PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

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Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Théorie de la dimension L'objectif de ces notes est de démontrer les principaux résultats du cours concernant la notion de dimension d'un espace vectoriel. Les résultats encadrés sont à connaître ; les exemples sont à comprendre. On considère ici des espaces vectoriels sur un corps K. 1 Définition de la dimension Définition 1. Un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Autrement dit E est de dimension finie s'il existe une famille finie de vecteurs u1, u2,... um ? E telle que : E = Vect(u1, u2, ...um). En particulier, puisque toute famille génératrice contient une base (résultat vu en cours) alors E admet une base ayant un nombre fini de vecteurs. Le théorème suivant affirme que ce nombre ne dépend pas de la base. Théorème 1.1. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de l'espace vectoriel E. On le note dimKE (ou plus simplement dimE) Démonstration. Pour démontrer ce théorème nous utiliserons le lemme fondamental suivant. Ce lemme affirme que si n+ 1 vecteurs sont combinaisons linéaires de n vecteurs alors les n+ 1 vecteurs sont liés. Lemme 1.2. Soient (e1, · · · , en) une famille de vecteurs de E et (f1, · · · , fn+1) une autre famille de vecteurs de E.

• dimension finie


• relation de dépendance linéaire


• caractérisation de base


• famille


• ?3 ?

Sujets

• Famille

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Théoriedeladimension

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L’objectif de ces notes est de démontrer les principaux résultats du cours concernant la notion de dimension d’un espace vectoriel. Les résultats encadrés sont à connaître; les exemples sont à comprendre. On considère ici des espaces vectoriels sur un corpsK.

1 Définitionde la dimension

Définition 1.Un espace vectorielEest dit de dimension finie s’il admet unefamille génératrice finie. Autrement ditEest de dimension finie s’il existe une famille finie de vecteursu 1 ,u 2 ,...u m ∈Etelle que : E= Vect(u 1 , u 2 , ...u m ).

En particulier, puisque toute famille génératrice contient une base (résultat vu en cours) alorsEadmet une base ayantun nombre fini de vecteurs.Le théorème suivant affirme que ce nombre ne dépend pas de la base. Théorème 1.1.SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases ont le mme nombre d’éléments. Ce nombre est appelédimension de l’espace vectoriel E. On le notedim K E(ou plus simplementdimE)

Démonstration.Pour démontrer ce théorème nous utiliserons le lemme fondamental suivant. Ce lemme affirme que sin+ 1vecteurs sont combinaisons linéaires denvecteurs alors lesn+ 1vecteurs sont liés.

Lemme 1.2.Soient(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n )une famille de vecteurs deEet(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 )une autre famille de vecteurs deE. On suppose que pour tout1≤j≤n+ 1, il existenscalairesλ j,1 ,∙ ∙ ∙, λ j,n tels que :

Alors la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 )est liée.

f j =λ j,1 e 1 +∙ ∙ ∙+λ j,n e n .

Démonstration.On procède par récurrence surn≥1. Le casn= 1. On se place dans le cas oùf 1 etf 2 ne sont pas égaux au vecteur nul. Par conséquente 1 6= 0 E également. On a alors f 1 =λ 1 e 1 , f 2 =λ 2 e 2 , avecλ 1 6= 0etλ 2 6= 0. On a alors λ 2 f 1 −λ 1 f 2 = 0 E , ce qui établit que la famille(f 1 , f 2 )est liée. La propriété est donc vraie sin= 1. Supposons que la propriété soit vraie pourn≥1. Considérons alors deux familles(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n+1 )et(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+2 ) ayant les propriétés requises. Si tous lesλ j,n+1 sont nuls, alors on est dans la situation précédente : lesn+ 2vecteursf j sont combinaisons linéaires desnvecteurse 1 ,∙ ∙ ∙, e n . Ainsi(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 )est liée et donc(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+2 )également.

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Supposons maintenant que l’un desλ j,n+1 soit non nul. Quitte à réindexer la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+2 ), on peut supposerλ n+2,n+1 6= 0. λ j,n+1 ˜ On remplace alorsf j pour1≤j≤n+ 1parf j =f j −f n+2 . λ n+2,n+1 ˜ ˜ Les vecteurs de la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 )sont alors tous combinaison linéaire de la famille(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n ). Par ˜ ˜ hypothèse de récurrence, la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 )est alors liée. Il existe donc une relation de dépendance linéaire non triviale ˜ ˜˜ λ 1 f 1 +∙ ∙ ∙+λ n+1 f n+1 = 0 E . Il en résulte une relation de dépendance linéaire non triviale de la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 , f n+2 ), à savoir :   n+1 X λ j,n+1 ˜ ˜  ˜  λ 1 f 1 +∙ ∙ ∙+λ n+1 f n+1 −λ j f n+2 = 0 E . λ n+2,n+1 j=1 Ceci établit que la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+2 )est liée. D’où le lemme.

