PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 10 : Polynômes en une indéterminée Dans tout ce qui suit K désigne R ou C. Généralités. Arithmétique dans K[X]. Racines. Exercice 1. Effectuer la division euclidienne de : 1. 2X4 ? 5X2 + 2X3 + 2X ? 4 par X2 +X ? 3. 2. T 6 + T 2 ? 1 par T 3 ? 1. 3. 3Y 7 ? Y 5 + Y 3 + 2 3 Y + 3Y 2 ? 1 par Y 5 + 1 3 Y + 1. 4. 2X5 + 3X3 + 2X + aX2 par 2X3 +X + a avec a ? K. 5. X4 +X3 +X2 + iX2 + iX + i par X2 + i, (i2 = ?1). Solutions : Q désigne le quotient et R le reste. 1. Q = X2 +X ? 3 et R = X ? 1. 2. Q = T 3 + 1 et R = T 2. 3. Q = 3Y 2 ? 1 et R = Y . 4. Q = X2 + 1 et R = X ? a. 5. Q = X2 +X + 1 et R = 0. Exercice 2.

• racines complexes de pn


• formule de taylor pour les polynômes de degré


• polynôme


• division euclidienne


• racine ? ?


• x5 ?x4

Sujets

• Polynôme
• Division euclidienne

Informations

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Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

Feuille d’exercices 10 : esynômloP

Généralités. Arithmétique dansK[X]. Racines.

PCSI A2010-2011

Exercice 1.Effectuer la division euclidienne de : 4 2 32 1.2X−5X+ 2X+ 2X−4parX+X−3. 6 23 2.T+T−1parT−1. 2 1 7 5 32 5 3.3Y−Y+Y+Y+ 3Y−1parY+Y+ 1. 3 3 5 32 3 4.2X+ 3X+ 2X+aXpar2X+X+aaveca∈K. 4 3 22 22 5.X+X+X+iX+iX+iparX+i, (i=−1). 2 32 Solutions :Qdésigne le quotient etRle reste.1.Q=X+X−3etR=X−1. 2.Q=T+ 1etR=T. 3. 2 22 Q= 3Y−1etR=Y. 4.Q=X+ 1etR=X−a. 5.Q=X+X+ 1etR= 0.

3 2 Exercice 2.Effectuer la division euclidienne deA=X+pX+qparB=X+ 1puis déterminer pour quelles valeurs depetqle polynômeBdivise le le polynômeA.

Exercice 3.Soitmetndes entiers strictement positifs. n m 1. Montrerque sindivisemalors le polynômeX−1diviseX−1et déterminer le quotient. 2. Casgénéral : on ne suppose plus "ndivisem". m nr Montrer que le reste de la division euclidienne (dansK[X]) deX−1parX−1estX−1ourest le reste de la division euclidienne demparn(dansZ). Expliciter le quotient.

Exercice 4.SoitP∈K[X]eta, bdeux scalaires distincts. Exprimer à l’aide deP(a)etP(b)le reste de la division euclidienne dePpar(X−a)(X−b).

n2 Exercice 5.Calculer le resteRde la division euclidienne deX+ 2X−2par(X−1). 0 Indication : évaluerR(1)etR(1).

2 0 Exercice 6.On considère l’équation d’inconnueP∈K[X]:(E) (P) =4P. 1. SoitPune solution non nulle de(E)de degrén. Montrer quen= 2. 2. Endéduire l’ensemble des solutions de(E). Exercice 7.Résoudre les équations d’inconnueP∈K[X]: 0 1.XP=P. 200 2.(X+ 1)P−6P= 0. 3.P(X+ 1) =P(X). 3 Soultion : 2.{a(X+X), a∈K} P n j Exercice 8.La formule de Taylor.Soita∈KetP=a j X∈K n [X]. j=0 j   X j j kj−k 1. Montrerque pour tout entierj≥0, on aX= (X−a)a . k k=0 n X j! (k)j−k 2. Montrerque pour tout entierk≥n, on aP=a j X . (j−k)! j=k 3. Montrerla formule de Taylor pour les polynômes de degré au plusn:

n (k) X P(a) k P= (X−a). k! k=0

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