PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 2 : Les nombres complexes. De la trigonométrie sans complexe Exercice 1. Résoudre les équations suivantes d'inconnue x : a) cos(x)? √ 3 sin(x) = 1 b)cos(x) + sin(x) = 1 c) ? cos(2x) = 4 sin(x), ? ? R d) tan(2x? 1) = tan(x) Exercice 2. Soit a ? [?1, 1] un réel fixé. Résoudre les équations suivantes : 1. arccos(x) + arccos(a) = pi. 2. arccos(x) = 2 arccos(a). (Attention à l'intervalle de définition de a). Exercice 3. Résoudre l'équation suivante : arcsin(x) = arcsin( 1 3 ) + arcsin( 1 4 ), x ? R. Exercice 4. Calculer la somme suivante n∑ k=0 sin ( k pi 2 ) . Généralités sur les nombres complexes Exercice 5. Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : (3? i)3 ; 1 + 2i 2? i ; 1 1 + i + 1 1? i ; 1 1 + ei? , ? ? R ; z + 1 z , z ? C.

• application du plan


• argument ?


• équation algébrique


• demi-plan complexe supérieur


• racine carré


• plan euclidien


• repère orthonormé

Sujets

• Équation polynomiale
• Plan euclidien
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

Feuille d’exercices 2 : escoombrxes.mplenseL

De la trigonométrie sans complexe

Exercice 1.Soita∈[−1,1]un réel fixé. Résoudre les équations suivantes : 1.arccos(x) + arccos(a) =π. 2.arccos(x) = 2arccos(a). (Attention à l’intervalle de définition dea). 1 1 Exercice 2.Résoudre l’équation suivante :arcsin(x) = arcsin()) + arcsin(, x∈R. 3 4

Exercice 3.Résoudre les équations suivantes d’inconnuex: √ a)cos(x)−3 sin(x) = 1b)cos(x) + sin(x) = 1

c)αcos(2xsin() = 4x), α∈R

d)tan(2x−1) = tan(x)

n   X π Exercice 4.Calculer la somme suivantesink. 2 k=0

Généralités sur les nombres complexes

Exercice 5.Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : 1 + 2i1 11 1 3 (3−i); ;+;, θ∈R;z+, z∈C. iθ 2−i1 +i1−i1 +e z

PCSI A2010-2011

020 0 Exercice 6.Déterminer l’ensembles des couples(z, z)∈Ctels queRe(zz) = Re(z) Re(z)puis tels que 0 0 Im(zz) = Im(z) Im(z).

Exercice 7.Racines carrés dansC. Déterminer les racines carrées dansCde2i,8−6iet−3 + 4i. Solutions :±(1 +i);±(3−i);±(1 + 2i).

Exercice 8.Soitaetbdeux nombres complexes distincts. |z−a| 1. Déterminerl’ensemble des nombres complexesztel que= 1. |z−b| √ |z−3|2 2. Déterminerl’ensemble des nombres complexesztels que=. |z−5|2 2 Exercice 9.L’identité du parrallélogramme.Montrer que pour tout(u, v)∈C, on a l’égalité : 2 22 2 |u+v|+|u−v|= 2(|u|+|v|). En identifiant le plan euclidien muni d’un repère orthonormé etC, donner une interprétation géométrique pour cette égalité.

Exercice 10.L’inégalité triangulaire. 020 0 1. Déterminerles couples(z, z)∈Ctels que|z+z|=|z|+|z|. P P n n 2. Généralisation: montrer par récurrence que pour tout entiern≥1,∀(z k ) 1≤k≤n ,|z k || ≤z k |, k=1k=1 puis étudier le cas d’égalité.

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