UCBL Semestre d'automne Licence STS L3 Mathematiques Topologie

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• corrigé d'exercice

UCBL 2009/2010 - Semestre d'automne Licence STS, L3 Mathematiques, Topologie TD 1 : Correction d'exercices Exercice 3. On rappelle qu'un nombre decimal est un nombre reel pour lequel il existe un developpement decimal fini. (On peut aussi definir les nombres decimaux comme les nombres reels qui admettent exactement deux developpements decimaux, exemple : 0, 257 = 0, 256999 · · · .) 1. Montrer qu'un nombre reel est rationnel si et s. si il admet un developpement decimal periodique a partir d'un certain rang. Exemple: 6722475 = 0, 27151515 · · · Ici je ne ferai que le cas non traite en TD, a savoir qu'un nombre rationnel admet un developpement decimal periodique a partir d'un certain rang. Soit donc p/q un nombre rationnel. Quittes a translater ce nombre par un entier, on peut supposer que p/q ? [0, 1[ ou encore que p < q. De plus on peut supposer que p/q 6= 0. Ecrivons p q = ∑ k≥1 ak10?k, avec 0 ≤ ak ≤ 9. Remarquons que si a partir d'un certain rang, les ak sont tous egaux a 0 ou tous egaux a 9 alors p/q est un nombre decimal et son developpement est evidemment periodique a partir du rang en question. On peut donc sans perte de generalite supposer que l'on n'est pas dans ce cas.

• rang en question


• unk ?


• entier


• question precedente


• semestre d'automne licence


• k≥1 ak10?k

Sujets

• Entier relatif

Informations

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• Langue: Français

Extrait

UCBL 2009/2010  Semestre d’automne LicenceSTS,L3Mathe´matiques,Topologie

TD 1 :Correction d’exercices

Exercice 3.nuonbmericameltsrlequelir´eelpoue´dnolevixeluetsempptenelppraOnnnu’uqele´derbmo d´ecimalfini.(Onpeutaussid´efinirlesnombresde´cimauxcommelesnombresre´elsquiadmettent exactementdeuxde´veloppementsd´ecimaux,exemple:0,257 = 0,256999∙ ∙ ∙.) 1.Montrerqu’unnombrer´eelestrationnelsiets.siiladmetund´eveloppementde´cimalpe´riodique 672 `apartird’uncertainrang.Exemple:=0,27151515∙ ∙ ∙ 2475 Icijeneferaiquelecasnontrait´eenTD,a`savoirqu’unnombrerationneladmetunde´veloppement de´cimalpe´riodique`apartird’uncertainrang. Soit doncp/qtrbpenemoetcrsnalnpeuer,oentiarununmbnorareonti.lentiuQ`setarta ´ supposer quep/q∈[0,1[ ou encore quep < q. Deplus on peut supposer quep/q6= 0.Ecrivons X p −k =a k 10,avec 0≤a k ≤9. q k≥1 Remarquonsquesia`partird’uncertainrang,lesa k otsuostnxua`e´agrolasut0os´ouauega9x` p/qgrunardtiarape`qudiiore´ptnemmedive´t´dvelepoepemtnsebred´ecimaletsonutsemonn enquestion.Onpeutdoncsanspertedege´ne´ralit´esupposerquel’onn’estpasdanscecas. Pour tout entierm≥eutconsi1,onpidivisno´drerealesnnvauicleuieid:etn m 10p=qn+r. Dans une telle division, on a :r∈ {0, . . . , q−1}, i.e.rne peut prendre qu’un nombre fini de ′ ′ valeurs. Ainsiil existe des entiersm, m , n, n≥1 et un entier 0≤r < qtels que ′ m m+m′ 10p=nq+ret 10p= (n+n)q+r. Onsoustraitcesdeux´egalite´setonobtient: ′ m+m m′ (10−10 )p=n q puis ′ p m+m m′ (10−10 )=n∈N. q Enutilisantl’´ecritured´ecimaldep/q, on obtient la suite de relations suivantes X X ′ ′m+m−k m−k N∋n= 10a k 10−10a k 10 k≥1k≥1 X X ′ m+m−k m−k =a k 10−a k 10 ′ k≥m+m+1 k≥m+1 X X −k−k =a m+m+k 10−a m+k 10. ′ k≥1k≥1 Ceciestladiffe´rencededeuxnombrescomprisstrictemententre0et1.Cettediff´erenceest entie`recequiimpliquequecesnombressonte´gaux.Rappelonsquenousavonssuppose´que

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