Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 08-09 semestre 1 1 Applications lineaires 1.1 Definitions et operations sur les applications lineaires Dans cette section K designera un corps et E et F deux K-espaces vectoriels. Definition 1.1.1 Soit E et F deux K-espaces vectoriels, une application lineaire de E vers F est une appli- cation f : E ? F telle que : ? u , v ? E , ? ? ? K : f(u + v) = f(u) + f(v) et f(?u) = ?f(u) . Si f : E ? F est une application lineaire, on notera que pour tout u1, . . . , up ? E et ?1, . . . , ?p ? K : f(?1u1 + · · ·+ ?pup) = ?1f(u1) + · · ·+ ?pf(up) , que f(0E) = 0F et que pour tout u ? E et ? ? K : f(?u) = ?f(u) et f(??u) = ??f(u). Notation 1.1.2 On note LK(E,F ) l'ensemble des applications lineaires de E vers F et LK(E) l'ensemble des applications lineaires de E vers E. Un element de LK(E) est parfois appele endomorphisme de E.

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Sujets

• Application linéaire

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Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-Antipolis 08-09

L1-MPAlg ´ ebre semestre 1

1Applicationslin´eaires 1.1De´finitionsetop´erationssurlesapplicationsline´aires Dans cette sectionKproctesenginuard´esEetFdeuxK-espaces vectoriels. D´fi ition 1.1.1SoitEetFdeuxKedecaliontin´liireavsecapse-ppeauns,elritoecEversFest une appli-e n cationf:E→Ftelle que : ∀ vu ,∈E ,∀λ∈K:f(u+v) =f(u) +f(v) etf(λ u) =λf(u). Sif:E→Furpouttoretoeuqaerianno,citapalpnie´oilntuneesu 1 , . . . , u p ∈Eetλ 1 , . . . , λ p ∈K: f(λ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+λ p u p ) =λ 1 f(u 1 ) +∙ ∙ ∙+λ p f(u p ), quef(0 E ) = 0 F et que pour toutu∈Eetλ∈K:f(−u) =−f(u) etf(−λu) =−λf(u). Notation 1.1.2On noteL K (E, F)enl’edelbmesacilppastionslin´eairesdeEversFetL K (E)l’ensemble desapplicationsline´airesdeEversEe´´l.nUtdeemenL K (E)dnee´leppasiofrademeisphoromestpE. Exemples: Soit (a i,j ) 1≤i≤m,1≤j≤n ´le´nemelima’delunefdetsK.

a) L’applicationf:K n −→K m :rapeinfi´ed (x 1 , x 2 , . . . , x n )7−→(a 1,1 x 1 +∙ ∙ ∙+a 1,n x n , . . . , a m,1 x 1 +∙ ∙ ∙+a m,n x n ) estline´aire. b)D´esignonsparA∈ M(m, n,K)alamrtcil(are´ne´gemretedea i,j  :). L’application  x x 1 +∙ ∙ ∙+a 1,n x n  M(n,1,K)→−M(m,1,K) :X=   x . 1 n    −7→    y y . 1 m    =AX=    a a m 1 , , 1 1 x 1 +∙ ∙ . ∙+a m,n x n  

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estlin´eaire.

D’autresexemplesd’applicationsline´aires: C ∞ (R,R)C→− ∞ (R,R), f−→4f 00 −f 0 +f C ∞ (R,R)C→− ∞ (R,R), f7−→ R 1 0 f(t)dt . Eng´eome´trieplane,lesprojectionsoulessyme´triesdesvecteursd’unplanparrapport`aunedirection paralle`lementa`uneautresontdesapplicationsline´aire.

Soitp 1 , p 2 , p 3 les prix unitaires de trois produits, l’application : R 3 −→R,(x 1 , x 2 , x 3 )→7−p 1 x 1 +p 2 x 2 +p 3 x 3 estlin´eaire.Ellemode´liseleprixd’unpanierconstitu´edesquantit´esx 1 , x 2 , x 3 de ces trois produits.

