Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Informatique Lycée Brizeux TP 7 : suites récurrentes. 1 Méthodes d'étude d'une suite récurrente. 1.1 Position du problème On considère une fonction f : I ? R et une suite (un)n?N définie par la relation de récurrence : { u0 ? I ?n ? N, un+1 = f(un) La première chose à faire est de s'assurer que la suite est bien définie. Par exemple, on peut chercher une partie D ? I telle que f(D) ? D. La suite (un)n?N est alors uniquement déterminée par u0 ? D. Intéressons-nous à la convergence de la suite. 1.2 Point fixe Nous avons le résultat suivant : Proposition. Si f : I ? I est continue et si (un)n?N converge vers un réel l ? I alors l est un point fixe de f , i.e. f(l) = l. Démonstration. Supposons que lim un = l. Comme f est continue en l, on a lim f(un) = f(l). Or lim un+1 = lim un. Ainsi la suite (un+1) = (f(un)) converge aussi vers l donc par unicité de la limite f(l) = l. Lorsque la suite est convergente, la limite est è chercher parmi les points fixes de la fonction.
- algorithme de newton-raphson
- point fixe
- unique solution
- u0 ≥
- u1 ≤
- u0 ?
- méthode de newton