Rappels et generalites

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Suites numeriques 1. Rappels et generalites Definition 1.1. Une suite reelle (resp. complexe) (u) ou (un)n?N est une application definie sur N a valeurs dans R (resp C) : u : N ? R ou C n 7? u(n) =: un . On note (un) ? RN (resp. CN). Notation : ? On note les elements de la suite un au lieu de u(n). ? (un) represente la suite entiere alors que un represente le ni‘eme -terme de la suite. Definition 1.2. Soit (un) une suite reelle. On dit que i) (un) est croissante si pour tout n ? N, un ≤ un+1. ii) (un) est strictement croissante si pour tout n ? N, un < un+1. iii) (un) est decroissante si pour tout n ? N, un ≥ un+1. iv) (un) est strictement decroissante si pour tout n ? N, un > un+1. v) (un) est majoree s'il existe M ? R tel que pour tout n ? N, un ≤ M . vi) (un) est minoree s'il existe m ? R tel que pour tout n ? N, m ≤ un.

• eun ?


• bolzano-weierstrass


• n? ?


• constantes ?


• unicite de la limite


• signe constant


• u0 ?

Sujets

• Théorème de Bolzano-Weierstrass

Informations

• Publié par: vehot
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

Pr ´ eparation ` al’Agre ´ gationdeMath ´ ematiques Anne ´ e2011-2012 Suites

1.A savoir –D´efinitiondelalimite,delalimiteinfinie – Suitesadjacentes –Ope´rationssurlessuites – Suitesde Cauchy –Valeursd’adhe´rence –Suitesmonotones,suitescroissantesetmajore´esetc... –Th´eor`emedupointfixepouruneapplicationcontractante –Etudedessuitesde´finiesparr´ecurrence,suiteshomographiques –Suitesr´ecurrentesline´aires –Limitesinfe´rieureetsupe´rieure –Th´eore`medeBolzano-Weierstrass –Lienentresuitesetse´ries

2.En lien avec.. – lesexercices de la feuille sur les relations de comparaison –lesexercicesdelafeuillesurleslimitesinfe´rieuresetsup´erieures –lesexercicesdelafeuillesurlessuitesre´currentesetlarapidite´deconvergence –lede´veloppement”m´ethodedeNewton” –lede´veloppement”acc´el´erationdelaconvergencedessuites” –lede´veloppement”utilisationdesse´riespour´etudierlessuites”

3.Exercices Exercice 1 : Etude et calcul [L]   n−1 n X n 2πj j Etudierlasuited´efinieparu n = (−1) cospourn >0. n n j=0 Exercice 2 : Deux suites divergentes classiques [M] Soitθ∈/ πZ, montrer que les suites (cos(nθ(sin()) etnθ)) divergent. n∈Nn∈N Exercice3:MoyennedeC´esaro[G,P,H,FGN1] X Soit (α n emenrictlsstr´eeqseutsletifiptsoiuseedet)nuα n ´end.Ogeerivdenneyomaltinfi n∈N α 1 u 1 +∙ ∙ ∙+α n u n deCe´saro(S n ) parS n = . n∈N α 1 +∙ ∙ ∙+α n ¯ 3.1. Montrer que si (u n une suite convergeant vers) estl∈RomalsrolCedenney(rosa´eaS n ) n∈Nn∈N convergee´galementversl. 3.2.Qu’enest-ildelar´eciproque? 3.3. Trouver une suite de limite +∞orase´Cedsnesuasr+asveendpinetetqu∞. 3.4.Application 1ecenıˆaredellr`laleegd’deemAlom:ertneuqres(enti`eres)entebtropruelsse´ir u n+1 1 /n Cauchy, i.e. que silim =l, alorslim|u n |=l.  n→+∞n→+∞ u n n n X X 1 3.5.Application 2 :: soit (u n teuiesun);evitisopellee´ronposeS n =u k etσ n =S k . n∈N n k=1k=1 Montrer que la suite (S n ) convergessi la suite (σ n ) converge. n∈Nn∈N Exercice4:Valeursd’adh´erence(1)[M,FGN1] 4.1.Soitunesuiter´eelle(u n ) tellequeu n+1 −u n →0. Montrer que l’ensemble des valeurs n∈N n→+∞ ¯ d’adhe´renceestunintervalledeR. 4.2. Soitf: [0,1]→[0,1] continue et (u n suite de [0) une,1] telle queu n+1 =f(u n ). Montrer n∈N que (u n ) convergessiu n+1 −u n →0. n∈N n→+∞ 1

