PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2010-2011 D e v o i r d e N o ë l G e o m e t r i e d e l ' e s p a c e e t c o m b i n a t o i r e A rendre pour le lundi 3 janvier 2011. Vous devez apporter le plus grand soin a la redaction et a la pertinence des arguments avances. Les resultats doivent etre encadres. Exercice 1. Section conique L'espace affine E est rapporte a un repere orthonorme direct R = (O, ?? i , ?? j , ?? k ) On se propose d'etudier quelques sections coniques du cone d'equation x2 + y2 = z2. Etant donne ? ? R, on note H? le plan passant par ?(0, 1, 1) et dirige par les vecteurs ?? i? ? ? 0 cos(?) sin(?) ? ? ; ?? j? ? ? ?1 0 0 ? ? . 1. Former une equation cartesienne de H? . 2. Determiner ?? k? tel que ( ?? i? , ?? j? , ?? k? ) soit une B.O.N. directe de ?? E . 3. Former une equation du cone dans le R.

• ?? j?


• plan passant par ?


• section conique


• election presidentielle sur venus


• sections coniques du cone d'equation


• h?


• determiner

Sujets

• Conique
• Determiner

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2010-2011
G´e o m´e t r i e d e l ’ e s pa ce e t co m b i n a t o i re
A rendre pour le lundi 3 janvier 2011. Vous devez apporter le plus grand soin a` la r´edaction et a` la pertinence
des arguments avanc´es. Les r´esultats doivent ˆetre encadr´es.
Exercice 1. Section conique
→−−→ →−
L’espace affine E est rapport´e a` un rep`ere orthonorm´e direct R = (O, i , j, k)
On se propose d’´etudier quelques sections coniques du cˆone d’´equation
2 2 2x +y =z .
´Etant donn´e β∈R, on note H le plan passant par Ω(0,1,1) et dirig´e par les vecteursβ
   
