Universite de NICE Master Enseignement de mathematiques

Antoine Douai

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite de NICE Master 1 Enseignement de mathematiques 2011-2012 UE2 : notes de cours sur les series numeriques Antoine Douai 1er fevrier 2012 1 Les series numeriques Dans au moins une des deux epreuves du CAPES (voire meme les deux) il y a souvent des series numeriques : je vous renvoie, par exemple, aux premieres (et secondes !) epreuves 2006, 2007, 2008 et 2009. Les questions sont toujours plus ou moins les memes, avec un accent prononce pour les comparaisons series/integrales : en general, pour y repondre, il suffit d'avoir compris ce que signifie “ ∑ un est convergente”. Un bon moyen pour en etre sur : redemontrez tous les resultats des notes qui suivent. Une lec¸on (premiere epreuve orale) s'intitule “Series numeriques” 1.1 Definitions generales. Soit (un)n?N une suite d'elements de K = R ou C. On cherche a donner un sens a “la somme infinie” ∑ n?N un. Il est naturel de poser Sn = u0 + · · ·+ un et d'etudier la limite de la suite (Sn). Definition 1.1 1. On dit que la serie de terme general un est convergente si la suite (Sn) est convergente. Dans ce cas la limite S = limn?∞ Sn est appelee somme de la serie, aussi notee∑∞ n=0 un.

• critere de cauchy


• combinaison lineaire de series convergentes


• corollaire tres utile


• serie


• criteres de convergence


• majoration du reste donnee


• serie convergente

Sujets

• Critère de Cauchy
• Critères de convergence
• Série convergente

Informations

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Extrait

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Universit´edeNICE Master1Enseignementdemath´ematiques2011-2012 UE2:notesdecourssurless´eriesnume´riques

Lesse´riesnum´eriques

Antoine Douai

er 1fe´vrier2012

Dansaumoinsunedesdeuxe´preuvesduCAPES(voiremeˆmelesdeux)ilyasouventdess´eries nume´riques:jevousrenvoie,parexemple,auxpremie`res(etsecondes!)´epreuves2006,2007,2008 et2009.Lesquestionssonttoujoursplusoumoinslesmˆemes,avecunaccentprononce´pourles comparaisonsse´ries/integrales:enge´ne´ral,pouryr´epondre,ilsuffitd’avoircompriscequesignifie P “u n ´esrleussdatltsusetonseunrmeonyeUnnpbooetseˆ”u.ˆregtern´ndomeev:sreecrtzeotnort quisuivent.Unele¸con(premi`ere´epreuveorale)s’intitule“S´eriesnume´riques”

1.1D´efinitionsg´ene´rales. Soit (u n ) n∈N ’detiusenudetseneml´´eK=RouCemmocreha`odO.cnehns`a“lasnnerunse P infinie”u n . Il est naturel de poser n∈N

etd’e´tudierlalimitedelasuite(S n ).

S n =u 0 +∙ ∙ ∙+u n

De ´ finition1.11. On dit que ladeirrete´geme´neral´esu n estconvergentesi la suite(S n )est convergente. Dans ce cas la limiteS= lim n→∞ S n atppseeel´esommelas´deonisee´teiresua, P ∞ u n . Le nombreS n lee´seatppsomme partielle de rangnet la suite(S n ) suite des sommes n=0 partielless´laieerde´ne´lareetedgemru n . 2.Silas´eriedetermege´ne´ralu n converge, on appelle, pour toutn∈N,reste d’ordrenle nombre R n d´efinipar R n =S−S n . P +∞ On a aussiR n =u k . k=n+1 3.Unese´riequin’estpasconvergenteestdivergente. P Notation 1.2itcr´eOnu n gemr´ne´eireetede“uds´laaieuleralu n ”. P Deuxquestionsseposent`aproposdeu n :

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