PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2010-2011 F e u i l l e d e T D 2 2 E s p a c e s v e c t o r i e l s e u c l i d i e n s 1. Soit E = C0([0, 1],R). Soient f et g des elements de E. Etablir que < f, g >= f(0) g(0) + ∫ 1 0 f ?(t) g?(t) dt definit un produit scalaire sur E. 2. Soit E = Rn[x]. Soient P et Q des elements de Rn[x]. Etablir que < P,Q >= n∑ k=0 P (k)Q(k) definit un produit scalaire sur E.. 3. Soit E = Rn[x]. Soient P et Q des elements de Rn[x]. Etablir que < P,Q >= n∑ k=0 P (k)(0)Q(k)(0) definit un produit scalaire. 4. Appliquer le procede d'orthonormalisation de Gram-Schmidt aux familles suivantes de Rn munies du produit scalaire standard. Pour n = 2 (resp. 3), on placera les vecteurs consideres dans le plan eucli- dien (resp.

• obtention des vecteurs de la base orthonormee


• matrice de la symetrie orthogonale dans la base canonique de r4


• droite de regression lineaire pour le nuage de points de coordonnees


• matrice symetrique


• r4


• determinant de la matrice


• vecteurs consideres dans le plan eucli- dien


• coordonnees de fj dans la base canonique

Sujets

• Matrice symétrique

Informations

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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2010-2011
E s pa ce s v ec t o r i e l s e u c l i d i e n s
0 ´1. Soit E =C ([0,1],R). Soient f et g des ´el´ements de E. Etablir que
Z 1
0 0<f,g >=f(0)g(0)+ f (t)g (t)dt
0
d´efinit un produit scalaire sur E.
´2. Soit E =R [x]. Soient P et Q des ´el´ements deR [x]. Etablir quen n
nX
<P,Q>= P(k)Q(k)
k=0
d´efinit un produit scalaire sur E..
´3. Soit E =R [x]. Soient P et Q des ´el´ements deR [x]. Etablir quen n
nX
(k) (k)<P,Q>= P (0)Q (0)
k=0
d´efinit un produit scalaire.
n4. Appliquer le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt aux familles suivantes de R munies du
produit scalaire standard. Pour n = 2 (resp. 3), on placera les vecteurs consid´er´es dans le plan eucli-
dien (resp. l’espace euclidien) et on interpr´etera g´eom´etriquement l’obtention des vecteurs de la base
orthonorm´ee.
(a) n = 2 : f = (1,2), f = (−3,−1).1 2
(b) n = 3 : f = (1,1,1), f = (1,1,−1), f = (1,−1,1).1 2 3
(c) n≥ 2 : f = (1,0,··· ,0), f = (1,1,0,··· ,0), ··· , f = (1,··· ,1).1 2 n
2 35. Appliquer le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt `a la famille (1,x,x ,x )
0(a) vue comme une famille deC ([−1,1],R) muni du produit scalaire
Z 1
<f,g >= f(t)g(t)dt ;
−1
0(b) vue comme une famille deC ([0,1],R) muni du produit scalaire
Z 1
0 0<f,g >=f(0)g(0)+ f (t)g (t)dt ;
0
(c) vue comme une famille deR [x] muni du produit scalaire3
<P,Q>=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)+P(−1)Q(−1) ;
(d) vue comme une famille deR [x] muni du produit scalaire3
0 0 00 00 (3) (3)
<P,Q>=P(0)Q(0)+P (0)Q (0)+P (0)Q (0)+P (0)Q (0).
n∗∗ d 2 n6. Une famille de polynomeˆ s. Pour n∈N, on d´efinit U (x) = (x −1) .n ndx
0(a) Montrer que la famille (U ,··· ,U ) est orthogonale dans C ([−1,1],R) muni du produit scalaire0 n
<, > :
Z 1
