PCSI A Informatique Lycée Brizeux
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Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Informatique Lycée Brizeux TP 7 : suites récurrentes. 1 Méthodes d'étude d'une suite récurrente. 1.1 Position du problème On considère une fonction f : I ? R et une suite (un)n?N définie par la relation de récurrence : { u0 ? I ?n ? N, un+1 = f(un) La première chose à faire est de s'assurer que la suite est bien définie. Par exemple, on peut chercher une partie D ? I telle que f(D) ? D. La suite (un)n?N est alors uniquement déterminée par u0 ? D. Intéressons-nous à la convergence de la suite. 1.2 Point fixe Nous avons le résultat suivant : Proposition. Si f : I ? I est continue et si (un)n?N converge vers un réel l ? I alors l est un point fixe de f , i.e. f(l) = l. Démonstration. Supposons que lim un = l. Comme f est continue en l, on a lim f(un) = f(l). Or lim un+1 = lim un. Ainsi la suite (un+1) = (f(un)) converge aussi vers l donc par unicité de la limite f(l) = l. Lorsque la suite est convergente, la limite est è chercher parmi les points fixes de la fonction.

  • algorithme de newton-raphson

  • point fixe

  • unique solution

  • u0 ≥

  • u1 ≤

  • u0 ?

  • méthode de newton


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Langue Français

Extrait

PCSI A 20092010
Informatique
TP 7 : suites récurrentes.
1 Méthodesd’étude d’une suite récurrente.
1.1Positionduproblème
On considère une fonctionf:IRet une suite (un)nNdéfinie par la relation de récurrence : u0I nN, un+1=f(un)
Lycée Brizeux
La première chose à faire est de s’assurer quela suite est bien définie. Par exemple, on peut chercher une partieDItelle quef(D)D. La suite (un)nNest alors uniquement déterminée paru0D. Intéressonsnous à la convergence de la suite.
1.2 Pointfixe
Nous avons le résultat suivant : Proposition. Sif:IIest continue et si (un)nNconverge vers un réellIalorslest un point fixe def, i.e. f(l) =l.
Démonstration.Supposons que limun=l. Commefest continue enl, on a limf(un) =f(l). Or limun+1= limun. Ainsi la suite (un+1) = (f(un)) converge aussi versldonc par unicité de la limitef(l) =l.
Lorsque la suite est convergente, la limite est è chercher parmi les points fixes de la fonction. Il s’agit de maintenant de trouver des critères de convergence
1.3Fonctionsmonotones
1.3.1 Lafonctionfest croissante
Proposition. Soitf:IIune fonction croissante. Alors toute suite récurrente (un) associée àfest monotone. Ainsi, 1. siu1u0alors (un;) est croissante 2. siu1u0alors (un) est décroissante.
Démonstration.On supposeu0u1. Si pour un entiern, on aunun+1alors commefest croissante f(un)f(un+1) soitun+1un+2. On a montré par récurrence surnque (un) est croissante. La preuve est identique siu1u0.
Remarques : 1. Sila fonctionfest croissante et l’intervalleIest borné alors (un) est une suite monotone bornée, ce qui garantit sa convergence .
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