Préface
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Description

Master, Supérieur, Master
  • cours - matière potentielle : introduction
Préface Ce livre est un cours d'introduction à l'algèbre commutative de base, avec un accent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituent la version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle. Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les théorèmes d'existence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsqu'un théorème affirme l'existence d'un objet, solution d'un problème, un algo- rithme de construction de l'objet peut toujours être extrait de la démons- tration qui est donnée.
  • principe local
  • fibrés vectoriels
  • version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle
  • modules de présentation finie
  • digression sur le calcul algébrique
  • algèbre de décomposition universelle
  • corps discret
  • changement d'anneau de base
  • anneaux
  • anneau

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Langue Français
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Extrait

Préface
Ce livre est un cours d’introduction à l’algèbre commutative de base, avec un
accent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituent
la version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle.
Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les théorèmes
d’existence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsqu’un
théorème affirme l’existence d’un objet, solution d’un problème, un algo-
rithme de construction de l’objet peut toujours être extrait de la démons-
tration qui est donnée.
Nous revisitons avec un regard nouveau et souvent simplificateur plusieurs
théories classiques abstraites. En particulier, nous revenons sur des théories
qui n’avaient pas de contenu algorithmique dans leur cadre naturel général,
comme la théorie de Galois, celle des anneaux de Dedekind, celle des modules
projectifs de type fini ou celle de la dimension de Krull.
L’algèbre constructive est en fait une vieille discipline, développée entre
autres par Gauss et Kronecker. Nous nous situons dans la lignée de la
(( bible )) moderne sur le sujet, qu’est le livre A Course in Constructive
Algebra de Ray Mines, Fred Richman et Wim Ruitenburg, paru en 1988.
Nous le citerons sous forme abrégée [MRR].
L’ouvrage correspond à un niveau de Master 2, du moins jusqu’au cha-
pitre XIV, mais ne réclame comme prérequis que les notions de base concer-
nant la théorie des groupes, l’algèbre linéaire sur les corps, les déterminants,
les modules sur les anneaux commutatifs, ainsi que la définition des an-
neaux quotients et localisés. Une familiarité avec les anneaux de polynômes,
les propriétés arithmétiques deZ et des anneaux euclidiens est également
souhaitable.
Signalons enfin que nous considérons les exercices et problèmes (un peu
plus de 320 en tout) comme partie essentielle du livre.
Nous essaierons de publier le maximum de corrigés manquants, ainsi que
des exercices supplémentaires, sur la page web de l’un des auteurs :
http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html.
– i –ii Préface
Remerciements.
Nous remercions tou(te)s les collègues qui nous ont encouragés dans notre
projet, nous ont apporté quelques sérieux coups de main ou fourni de
précieuses informations. Et tout particulièrement MariEmi Alonso, Thierry
Coquand, Gema Díaz-Toca, Lionel Ducos, M’hammed El Kahoui, Marco
Fontana, Sarah Glaz, Laureano González-Vega, Emmanuel Hallouin, Hervé
Perdry, Jean-Claude Raoult, Fred Richman, Marie-Françoise Roy, Peter
Schuster et Ihsen Yengui. Last but not least, une mention toute spéciale
pour notre expert Latex, François Pétiard.
Enfin, nous ne saurions oublier le Centre International de Recherches Mathé-
matiques à Luminy et le Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach,
qui nous ont accueillis pour des séjours de recherche pendant la préparation
de ce livre, nous offrant des conditions de travail inappréciables.
Henri Lombardi, Claude Quitté
Août 2011Table des matières
Avant-propos xvi
I Exemples
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Fibrés vectoriels sur une variété compacte lisse . . . . . . . . . . . 3
Quelques localisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Vecteurs tangents et dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Différentielles et fibré cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Cas algébrique lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dérivations d’une algèbre de présentation finie . . . . . . . . . . 8
2 Formes différentielles sur une variété affine lisse . . . . . . . . . . 9
Le cas de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Le cas d’une variété algébrique lisse . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cas d’une hypersurface lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cas d’une intersection complète . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Principe local-global de base et systèmes linéaires
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Quelques faits concernant les localisations . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Principe local-global de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Localisations comaximales et principe local-global . . . . . . . . 21
Propriétés de caractère fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Rendre des éléments comaximaux par force . . . . . . . . . . . . 29
3 Anneaux et modules cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Une notion fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Caractère local de la cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Au sujet du test d’égalité et du test d’appartenance . . . . . . . 34
Anneaux et modules cohérents fortement discrets . . . . . . . . 35
4 Systèmes fondamentaux d’idempotents orthogonaux . . . . . . . . 36
– iii –iv Table des matières
5 Un peu d’algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Sous-modules libres en facteur direct (splitting off) . . . . . . . . 39
Le rang d’un module libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Puissances extérieures d’un module . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Idéaux déterminantiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Méthode du pivot généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Formule de Cramer généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Une formule magique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Inverses généralisés et applications localement simples . . . . . . 49
Grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Critères d’injectivité et de surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . 52
Caractérisation des applications localement simples . . . . . . . 53
Trace, norme, discriminant, transitivité . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Principe local-global de base pour les modules . . . . . . . . . . . 60
Complexes et suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Localisation et suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Principe local-global pour les suites exactes de modules . . . . . 63
Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Solutions d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Commentaires bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III La méthode des coefficients indéterminés
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Deux mots sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1 Anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Algorithme de factorisation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Propriété universelle des anneaux de polynômes . . . . . . . . . 85
Identités algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2 Lemme de Dedekind-Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Un théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Algèbres et éléments entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 L’algèbre de décomposition universelle (1) . . . . . . . . . . . . . 95
5 Discriminant, diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Définition du discriminant d’un polynôme unitaire . . . . . . . 98
Diagonalisation de matrices sur un anneau . . . . . . . . . . . . 99
La matrice générique est diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . 101
Identité concernant les polynômes caractéristiques . . . . . . . . 101
Identitét les puissances extérieures . . . . . . . . . . . 102
Transformation de Tschirnhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Nouvelle version du discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Table des matières v
Discriminant d’une algèbre de décomposition universelle . . . . . 104
6 Théorie de Galois de base (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Factorisation et zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Algèbres strictement finies sur un corps discret . . . . . . . . . . 106
Le cas élémentaire de la théorie de Galois . . . . . . . . . . . . . 109
Construction d’un corps de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Le résultant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
La théorie de l’élimination . . . . . . . . . . .

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