PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 F e u i l l e d e T D 1 8 E s p a c e s v e c t o r i e l s d e d i m e n s i o n f i n i e 1. Vrai-faux. On justifiera chaque reponse. (a) Si (e1, · · · , en) est une famille de vecteurs deux a deux non colineaires, alors la famille (e1, · · · , en) est libre. (b) Pour tout n ? N, la famille de fonctions ( x 7? coskx ) 0≤k≤n est libre. (c) une famille (f) d'un K-espace vectoriel E est libre si et seulement si f 6= 0E . (d) Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et F un K-espace vectoriel. Si u ? L(E,F ), alors Im(u) est de dimension finie m avec m ≤ n. (e) C2 est un R-espace vectoriel de dimension 4 ayant pour base ((1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)). (f) Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et (e1, .

• famille


• dimension


• dimension de l'espace vectoriel


• existence de vecteurs u1


• endomorphisme ? de kn


• r4 definis

Sujets

• Famille
• Dimensión

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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
E s pa ce s v ec t o r i e l s d e d i m e n s i o n fi n i e
1. Vrai-faux. On justifiera chaque r´eponse.
(a) Si (e ,··· ,e ) est une famille de vecteurs deux `a deux non colin´eaires, alors la famille (e ,··· ,e )1 n 1 n
est libre.

k(b) Pour tout n∈N, la famille de fonctions x7→cos x est libre.
0≤k≤n
(c) une famille (f) d’unK-espace vectoriel E est libre si et seulement si f = 0 .E
(d) Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et F un K-espace vectoriel. Si u ∈ L(E,F), alors
Im(u) est de dimension finie m avec m≤n.
2(e) C est unR-espace vectoriel de dimension 4 ayant pour base ((1,0),(i,0),(0,1),(0,i)).
(f) Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et (e ,...,e ) une famille de vecteurs de E. Si1 m
m≥n, alors la famille est li´ee.
(g) Soient E unK-espace vectoriel de dimension n et (e ,...,e ) une famille li´ee de vecteurs E, alors1 m
m≥n.
´2. Etablir que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels de dimension finie et pr´eciser la dimension
de chacun.
3(a) {(x,y,z)∈R : x−2y+3z = 0}.
3(b) {(x,y,z)∈R : x = 2y = 3z}.
(c) {P ∈R [x] : P(1) = 0}.4
(d) l’ensemble des suites arithm´etiques.
2(e) le sous-ensemble des fonctions dansC (R,R) dont la d´eriv´ee seconde est nulle.
00(f) l’ensemble des solutions surR de l’´equation diff´erentielle y +4y = 0.
3. D´eterminer une base et la dimension des espaces vectoriels suivants.
(a) Le sous-espace vectoriel dansR[x] d´efini par