Revenons à la démonstration du théorème 1.1. Soient(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n )et(f 1 ,∙ ∙ ∙, f m )deux bases deE. Il s’agit d’établir quen=m. A supposer quen6=m, par exemplen < m. Chaque vecteurf j avec1≤j≤n+ 1≤mest combinaison linéaire de la famille(e 1 ,∙ ∙ ∙, e n ). D’après le lemme ci-dessus, cela entraîne que la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f n+1 )est liée, contredisant le fait que la famille (f 1 ,∙ ∙ ∙, f m )est libre. Cela signifie donc quen≥m.

le casn > mse traitant de façon analogue, on en déduit quen≤m, soitn=m.

Exemples. n n 1. L’espaceKest de dimension finie etdim K K=n. En effet la base canonique(1,0, ...,0),...,(0,0, ...,1) anéléments. n 2. L’espaceK n [X]est de dimension finie etdim K K n [X] =n+ 1. En effet, la base monomiale(1,∙ ∙ ∙, X)a n+ 1éléments. 3. Soitu∈Eun espace vectoriel. Siu6= 0 E alors la droite vectorielleF= Vect(u) =Kuest un espace de dimension finie etdim K F= 1. En effet la famille réduite au seul vecteuruest une base deF. 4. Etudionsl’ensembleEdes solutions de l’équation différentielle : 00 y=y. On sait que l’ensembleEest un espace vectoriel et x−x2 S={x7→λe+µe ,(λ, µ)∈R}. Notonsfetgles fonctions définies surRparf(x) = exp(x)etg(x) = exp(−x). La famille(f, g)est une 2 famille génératrice deS. Montrons qu’il s’agit d’une famille libre. Soit(λ, µ)∈Rtel que x−x ∀x∈R, λe+µe= 0. x−x En dérivant l’égalité précédente il vientλe+µe= 0et en additionnant les deux égalités on obtient : x ∀x∈R,2λe= 0. x Commeen’est jamais nul, on obtientλ= 0et il vient finalementµ= 0. La famille(f, g); c’est ainsi une base deest donc libreS. Doncdim R S= 2etSest un plan vectoriel.

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2 Caractérisationdes bases

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Théorème 2.1(de la base incomplète).SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Soient (f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` )une famille libre deE. Alors il existe des vecteursf `+1 ,∙ ∙ ∙, f n deEtels que la famille (f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` , f `+1 ,∙ ∙ ∙, f n )soit une base deE.

Démonstration.Nous allons précisement montrer la chose suivante. Etant donnée(g 1 ,∙ ∙ ∙, g m )une famille gé- nératrice deE(qui en possède une puisqu’il est de dimension finie), on peut extraire de la famille(g 1 ,∙ ∙ ∙, g m ) des vecteursf `+1 ,∙ ∙ ∙, f n de telle sorte que la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` , f `+1 ,∙ ∙ ∙, f n )soit une base deE. 0 On poseF= Vect({f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` })et`=`SiE=F, alors la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` )est déjà une base. Il n’y a donc rien à faire. Sinon, on parcourt la famille génératrice(g 1 ,∙ ∙ ∙, g m )de « gauche à droite ». Au premier vecteurg i rencontré n’appartenant pas àF: – onposef `+1 =g i ; 0 – onmet à jourF:F= Vect({f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` , f `+1 }); 0 0 0 0 – onmet à jour`:`+ 1. On poursuit le processus jusqu’à ce qu’on ait épuisé la famille(g 1 ,∙ ∙ ∙, g m ): autrement dit, on a parcouru intégralement la famille! Par construction, tous les vecteurs de la famille génératrice appartiennent auFfinal. Par conséquentF⊃ Vect({g 1 ,∙ ∙ ∙, g m }). OrVect({g 1 ,∙ ∙ ∙, g m }) =Epuisque la famille(g 1 ,∙ ∙ ∙, g m )est génératrice. DoncF=Eet donc la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` ,∙ ∙ ∙, f n )construite est génératrice. Nous allons montrer qu’en plus, la famille construite est libre en montrant par récurrence sur`≤i≤nque la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f i )est libre. On remarque tout d’abord que la famille a la propriété suivante : ∀i∈ {`+ 1,∙ ∙ ∙, n}, f i /∈Vect({f 1 ,∙ ∙ ∙, f i−1 }).

La famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f ` )est libre par hypothèse. Supposons donc la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f i )libre pour un certain `≤i < net montrons qu’alors(f 1 ,∙ ∙ ∙, f i , f i+1 )est libre. Pour cela, considérons une combinaison linéaire de la famille de la forme i+1 X λ k f k = 0 E . k=1 Le casλ k+1 6= 0est à exclure. En effet, le cas contraire impliquerait quef i+1 est une combinaison linéaire de la famille{f 1 ,∙ ∙ ∙, f i }. Ceci est bien sûr impossible vue la propriété indiquée ci-dessus.

Par conséquentλ k+1 = 0et la relation de dépendance linéaire s’écrit : i X λ k f k = 0 E . k=1 Puisqu’il s’agit d’une combinaison linéaire de la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f i )et que celle-ci est libre, cela entraîne λ 1 =∙ ∙ ∙=λ i = 0. On a donc bienλ 1 =∙ ∙ ∙=λ i+1 = 0établissant ainsi que la famille(f 1 ,∙ ∙ ∙, f i , f i+1 )est libre.

Nous avons alors la proposition :

Proposition 2.2.SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFune famille dep-vecteurs deE: •siFest libre alorsp≤dimE; •siFest génératrice alorsp≥dimE.

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Remarque: la contraposée du premier point nous dit que dans un espace de dimensionntoute famille contenant au moinsn+ 1vecteurs est une famille liée.

On caractérise alors les bases d’un espace vectoriel de la manière suivante : Proposition 2.3.SoitEun espace vectoriel de dimensionnetBune famille dep-vecteurs deE. Les trois assertions suivantes sont équivalentes : (i)Best une base deE. (ii)Best une famille libre etp=n. (iii)Best une famille génératrice deEetp=n. Exemples.

4 1. Considéronsla familleU= (u i ) 1≤i≤4 de vecteurs deE=Rdéfinie par : u 1 = (1,2,3,4), u 2 = (1,−1,2,0), u 3 = (3,1,0,0), u 4 = (0,−1,0,0). La familleU?est-elle une base de E 4 Montrons queUest libre. Soit(λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 )∈Rtel que : λ 1 u 1 +λ 2 u 2 +λ 3 u 3 +λ 4 u 4 = 0 R . 4 L’égalité précédente nous donne :   λ 1 +λ 2 + 3λ 3 = 0λ 3 = 0     2λ 1 −λ 2 +λ 3 −λ 4 = 0λ 3 −λ 4 = 0 ⇔ 3λ 1 + 2λ 2 = 0λ 2 = 0     4λ 1 = 0λ 1 = 0 4 Ainsiλ 1 =λ 2 =λ 3 =λ 4 = 0. Donc la familleUest libre. OrUa4éléments etdimR= 4doncUest 4 une base deR. 4 2. Déterminerla dimension du sous-espace vectorielFdeRdéfini par 4 F={(x, y, z, t)∈R, x−y+z= 0etx+ 2t= 0}. 4 Soitv= (x, y, z, t)∈R. Nous avonsx=−2tety=z−2tdonc v= (−2t, z−2t, z, t) =t(−2,−2,0,1) +z(0,1,1,0).

Posonsu 1 = (−2,−2,0,1)etu 2 = (0,1,1,0). Nous avonsu 1 ∈Fetu 2 ∈Fet pour toutv∈F, v=tu 1 +zu 2 donc F= Vect(u 1 , u 2 ), la famille(u 1 , u 2 )est donc une famille génératrice deF. Enfinu 1 etu 2 ne sont pas colinéaires donc(u 1 , u 2 )est une famille libre. En conclusion(u 1 , u 2 )est une base deFetdimF= 2. 3 3. Posonsv 1 = (1,1,1),v 2 = (1,0,−1)etv 3 = (3,2,1)et considérons le sous-espace deRG= Vect(v 1 , v 2 , v 3 ). Déterminer la dimension deG. SoitV= (v 1 , v 2 , v 3 ). On remarque (ou trouve en cherchant à vérifier siVest libre) que la familleVest liée puisque : 2v 1 +v 2 −v 3 = 0 R . 3 Commev 3 = 2v 1 +v 2 , nous avons doncG= Vect(v 1 , v 2 ). Orv 1 etv 2 ne sont pas colinéaires donc(v 1 , v 2 ) est une famille libre. Ainsi(v 1 , v 2 )est une base deG. DoncdimG= 2.

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