Simulations de variables aléatoires

Samy Tindel

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Simulations de variables aléatoires Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Simulations Nancy-Université 1 / 40

• loi exponentielle


• combinaisons linéaires de lois


• m1 - simulations nancy-université


• méthode de la réciproque méthode du rejet

Sujets

• Loi exponentielle

Informations

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• Langue: Français

Extrait

T.(ISamy1MS-CE)Ntaoimiluy-ncNanssierivUn

aléatoires

04/1ét

Samy Tindel

Master 1 - Nancy

Nancy-Université

Simulations de variables

umiS-1M)NsnoitalamSCNIE.(yT

Simulation de variables aléatoires continues Méthode de la réciproque Méthode du rejet

Plan

4

3

4/0

2

Introduction

Simulation de variables aléatoires discrètes

5

Combinaisons linéaires de lois

1

Lois particulières

-Uniancyité2vers

mySa(IT.)NCES-1Mlumioita

Simulation de variables aléatoires discrètes

2

reisnUvicn-ysnaN

5

Lois particulières

1

Introduction

Simulation de variables aléatoires continues Méthode de la réciproque Méthode du rejet

3

4

Combinaisons linéaires de lois

40

Plan

té3/

Exemple

Problème simple sans solution explicite: Une tâche informatique peut se représenter par des v. a. T j , avecj=1    5 etT j ∼ E(λ j )indépendantes T=min{T 1 +T 2 T 3 +T 4 +T 2 T 3 +T 5 } Dans ce cas,E[T]ne peut se calculer explicitement

Samy.TI(CE)N1M-SimulaitonsNancy-Université4/04

Exemple (2)

Calcul approché deE[T]: On prendNgrand (10 4 , 10 5 ) N≡nombre d’expériences indépendantes Expérience Numéroi: On simuleT 1 i     T 5 i de lois exponentielles i T i =min{T 1 i +T 2 i T 3 i +T 4 i +T 2 i T 3 +T 5 i } i AlorsE[T]' 1 N P N i=1 T

aSym.TI(CE)NM1-iSumalitnosNancy-Université5/40

Comment simuler une v.a.Xde loi donnée? Vitesse de convergence pour le calcul deE[X]? Application au calcul de R D f(x)dx

Questions générales

Remarque: On supposera que l’on sait simulerU([01]) ,→Fonctionrand

Questions:

Généralisation: Calcul approché de R D f(x)dxpourD⊂R d

ité6/40-UniversNsnoycnaumiSitalCNIE1-)MamS.(yT

SyTamnivecy-UsNantionumal-1iSNCM)(.EI

Simulation de variables aléatoires discrètes

Introduction

2

Lois particulières

1

5

Combinaisons linéaires de lois

4

3

Simulation de variables aléatoires continues Méthode de la réciproque Méthode du rejet

Plan

04/7étisr

Cadre général

Notations: SoitX≡ensemble des valeurs prises par une v.a.X On supposeX={x i ;i≤M}avecM≤ ∞ Loi deX:p={p i ;i≤M}avecp i =P(X=x i ) En général:X=NZN d Z d

Exemple: X∈XavecX={(13)(23)(45)} AlorsM=3 etx 1 = (13),x 2 = (23),x 3 = (45) On prendp 1 =12,p 2 =14,p 3 =14 Algorithme:à proposer

Samy.TI(CE)N1M-iSmulationsNancy-Université8/04

k g k = X p i =P(X∈ {x 1     x k }) i=1

Algorithme général On poseg 0 =0 et

Proposition Soit U∼ U([01]) Soient X et N définies par: N=1et X=x 1 si U<g 1 N= Xk et=x k si g k−1 ≤U<g k Alors

L(X) =p={p i ;i≤M}et

M E[N] = X k p k k=1

evsrU-in4/0ti9émuSitilasNoncyanmaS(.TyNCEI-1M)

g=p 1 ,k=1,U=Rand

0

k=k+1 g=g+p k

Algorithme (2)

X=x k

non

U<g

oui

isét014/y-UniverionsNanctalumiS-1M)NCEI(T.mySa

trationéDomsn

De plus

On a

P(X=x k )=P(g k−1 ≤U<g k ) = Z g k =p k du=g k −g k−1 g k−1

M E[N]= X kP(N=k) k=1 MM = X kP(X=x k )= X k p k k=1k=1

sNoncyanmuSitila1éti04/1inU-srevM)-1EINCTy(.Sma