2 Remarque,G.pna[tusvitlta´esualert,onemen´ne´lareP:gsul(itSo]:45E, deuqirte´mecapsne)u compact et (u n ) n∈N une suite deEtelle quelimd(u n , u n+1 ) = 0. Alors l’ensemble des valeurs n→+∞ d’adhe´rencede(u n ) n∈N est connexe. Applicationsreegnvco:etm´dehoceenladeruopclacaJediboceriquemeulernum´uesrrppotnelvsla d’une matrice [Ci, LT]. Exercice5:Valeursd’adh´erence(2)[L]   u 2n Soit (u n )enutiusrobeeen´eer´etllleeluqlemiu n 1. Que dire de la suite (+ =u n ) ? n∈Nn∈N n→+∞ 2 Exercice6:Valeursd’adhe´rence(3):exemplesetcontre-exemples[H] 6.1.Trouverunesuitenonconvergenteayantuneseulevaleurd’adh´erence. 6.2.Trouverunesuiteadmettanttout´ele´mentdeNmmoclavea’hduedrcn.ee´er 6.3. Trouver une suite admettantRurlevameerh´add’neec.moc Exercice 7 - Examen : Approximations diophantiennes [G, p. 272] +∗ 7.1. Soitα∈R\Q. Pour toutn∈N, montrer que ∗ 2 p n 1 ∃(p n , q n )∈N,1≤q n ≤ntels queα−< .  q n q n n 7.2. Montrer que les suites (p n ) et(q n vers +) tendent∞. n∈Nn∈N X 1 7.3.Donnerlanaturedelase´rie. 2 2 nsinn Exercice8-Examen:Equire´partition[CL1p.133ouGp.283ouFGN2p.46ouLp.36] Attention :selsrvil..seuoV.ouspzcvesluaoqnueerslttino.8.4sertramenetbientrait´eedan.K[p, 11]. Soit (x n ) unesuite de [0,1]. Pour 0≤a≤b≤1, on pose n∈N N(a, b, n) = card{m≤n, x m ∈[a, b]}. On dit que (x n ´eirrtpastequ´e)isei n∈N N(a, b, n) →b−apour tout 0≤a≤b≤1. n n→+∞ 8.1. Montrer que si (x n t´es)lsar,oeitrape´riuqe{x n , n∈N}est dense dans [0,1]. n∈N 8.2. Montrer que (x n est´equir´epar)nioctonopisseitfetuotrufnianemRirgbatne´[r0elus,1], n∈N n Z 1 X 1 limf(x k ) =f. n n→+∞ 0 k=1 8.3. Montrer que (x n truoetofeisspiuoir´epartest´equ)ontincfcontinue sur [0,1], n∈N n Z 1 X 1 limf(x k ) =f. n n→+∞ 0 k=1 n X 2iπmx k ∗ 8.4. Montrer que (x n se)iu´r´tqetieseparsie=o(n) pour toutm∈Z. n∈N k=0 8.5. Pourθ∈R\Q, on pose (nθ0)l’uniquer´eelde[,1[ tel quenθ−(nθ)∈Z. Montrer que ((nθ)) n∈N est´equire´partie.

4.Indications Exercice 1: Quelques lignes de calcul... Exercice 2: Commencerparmontrer,graˆcea`desformulestrigonome´triques,quelesdeuxsuitesconvergentou divergentsimultan´ement. Exercice 3: 3.1.De´couperendeuxmorceauxetutiliserdesε. 3.4. Poserv n = ln|u n |. Exercice 4:

3 4.1.Conside´rerdeuxvaleursd’adh´erenceα < βme´ent,ueln´l∈]α, βsuiteentsdelae´xume´led,[u n 1 etu n 2 ice’indespzorhc,sad’rseualsvcedeeslsiup,ecnere´hdan= max{p∈ {n 1 ,∙ ∙ ∙, n 2 }, u p < l−ε}. 4.2.Montrerqu’unevaleurd’adh´erenceestunpointfixedef, puis raisonner par l’absurde. Exercice 5: 2 Conside´rerunevaleurd’adh´erencedelasuitediffe´rentedeetconstruireunesuitedevaleurs 3 d’adhe´rencequitendvers+∞. Exercice 6: 6.2.Penser`alad´ecompositiondesindicesenfacteurspremiers. 6.3.Penser`aunetransformationdelasuite(sinn) n∈N Exercice 7: 7.1. Utiliser le principe des tiroirs de Dirichlet avec les nombreskα−E(kα)∈[0,1[,0≤k≤N. 7.2. PoserN >l’enerersid´tcone0ielnfiesbm p Γ ={r∈Q, r=∈[α−1, α+ 1], p∈Z, q∈N,1≤q≤N}. q Montrerqu’`apartird’uncertainrangr n /∈Γ. 2 1q1 n 7.3.De´duiredecequipr´ec`edeque≥ →. 2 2 2 n→+∞ p n n sinp n p π Exercice 8: 8.3.Unefonctioncaract´eristiqueχ [a,b] paeer´adnceetrˆetuepenpsraomcraexurdeuxfonctionsaffi Z 1 ϕetψtelles queϕ≤χ [a,b] ≤ψetψ−ϕ≤2ε 0 8.4. Une fonction continueftelle quef(0) =frofinuetylopedem(1milist)enogie´momoˆnrtseiqtrs.ue Encadrerensuiteunefonctioncaract´eristiqueχ [a,b] par deux fonctions continues telles quef(0) =f(1). 5.reenscef ´ eR ´ [CL1] Chambert-Loir, Fermigier et Maillot,Analyse 1, exercices, Dunod. [Ci] Ciarlet,num´lyseuemaeriqeillrtcilao’ee`tntIoitcudorana’la`noinsitatpmi, Dunod. [C] Combes,Suitseire´stese, PUF. [FGN1] Francinou, Gianella, Nicolas,esdemathExercicysale1ENX-AnS.O.sexuarame´uqit, Cassini. [FGN2] Francinou, Gianella, Nicolas,yles2s.OrauxX-ENS.Ana´htamedseuqitamececierEx, Cassini. [G] Gourdon,tneseteˆanA.esylesLthma, Ellipses. [H] HauchecornetronscLeamhtsenemelp-exeestiqu´ema, Ellipses. [K]Ko¨rner,Fourier Analysis, Cambridge. [LT]Lascaux-The´odor,Anumenysalemquri´eleicirtaqilppael`al’u´eeel’iartdinuegne´em.2.roT, Dunod. [L] Leichtnam,rexEecicrocsrig´esdemath´emaituqseop´ssea`’lalorscdecoonsdurloPecetyqinhteeu des ENS. Tome Analyse, Ellipses. [M] Merlin ,Methodix Analyse, Ellipses. [P] Pommellet,htamame´itagednoqutiesCouranyldsa’rge´esa,, Ellipses.