
4.5 Propri¶et¶e quantitative de continuation unique pour la somme de vecteurs propres
4.6 Application a? l’¶equation de la chaleur
4.7 a? l’¶equation des ondes
5. Principales nouveaut¶es li¶ees a? l’¶equation de Schr˜odinger
5.1 De l’¶equation des ondes a? celle de Schr˜odinger
5.2 De l’¶ de Schr˜odinger a? celle des ondes
6. Projet en cours sur l’¶equation de Schr˜odinger
7. Travaux en collaboration
8. Publications
11 Introduction
L’objectif de ce m¶emoire consiste a? d¶ecrire mes activit¶es de recherche depuis l’obtention de la these?
jusqu’ amesr¶ecentstravaux. Mescentresderecherchesontlespropri¶et¶esqualitativesdes¶equationsaux
d¶eriv¶ees partielles (EDP) dans le cadre de la th¶eorie du contr^ole des EDP dans des domaines born¶es.
Les¶equationsquirentrentenjeusontcellesdelaphysiquemath¶ematique: les¶equationsdeSchr˜odinger
(m¶ecanique quantique), les ¶equations de Maxwell (¶electromagn¶etisme) et les ¶ hyperboliques,
les ¶equations d’Euler (m¶ecanique des uides) et les ¶equations paraboliques. Mes travaux englobent
des r¶esultats sur la contr^olabilit¶e exacte, le contr^ole approch¶e et optimal, et aussi des r¶esultats de
stabilisation (contr^ole en boucle ferm¶ee).
2 Travaux directement li¶es a? la these?
Dans cette section sont rappel¶ees les d¶eflnitions et les notations classiques pr¶esentes dans ce m¶emoire.
Aussi, nous allons commencer par rappeler les notions de base de la th¶eorie du contr^ole des EDP.
Ensuite, nous d¶ecrivons deux r¶esultats directement li¶es a? la these? : la stabilisation des ¶equations
d’Euler2DincompressibleparlaforcedeLorentzg¶en¶er¶eeparles¶equationsdeMaxwellavecloid’Ohm;
le cout^ du contr^ole approch¶e de l’¶equation de la chaleur avec potentiel.
Contr^oler un systeme? consiste a? ^etre capable de modifler le comportement de la solution d’une
EDP selon notre d¶esir. Dans le cadre de systeme? gouvern¶e par des EDP d’¶evolution en temps et
se propageant dans un domaine en espace › born¶e, le probleme? mod?ele de la contr^olabilit¶e exacte
(respectivement, approch¶ee) revient a? amener en un temps T > 0 flx¶e, la solution d’une EDP depuis
une donn¶ee initiale vers une cible donn¶ee (respectivement, vers un voisinage de taille " > 0 de la
cible) en construisant un contr^ole ad¶equat support¶e dans un sous-domaine !£ ]0;T[ de ›£ ]0;T[
(dans ce paragraphe, ! est soit une partie de @›, soit un ouvert de ›). Pour des syst?emes lin¶eaires, la
contr^olabilit¶eexacteest¶equivalentepardualit¶ea?l’obtentiond’unein¶egalit¶ed’observabilit¶equiconsiste
a? majorer la donn¶ee initiale de la solution u(x;t) d’une EDP lin¶eaire d¶eflnie dans un domaine born¶e
›£]0;T[ par sa restriction sur un sous-domaine !£]0;T[ de ›£]0;T[, dans des normes ad¶equates:
? ? ?fl fl?
? ? ?fl fl?
u(x;0) •C u(x;t) , (2.1)? ? ?fl fl?jx2› jx2!;t2]0;T[
et la constante C ne d¶epend que de (›;!;T). C sera alors appel¶ee constante d’observabilit¶e. Par
ailleurs, laconstanteC d¶eterminelecout^ ducontr^ole. Lesous-domaine!£]0;T[corresponda?lataille
du support du contr^ole.
Si l’on s’int¶eresse a? des systemes? ayant des efiets r¶egularisant sur la donn¶ee initiale, alors le choix
des normesk¢k etkj¢jk joue un r^ole pr¶edominant. Si l’on s’int¶eressea? des systemes? ou? les ondes (ou les
singularit¶es) se propagent a? vitesse flnie, en agissant dans la r¶egion !£]0;T[‰ ›£]0;T[, il faudra
se donner un temps de contr^olabilit¶e T su–samment grand pour que l’¶etat de la solution puisse ^etre
modifl¶e sur tout le domaine › a? l’instant T. De plus, pour r¶ealiser la contr^olabilit¶e exacte, le sous-
domaine ! devra ^etre su–samment grand a? cause des rayons captifs. Maintenant, si la constante C
devait d¶ependre de la fr¶equence li¶ee a? la donn¶ee initiale u(x;0), alors on ne pourrait qu’en d¶eduire un
r¶esultat de contr^olabilit¶e approch¶ee avec un cout^ appropri¶e (ce cout^ sera d’autant plus¶elev¶e si la taille
" du voisinage est petite). L’obtention de telles in¶egalit¶es s’apparente aux problemes? d’observabilit¶e et
quantifle la propri¶et¶e de continuation unique de l’EDP.