Soitm 1 , m 2 , m 3 maeslmstaiotnedp3sssenp:licalt’iaopels,´eri R 3 −→R,(h 1 , h 2 , h 3 )−7→R,(h 1 , h 2 , h 3 )−→7g(m 1 h 1 +m 2 h 2 +m 3 h 3 ) estli´eaire.Ellemod´elisel’´energiepotentielledecestroispoints. n

Remarque 1.1.3SiFest un sous-espace vectoriel deE, l’inclusioni:F→E,x7→xliste´naeri.e Notation 1.1.4dentit´eL’iedEee,´tonId E est l’application :Id E :E→E , u7→Id E (u) =u. Cette applicationestlin´eaire. De´finition1.1.5SoitEunK-espace vectoriel etλ∈K. L’application h λ :λId E :E→E x7→−h λ (x) =λx estappele´ehomothe´tiederapportλilacaepptsnuC.e’e:eairlin´tionh λ ∈ L K (E).

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Onpourranoterqueleshomothe´tiesdel’espacevectorielEtendomorphismedeocmmtune`ttauoE: pour toutλ∈K, pour toutf∈ L K (E), nous avonsh λ ◦f=f◦h λ . Proposition 1.1.6SoitE, F, GtroisK Pour tout-espaces vectoriels.f∈ L K (E, F)etg∈ L K (F, G), l’applicationcompos´eeg◦f.eriaeetsil´n

Preuve :Soitu, v∈Eetλ∈Knastlisissvicuectlademenitio´efinednutEn.g◦fl,nilarae´´eitdef, puis de gltdae´nfitioidneeg◦f, on obtient : (g◦f)(u+v) =g(f(u+v)) =g(f(u) +f(v)) =g(f(u)) +g(f(v)) = (g◦f)(u) + (g◦f)(v) (g◦f)(λu) =g(f(λu)) =g(λ f(u)) =λ g(f(u))) =λ(g◦f)(u). Soitf 1 ∈ L K (E, F), f 2 ∈ L K (E, F), λ∈K. On notef 1 +f 2 etλf 1 , les applications : f 1 +f 2 :E−→F , u7→−(f 1 +f 2 )(u) =f 1 (u) +f 2 (u) λf 1 :E−→ uF ,−7→(λ f 1 )(u) =λ(f 1 (u)). Proposition 1.1.7Soitf 1 ∈ L K (E, F), f 2 ∈ L K (E, F), λ∈K applications. Lesf 1 +f 2 etλf 1 sontliseriae´n. Munisdecesope´rations,L K (E, F)est unK-espace vectoriel. Preuve :urnuldeelevecteetonuqaruetcnO.rees´leauisLaL K (E, F) est l’application 0 :E→F, qui associea`toutvecteurudeEle vecteur nul deF de l’application. L’opposeef∈ L K (E, F) est l’application ´ −f:E→Fpaiefin´edrf(u) =−f(u).

Proposition 1.1.8Soitf 1 , f 2 ∈ L K (E, F)etλ∈K. Soith∈ L K (E 0 , E)etl∈ L K (F, F 0 ): l◦(f 1 +f 2 ) =l◦f 1 +l◦f 2 ,(f 1 +f 2 )◦h=f 1 ◦h+f 2 ◦h . Soitf∈ L K (E, F), g∈ L K (F, G), λ∈K: g◦(λf) = (λg)◦f=λ(g◦f).

