Universite d'Orleans Master Recherche de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Recherche de Mathematiques 2011-12 1 TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrige des exercices du chapitre 10 – Diffusions Exercice 10.1 On considere la diffusion definie par l'equation dXt = ?Xt dt+ dBt (processus d'Ornstein–Uhlenbeck). 1. Donner le generateur L associe et son adjoint L?. L = ?x ∂ ∂x + 1 2 ∂2 ∂x2 , L?? = ∂ ∂x ( x? ) + 1 2 ∂2? ∂x2 . 2. Soit ?(x) = pi?1/2 e?x 2 . Calculer L??(x). Que peut-on en conclure? On trouve L?? = 0. Par consequent, ?(x) est une solution stationnaire de l'equation de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck) ∂tu = L?u, ce qui signifie que c'est une mesure invariante du systeme : Si X0 suit la loi ?, alors Xt suit la meme loi pour tout t > 0. Remarquons que ? est la densite d'une variable aleatoire normale, centree, de variance 1/2. Nous avons deja obtenu dans l'exercice 8.1, que ? est la loi asymptotique de la solution de la meme EDS avec X0 = 0. En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi de Xt tend vers la distribution stationnaire ?.

• ?? ? ?


• processus d'ornstein–uhlenbeck


• diffusion definie par l'equation


• vitesse de croissance de la variance du processus


• loi asymptotique de la solution de la meme eds avec x0


• solution generale


• variance


• xt ?


• loi de xt

Sujets

• Okane ga nai
• Modèle OUV
• Variance

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Nombre de lectures: 53
• Langue: Français

Extrait

Universit´ed’Orl´eans–Master2RecherchedeMathe´matiques2011-12

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TD Master 2 – Martingales et calcul stochastique Corrig´edesexercicesduchapitre10–Diffusions Exercice 10.1 Onconside`reladiffusionde´finieparl’e´quation dX t =−X t dt+ dB t (processus d’Ornstein–Uhlenbeck). ∗ 1.leenegr´rnan´DeourteL´icosteedanoniojtssaL. 2 2   ∂1∂ ∂1∂ ρ ∗ L=−x+ρ, L=xρ+. 2 2 ∂x2∂x ∂x2∂x 2 −1/2−x∗ 2.Soitρ(x) =πe. CalculerL ρ(x). Quepeut-on en conclure? ∗ On trouveL ρueeq,ntrcPas´on.0=ρ(xnoitauqe´’nairedelnstationselotuoie)tsnu ∗ de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck)∂ t u=L u, ce qui signifie que c’est unemesureinvariantedusyste`me:SiX 0 suit la loiρ, alorsX t suitlamˆemelioopru toutt >0. Remarquons queρecnairaved,ioere´taellairbar´eecentale,normtlesneda´tisu’deaven 1/N.2ob`aejd´nsvosaou’lxereicetunadsnece8.1,quρest la loi asymptotique de lasolutiondelamˆemeEDSavecX 0 = 0.En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi deX t tend vers la distribution stationnaireρ. Exercice 10.2 Onconside`reladiffusionde´finieparl’´equation dX t =X t dB t . 1.´en´rlegonneDtarerueLossae´ic. 2 1∂ 2 L=x . 2 2∂x 2.ledel’´eqgu´aetni´oenraosulitnoorvurealTLu= 0. 00 On aLu= 0 siu(x=),0odontieng´lantlusotare´seelu(x) =c 1 x+c 2 . x 3.duirnd´eEeP{τ a < τ b }u`o,τ a depsemetelotend´edegassapreimerpX t ena. x Indication: Ils’agit de calculerE(ψ(X τ ))u`o,τerosime`edtreistetelesdmpreep [a, b], etψ(a) = 1,ψ(b) = 0. x On sait queu(x) =P{τ a < τ b }eobpreml`stoisltudueon   Lu(xpour) = 0x∈[a, b] ,  u(a) = 1,   u(b) = 0. Ensubstituantlasolutionge´ne´raledanslesconditionsauxbords,onpeutd´eterminer lesconstantesd’inte´grationc 1 etc 2 tiond,o’u`alosul b−x x P{τ a < τ b }=. b−a