Une ¶etude approfondie des propri¶et¶es qualitatives de l’EDP est donc n¶ecessaire pour pouvoir
r¶esoudre de maniere? flne les problemes? d’observabilit¶e et de contr^olabilit¶e. En parall?ele, le probl?eme
de la stabilisation se rapporte a? une ¶etude du comportement asymptotique en temps de la solution
2d’une EDP. On s’int¶eresse a? des systemes? dissipatifs ou? l’amortissement n’agit que dans la r¶egion
!£]0;+1[‰ ›£]0;+1[. On vise alors une d¶ecroissance exponentielle en temps de la solution du
syst?emeamortidansunenormead¶equate. Parunetechniquedeperturbation,lad¶ecroissanceexponen-
tiellepeut^etre¶equivalentea?l’obtentiond’unein¶egalit¶ed’observabilit¶eou?laconstanteC d’observabilit¶e
ne d¶epend que de (›;!;T). Si la constante C devait d¶ependre de la fr¶equence li¶ee a? la donn¶ee initiale
u(x;0), alors on ne pourrait qu’en d¶eduire un taux de d¶ecroissance non uniforme en la donn¶ee
du syst?eme amorti.
Notations .- La fonction carat¶eristique sur un ensemble X sera not¶ee 1 . L’¶energie a? l’instant tX¡ ¢ ¡ ¢
1 2 1d’une fonction f =f(x;t)2C R;L (›) \C R;H (›) est d¶eflnie par
Z ‡ ·
1 2 2
E(f;t)= j@ f(x;t)j +jrf(x;t)j dx .t
2 ›
2.1 Un aper»cu de l’¶etat de l’art pour l’¶equation des ondes
Dans le cadre de la probl¶ematique de la contr^olabilit¶e d’un systeme? lin¶eaire r¶eversible mod?ele comme
Nl’¶equationdesondesdansunouvert›born¶edeR , N ‚1,a?bord @›r¶egulier, lesquestionssuivantes
ont fait l’objet de nombreux travaux.
2 2Fixons T > 0 et ¡ une partie non vide de @›. SoitF l’application de L (@›£]0;T[) dans L (›)£
¡1H (›) d¶eflnie par la r¶esolution du systeme?
8
2< @ v¡¢v =0 dans ›£]0;T[ ,t
v =g1 sur @›£]0;T[ ,¡£]0;T[
:
(v;@ v)(¢;T)=(0;0) dans › , et F(g)=(v;@ v)(¢;0) dans › .t t
2 2 ¡1¶Etantdonn¶eC ?L (¡£]0;T[)etD ?L (›)£H (›),choisissons(v ;v )2D . Onconsid?eread ad 0 1 ad
la fonctionnelle J sur C d¶eflnie par(v ;v ) ad0 1
2
J (g)=kF(g)¡(v ;v )k .(v ;v ) 0 1 2 ¡10 1 L (›)£H (›)
Lacontr^olabilit¶eexactefrontiere? del’¶equationdesondesest¶equivalentea?lasurjectivit¶edel’application
F. La question naturelle, compte tenu des propri¶et¶es physiques des ondes est : quelle situation
g¶eom¶etrique, et notamment quelles hypotheses? sur (›;¡;T) doit-on imposer pour que la surjectivit¶e
deF soit v¶erifl¶ee ?
Dans la mesure ou? les hypotheses? g¶eom¶etriques ne sont pas satisfaites pour que F soit surjective,
nous allons rechercher un espace fonctionnel D dans lequel Im(F) soit dense. La question de laad
contr^olabilit¶e approch¶ee se r¶e¶ecrit ainsi : pour tout " > 0, pour tout (v ;v ) 2 D , existe-t-il un0 1 ad
2contr^ole approch¶e g2L (¡£]0;T[) tel que J (g)•" ? Au quel cas, peut-on estimer le cout^ de(v ;v )0 1
ce contr^ole approch¶e en fonction de " ?
Eventuellement (et ceci correspond a? la notion de contr^ole optimal), nous essayons de minimiser sur
tous les contr^oles admissibles g, la fonctionnelle J (g). Ceci se ramene? a? la question suivante :(v ;v )0 1
2 ¡1pour tout (v ;v ) 2 L (›)£H (›) , existe-t-il un contr^ole optimal g 2 C tel que J (g) =0 1 ad (v ;v )0 1
inf J (h) ?(v ;v )0 1h2Cad
Quand le contr^ole d¶epend de la solution v (contr^ole en boucle ferm¶ee) et quand le syst