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Corollaire 1.1.9L’ensembleL K (E)ontiul,mpltiatice´poitar:snoiddaestmunidetroisranuoipniaercsla , composition. L’addition et la composition munissentL K (E)´ed’reitunuanutiiaer’dnaenestructud’unId E . Cetanneauestnoncommutatifd`esquedim K (E)>1. Sif∈ L K (E), on noteraf k =f◦f◦ ∙ ∙ ∙ ◦fe´esdoepmocalkfois l’applicationfem.pallreˆeem Proposition 1.1.10Sif∈ L K (E, F)qoeuetcejibtspa’l,eviioaticplprci´enrf −1 :F→Etslaein´eorsl:aire f −1 ∈ L K (F, E). On dit alors queFlin´eairorphisme.enutsmosie Preuve :Soitf∈ L K (E, F Rappelons) bijective. que cela signifie que pour toutv∈F, il existe un unique vecteur deEtel quef(u) =v.L’ataoinsteequroicplapl’itacilpppice´rnof −1 :F→Essocie`aunuqai vecteurv∈Fle seul vecteuru∈Etel quef(u) =v. Nous devons montrer quef −1 nie´selttoi.Sreai v, v 0 ∈Fetλ∈K. Notonsu=f −1 (v) etu 0 =f −1 (v 0 ). Commef(u+u 0 ) =f(u) +f(u 0 ) =v+v 0 , il vientu+u 0 =f −1 (v+v 0 ). Ainsi,f −1 (v+v 0 ) =f −1 (v) +f −1 (v 0 ˆmme.)eD,ef(λu) =λf(u) =λv. Ainsi, f −1 (λv) =λu=λf −1 (v montre que l’application). Celaf −1 estlin´eaire. Notation 1.1.11On noteGl K (E)⊂ L K (E)dene’lmorpsisoledesembrise´naeseilihmsEversE.Gl K (E) estungroupepourlaloidecomposition.Cegroupeestnoncommutatifde`squedim K (E)>1. Exemplesd’isomorphismeslin´eaires:Les applications : K n →−M(n,1;K),(x 1 , . . . , x n )→−7    x x . n 1    etK n M−→(1, n;K),(x 1 , . . . , x n )−7→(x 1 . . . x n ) sontdesisomorphismesli´eaires. n

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1.2Applicationlin´eaireetsous-espacesvectoriels D´efinition1.2.1(image et image inverse d’un sous-ensemble) Soitf:X→Yune application entre deux ensemblesXetY. SoitAun sous-ensemble deX, on appelle image deAparfle sous-ensemble deX: f(A) ={f(x)∈Ytels quex∈A}. SoitBun sous-ensemble deY, on appelle image inverse deBparfle sous-ensemble deY: f −1 (B) ={x∈Xtels quef(x)∈B}. On prendra garde que l’image inverse deBe´tonf −1 (Bˆemefinimsie´dtse)fn’est pas bijective, c’e t ` s a diremeˆmesil’applicationf −1 ’estpasd´efinie.n

Proposition 1.2.2Soitf:E→Fedxutnerilppaenueeirean´lionticaK-espaces vectoriels. 1) Pour tout sous-espace vectorielVdeE,f(V)est un sous-espace vectoriel deF. 2) Pour tout sous-espace vectorielWdeF,f −1 (W)est un sous-espace vectoriel deE. Preuve de 1) :L’ensemblef(V) est non vide, car 0 E ∈Vet doncf(0 E ) = 0 F ∈f(V).

Soity, y 0 ∈f(V) etλ∈K´efinPard.ednoitif(V), il existexetx 0 ∈Vtels quey=f(x) ety 0 =f(x 0 ). Onaalorsenutilisantlalin´earite´def: y+y 0 =f(x) +f(x 0 ) =f(x+x 0 ) etλy=λf(x) =f(λx). CommeVest un sous-espace vectoriel,x+x 0 etλxsont des vecteurs deVeettequesul´rnelI.y+y 0 etλy appartiennenta`f(V). Ainsi,f(V) est un sous-espace vectoriel deF.

Preuve de 2) :L’ensemblef −1 (W) est non vide, carf(0 E ) = 0 F ∈W 0. Ainsi, E ∈f −1 (W).

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