0 −1→− −→0 0   cos(β) 0i ; j .
sin(β) 0
1. Former une ´equation cart´esienne de H .β
−→ −→ →− −→ −→0 0 0 02. D´eterminer k tel que (i ,j ,k ) soit une B.O.N. directe de E.
→− →− →−
0 0 03. Former une ´equation du cˆone dans le R.O.N. direct (Ω, i ,j ,k ). Que dire de l’´equation du plan Hβ
→− −→ −→
0 0 0dans le rep`ere (Ω, i ,j ,k )?
−→ →−
0 04. On identifieH au plan affineP rapport´e au R.O.N direct via le« rep`ere»(Ω, i ,j ). D´eduire de ce quiβ
pr´ec`ede l’´equation de la conique obtenue (on voit donc la section conique comme une conique de P).
5. D´eterminer le type de la conique en fonction du param`etre β.
6. D´eterminer les valeurs pour lesquelles la conique obtenue est vide; d´eg´en´er´ee; propre.
7. Dans le cas ou` la conique est propre, d´eterminer toutes les caract´eristiques de la conique.
Exercice 2. Produit vectoriel
´Etant donn´es deux vecteurs de l’espace~u et~v, on se propose de d´eterminer les vecteurs~x solutions de
~u∧~x =~v (1)
~1. D´eterminer les vecteurs~x v´erifiant (1) lorsque~v = 0.
~On suppose dor´enavant~v = 0.
2. On suppose~u·~v = 0. Que dire alors de l’ensemble des solutions de (1)? Justifier.
3. On suppose~u·~v = 0.
~(a) Que peut-on dire dans le cas ou` ~u = 0? Justifier.
~On suppose dor´enavant~u = 0.
(b) Justifier qu’alors~x peut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme
~x =α~u+β~v+γ~u∧~v
3avec (α,β,γ)∈R .
1
eNr6o6Dov?ild6e(c) D´eterminer~u∧(~u∧~v)(onpourraobserverquelafamille(~u,~v,~u∧~v)esttr`esparticuli`eresansutiliser
la formule de double produit vectoriel).
3(d) En d´eduire que (1) est ´equivalente a` trouver les triplets (α,β,γ)∈R v´erifiant :
2−γk~uk ~v+β~u∧~v =~v. (2)
(e) En d´eduire l’ensemble des solutions de (1).
Exercice 3. Une somme de coefficients binomiaux
nX 3n
L’objectif de l’exercice est de calculer en fonction de n∈N.
3k
k=0
2iπ
3On rappelle que j =e .
1. Soient a et b des nombres complexes. Montrer que
n 2XX 3n3n 3(n−k)−‘ 3k+‘
(a+b) = a b .
3k+‘
k=0 ‘=0
nX 3n3n 3n 2 3n2. En d´eduire que 2 +(1+j) +(1+j ) = .
3k
k=0
3n 2 3n3. D´eterminer les formes trigonom´etrique de (1+j) et (1+j ) .
nX 3n
4. En d´eduire .
3k
k=0
` ´Exercice 4. Un probleme d’election
Lors du second tour de l’´election pr´esidentielle de l’ann´ee v´enusienne 3260, les v´enusiens ´elisent monsieur
1Yarol devant madame Judai. Monsieur Yarol a recueilli a suffrages tandis que madame Judai n’en a recueilli
2« que » b. On a donc a>b> 0. On veut d´eterminer la probabilit´e en fonction de a et b que monsieur Yarol
soit rest´e en tˆete tout au long du d´epouillement.
Dans une premi`ere partie, on digresse autour des d´eplacements d’une tortue dans le plan P muni d’un
~ ~R.O.N. direct R = (O,i,j).
Dans la seconde partie, la f´ee Carabosse d´ebarque et transforme la tortue en d´epouillement d’une ´election
pr´esidentielle sur V´enus.
Comptage de chemins
Unetortueveutallerdel’origineO aupointAdecoordonn´ees(a,b)Ellenepeutsed´eplacerquesuivantdes
~ ~pas « ´egaux `a»i ou a`j. On veut d´eterminer le nombre de chemins (ou trajectoires) possibles que peut suivre
la tortue sachant qu’elle ne doit pas ˆetre au dessus de la premi`ere bissectrice, premi`ere bissectrice comprise (la
partie du plan ainsi interdite ´etant le repaire de voraces crocodiles).
Dans ce qui suit, on note φ(a,b) le nombre de chemins possibles pour aller de O `a A si la tortue n’a pas
froid aux yeux; ψ(a,b) le nombre de chemins possibles pour aller de O a` A si la tortue est m´efiante.
1Pour ´eviter toute angoisse sur le nombre de v´enusiens en ˆage de voter, nous avons pr´ef´er´e masquer les chiffres par des lettres
a et b.
2Ainsi monsieur Yarol n’a pas eu l’int´egralit´e des suffrages exprim´es.
2~ ~1. D´eterminerφ(a,b). Indication. Observer d´ej`a le nombre de pas suivanti et le nombre de pas suivantj
que doit faire la tortue.
2. On suppose que l’audacieuse tortue passe par le point B de coordonn´ees (0,1). D´eterminer alors le
nombre de chemins possibles χ(a,b) pour aller de B a` A.
3. Onsupposequelatortuem´efiantepasseparlepointC decoordonn´ees(1,0).Maisqueprised’audace,elle
se d´ecide a` franchir a` un moment donn´e la premi`ere bissectrice. Montrer par un argument g´eom´etrique
que le nombre de chemins pour aller de C a` A en franchissant y = x a` un moment donn´e est ´egal a`
χ(a,b).
4. En d´eduire le nombreψ(a,b) de chemins possibles pour aller deO a`A d’une tortue m´efiante et qui tient
a` sa peau.
Ou comment une tortue devint d´epouillement
5. Expliquer en quoi le probl`eme de d´epouillement de l’´election v´enusienne s’apparente au d´eplacement de
la tortue?
6. D´eduire de tout ce qui pr´ec`ede que la probabilit´e que Monsieur Yarol soit rest´e en tˆete de l’´election est
a−b´egale a` .
a+b
3