4 2 4 3 3 2vect 2x +3x+1,8x −4x,9x +2x −x,4x +2x +3x+1 .
4(b) Le sous-espace vectoriel dansR d´efini par
vect((1,2,1,0),(4,−2,1,1),(7,2,4,2),(11,4,1,3)).
4(c) {(x,y,z,t)∈R : x−3y+2z +t = 0 et y+z−4t = 0}.
(d) {P ∈K [x] : P(0) =P(1) =P(2) =P(3) = 0}.4
4. Une autre fa¸con d’´etablir queK[x] n’est pas de dimension finie.
0(a) Montrer que l’application φ : K[x]→K×K[x] d´efinie par φ(P(x)) = (P(0),P (x)) estK-lin´eaire
et qu’il s’agit d’un isomorphisme;
(b) En d´eduire que K[x] n’est pas un K-espace vectoriel de dimension finie (On pourra raisonner par
l’absurde).
∞5. Soit f ∈C (R,R) d´efinie par f (x) = exp(kx) pour tout entier k≥ 0.k k
D´eterminer la dimension de l’espace vectoriel F = vect({f ,··· ,f }).n 0 n
36. Soient v ,v et v les vecteurs deR d´efinis par :1 2 3
v = (1,1,−1), v = (1,0,1), v = (1,1,0).1 2 3
3(a) montrer que ces 3 vecteurs forment une base deR .
(b) donner les composantes de w = (1,2,1) dans la base (v ,v ,v ).1 2 3
1
TliFedDee1u86l7. Pour quelles valeurs de m∈R les vecteurs
v = (m,1,1,1), v = (1,m,1,1), v = (1,1,m,1), v = (m,1,1,m)1 2 3 4
4sont-ils lin´eairement ind´ependants dansR ?
Dans les cas ou` ils ne le sont pas, d´eterminer la dimension de vect({v ,v ,v ,v }).1 2 3 4
8. On posef l’application deR dansR d´efinie parf (x) = cos(kx) pour tout entierk≥ 0. On se proposek k
d’´etablir de deux mani`eres que la famille (f ,··· ,f ) est libre pour tout entier n≥ 0.0 n
(a) Fa¸con 1.
L’´etablir en s’appuyant de l’exercice 8 (TD 15, paragraphe 1) et de l’exercice 1 de cette feuille.
(b) Fa¸con 2. Soient k et ‘ des entiers naturels.
Rπ
i. Calculer cos(kx) cos(‘x)dx en fonction de k et ‘.
0
ii. En d´eduire que la famille (f ,··· ,f ) est libre.0 n
9. familles libres et compl´etion.
Dans chacun des cas qui suivent, ´etablir que la famille est libre et la compl´eter en une base de l’espace
vectoriel qui la contient.
3 3 2(a) (x +x+1,x −2x+2,x +3x) dansR [x];5
4(b) ((8,4,1,−2),(1,3,0,5)) dansR .
410. Soient v = (1,1,0,−1), v = (1,0,0,−1), v = (1,0,−1,0) des vecteurs deR .1 2 3
4(a) (v ,v ,v ) est-elle une base deR ?1 2 3
(b) On pose F = vect({v ,v ,v }). Donner une C.N.S. sur x,y,z et t pour que (x,y,z,t)∈F.1 2 3
4(c) Soit G ={(x,y,z,t)∈R : x+y−z +t = 0}. Montrer que G est un s.e.v. puis donner une base
de F ∩G.
411. Soient F et G les s.e.v. deR d´efinis par
F = vect({(1,−1,0,1), (0,2,1,0)}), G = vect({(0,6,−1,4), (3,3,1,5)}).
4D´eterminer F ∩G et F +G et indiquer leur dimension. Donner un suppl´ementaire de F +G dansR .
12. D´eterminer un suppl´ementaire de
4 4(a) {(x,y,z,t)∈R : x+y−t = 0 et y−z +t = 0} dansR .
0(b) {P ∈R [x] : P(0) =P (1) = 0} dansR [x].3 4
0 2(c) {P ∈R [x] : P +P =P(0)x +P(1)x+P(2)} dansR [x].2 2
013. Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie, H et H deux hyperplans de E. Que peut-on dire du
0s.e.v. H∩H ?
14. Soient un E unK-espace vectoriel de dimension n.
Soient F et G deux s.e.v. v´erifiant dim(F)+dim(G)>n. Montrer que F ∩G ={0 }.E
415. On consid`ere les s.e.v. suivants dansR :
4F = vect({(1,2,1,3),(2,0,0,1)}), G ={(x,y,z,t)∈R : 2x+y+z = 0 et x =y}.
(a) d´eterminer la dimension de F et G;
(b) montrer que F ∩G ={0 };E
4(c) conclure queR =F ⊕G.
16. Vrai-Faux. On justifiera chaque r´eponse.
(a) L’image d’une famille libre par une application lin´eaire est libre.
(b) Soient u ∈ L(E,F) et (e ,··· ,e ) une famille de vecteurs de E telle que (u(e ),··· ,u(e )) est1 m 1 m
libre. Alors (e ,··· ,e ) est libre.1 m
(c) Soientu∈L(E,F)et(e ,··· ,e )unefamilledevecteursdeE telleque(u(e ),··· ,u(e ))engendre1 m 1 m