<f,g >= f(t)g(t)dt.
−1
1
2Tei2FeudlelD(b) D´eterminerkU k pour tout entier n∈N.n
(c) Etablir de deux fa¸cons que U poss`ede n racines distinctes dans ]−1,1[.n
47. Soit F ={(x,y,z,t)∈R :x+y+z +t = 0, x+2y+z +t = 0}.
⊥(a) D´eterminer F .
⊥ 4(b) Donner une base orthonorm´ee de F ; de F . En d´eduire une base orhtonorm´ee deR .
(c) Donner la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base obtenue. En d´eduire celle dans
la base canonique.
48. Soit F ={(x,y,z,t)∈R :x+y+z +t = 0, x+2y+3z +4t = 0}.
4D´eterminer la matrice de la sym´etrie orthogonale dans la base canonique deR .
t9. Soit M (R) muni du produit scalaire Tr( MN). On rappelle que S (R) d´esigne le s.e.v. des matricesn n
sym´etriques etA (R) le s.e.v. des matrices antisym´etriques.n
⊥´(a) Etablir que M (R) =S (R)⊕ A (R).n n n
t(b) Montrer ques : M (R)→M (R) d´efinie pars(M) =− M pour toutM ∈M (R) est une sym´etrien n n
orthogonale dont on pr´ecisera l’axe de sym´etrie.
10. Quelques in´egalit´es. Etablir les in´egalit´es suivantes. On pr´ecisera les cas d’´egalit´e.
!2n nX X
n 2(a) ∀(x ··· ,x )∈R , x ≤n x .1 n i i
i=1 i=1
2 t(b) ∀A∈M (R), (Tr(A)) ≤nTr( AA).n
(c) Soient f et g des fonctions continues et strictement positives sur [0,1]. Alors
Z Z Z1 1 1
g(t)2 2( g(t)dt) ≤ f (t)g(t)dt× dt.
2f (t)0 0 0
´11. Soit E un espace vectoriel euclidien. Soient F et G des s.e.v. de E. Etablir les propri´et´es suivantes :
⊥ ⊥(i) Si F ⊂G, alors F ⊃G .
⊥ ⊥ ⊥(ii) (F +G) =F ∩G .
⊥⊥(iii) F =F.
⊥ ⊥ ⊥(iv) (F ∩G) =F +G .
Discuter les propri´et´es ou` la dimension n’intervient pas.
12. Soient E un espace vectoriel euclidien et p :E →E une application lin´eaire.
(a) Montrer que si p est un projecteur orthogonal, alors :
(i) p◦p =p.;
(ii) ∀x∈E, kp(x)k≤kxk.
Que dire de p si on a l’´egalit´e dans (ii) pour tout x∈E?
∗(b) Montrer que si p v´erifie (i) et (ii), alors p est un projecteur orthogonal.
Indication. Pour ´etablir que pour tous x∈ Im(p) et y∈ ker(p), < x,y >= 0, on pourra s’inspirer
de la d´emonstration de Cauchy-Schwarz.
13. Soient E un espace vectoriel euclidien et s :E →E une application lin´eaire.
Montrer que s est une sym´etrie orthogonale si et seulement si :
(i) s◦s = Id .;E
(ii) ∀x∈E, ks(x)k =kxk.
Ceci reste-t-il valable si l’on remplace (ii) par∀x∈E, ks(x)k≤kxk?
14. Soient E un espace vectoriel euclidien et p et p deux projecteurs orthogonaux.1 2
(a) Montrer que p ◦p = 0 ⇔ p ◦p = 0.1 2 2 1
(b) Sous l’hypoth`ese pr´ec´edente, ´etablir :
Id =p +p ⇔ ker(p )∩ker(p ) ={0 }⇔ ker(p ) = Im(p )⇔ Im(p ) = ker(p ).E 1 2 1 2 E 1 2 1 2
n15. Soit (f ,··· ,f ) une famille de vecteurs de R . On note A la matrice carr´ee d’ordre n dont la j-i`eme1 n
colonne repr´esente les coordonn´ees de f dans la base canonique.j
2(a) Montrer que (f ,··· ,f ) est une base orthonorm´ee (pour le produit scalaire standard) si et seule-1 n
tment si A×A =I .n
Une matrice A v´erifiant l’´egalit´e pr´ec´edente est dite orthogonale.
´(b) Soit A une matrice orthogonale. Etablir les (in)´egalit´es suivantes :
n nXX
2(i) a =n.i,j
i=1 j=1
n nXX
∗