F. Alors (e ,··· ,e ) est une famille g´en´eratrice de E.1 m
(d) Soit φ :E→F une application lin´eaire telle que dim(Im(F)) = 1 alors ker(φ) est un hyperplan.
(e) Soient E et F de dimension n et m respectivement. Si u∈L(E,F), alors rang(u)≤ min(m,n).
2
6(f) Soient E de dimension n et φ : E → K une forme lin´eaire. φ est non nulle si et seulement si
dim(ker(φ)) =n−1.
4 ∗17. Soitf ∈ (R ) d´efinie parf((x,y,z,t)) =x−y+2z−t. D´eterminer une base et la dimension de ker(f)
et Im(f).
18. D´eterminer une base du noyau et de l’image des applications lin´eaires suivantes.
3 3(a) φ : R → R
(x,y,z) 7→ (2x+y+z,y+z,x)
3 2(b) φ : R → R
(x,y,z) 7→ (x+y−z,2x−y+z)
19. D´eterminer le rang des applications lin´eaires suivantes.
2 3(a) φ : R → R
(x,y) 7→ x(x+y,x−y,x+2y)
(b) φ : K [x] → K [x]3 4
0 0P(x) 7→ x (P (x)−P (0))
3 2(c) φ : R → R
(x,y,z) 7→ (x+y+z,x−y+z)
n+120. Soit ψ : K [x]→K d´efinie par ψ(P) = (P(0),··· ,P(n)).n
(a) Montrer que ψ estK-lin´eaire.
(b) Montrer que ker(ψ) ={0}.
(c) En d´eduire que ψ est isomorphisme.
Ainsi, il existe un unique polynˆ ome de degr´e (inf´erieur ou ´egal a`) n prenant des valeurs prescrites en 0,1,··· ,n−1
et n. Trouver ce polynˆ ome est un probl`eme d’interpolation.
`21. A quelle C.N.S. sur la dimension de E existe-t-il u∈ End(E) tel que Im(u) = ker(u)?
´22. Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie, f et g des endomorphismes de E. Etablir les ´equiva-
lences suivantes :
g◦f injective ⇔g◦f surjective ⇔g et f bijectives.
3 223. Soit f ∈ End(R ) tel que f = 0.
3 ∗(a) Montrer qu’il existe v∈E et φ∈ (R ) avec φ(v) = 0 tels que
∀x∈E, f(x) =φ(x)v.
(b) Montrer que si une application f s’´ecrit comme ci-dessus, alors
3i. f est un endomorphisme deR ;
2ii. f = 0.
24. Soient E unK-espace vectoriel et f ∈ End(E).
´(a) Etablir les ´equivalences suivantes :
2ker(f) = ker(f )⇔ ker(f)∩Im(f) ={0 }.E
2Im(f) = Im(f )⇔E = ker(f)+Im(f).
(b) On suppose E de dimension finie. Montrer les ´equivalences suivantes :
2 2ker(f) = ker(f )⇔ Im(f) = Im(f )⇔E = ker(f)⊕Im(f).
25. Soient E unK-espace vectoriel et f ∈ End(E).
(a) rappeler pourquoi :
2 iker(f)⊂ ker(f )⊂···⊂ ker(f )⊂···
2 i
Im(f)⊃ Im(f )⊃···⊃ Im(f )⊃···
On suppose E de dimension finie.
3(b) Montrer qu’il existe un entier p∈N tel que
p p+1 p+iker(f ) = ker(f ) =··· = ker(f ) =···
Que peut-on dire de cet entier p?
p p+1Indication. montrer d’abord qu’il existe un entier p tel que ker(f ) = ker(f ).
(c) En d´eduire que
p p+1 p+iIm(f ) = Im(f ) =··· = Im(f ) =···
p p(d) Montrer que ker(f ) et Im(f ) sont suppl´ementaires.
n26. Soit (e ,··· ,e ) la base canonique deK .1 n
n(a) justifier l’existence d’un endomorphisme φ deK donn´e par

e si 1≤i≤n−1i+1
φ(e ) =i
0 si i =nn
(b) D´eterminer Im(φ) et ker(φ).
k(c) Etant donn´e un entier k≥ 2, expliciter φ (e ) pour 1≤i≤n.i
k k(d) En d´eduire ker(φ ) et Im(φ ).
(e) conclure que le plus petit entier p tel que
p p+1 p+iker(φ ) = ker(φ ) =··· = ker(φ ) =···
est ´egal a` n.
27. Une autre d´emonstration de la formule de Grassmann. SoientF etG deux s.e.v. d’unK-espace vectoriel
E de dimension finie. On consid`ere F et G en tant queK-espaces vectoriels `a part enti`ere.
Soit φ : F ×G → F +G .
(x,y) 7→ x+y
(a) Montrer que φ est lin´eaire.
(b) Montrer que φ est surjective.
(c) Montrer que ker(φ) est isomorphe a` F ∩G (on pr´ecisera l’isomorphisme).
(d) En d´eduire la formule de Grassmann :
dim(F +G) = dim(F)+dim(G)−dim(F ∩G).
28. Soient E unK-espace vectoriel de dimension n et (φ ,··· ,φ ) une famille de fo