Universite de Nice Sophia Antipolis Laboratoire J A Dieudonne UMR

Sophia Antipolis

Description

Niveau: Supérieur
Universite de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire J.A. Dieudonne - UMR 6621 Memoire d'habilitation a diriger des recherches en mathematiques Sur la dynamique de NLS : regimes en onde longue et ondes progressives. presente par David Chiron et soutenue publiquement le 2 decembre 2011, apres avis de : Mme. Sylvie Benzoni-Gavage (Universite Lyon I) Mr. David Lannes (DMA, ENS Ulm) Mr. Peter Sternberg (Indiana University) et devant le jury compose de : Mr. Fabrice Bethuel (Universite Paris VI) Mr. Yann Brenier (Universite de Nice-Sophia Antipolis) Mr. Boris Buffoni (EPFL, Lausanne) Mr. Patrick Gerard (Universite Paris-Sud Orsay XI) Mr. David Lannes (DMA, ENS Ulm) Mr. Gilles Lebeau (Universite de Nice-Sophia Antipolis) Mr. Jean-Claude Saut (Universite Paris-Sud Orsay XI) 1

• approximation du systeme de maxwell-bloch


• systeme d'interaction


• probleme de cauchy


• onde progressive


• questions ouvertes sur l'approximation de schrodinger pour les trains d'onde


• enveloppe du champ electrique


• lineaire

Sujets

• Lebeau
• Sternberg
• Bethuel
• Lannes
• Antipolis
• Chiron
• University
• Gerard

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 décembre 2011
• Nombre de lectures: 32

Extrait

Universit´edeNice-SophiaAntipolis LaboratoireJ.A.Dieudonne´-UMR6621

M´ired’habilitation`adirigerdesrecherches emo en mathematiques ´

Sur la dynamique de NLS : r´egimesenondelongueetondesprogressives.

pre´sentepar ´ David Chiron

etsoutenuepubliquementle2de´cembre2011,

apre`savisde: Mme. Sylvie Benzoni-Gavage Mr. David Lannes Mr. Peter Sternberg

etdevantlejurycompos´ede: Mr.FabriceB ´ ethuel Mr. Yann Brenier Mr. Boris Buffoni Mr.PatrickG ´ erard Mr. David Lannes Mr. Gilles Lebeau Mr. Jean-Claude Saut

1

(Universit´eLyonI) (DMA, ENS Ulm) (Indiana University)

(Universite´ParisVI) (Universite´deNice-SophiaAntipolis) (EPFL, Lausanne) (Universite´Paris-SudOrsayXI) (DMA, ENS Ulm) (Universite´deNice-SophiaAntipolis) (Universite´Paris-SudOrsayXI)

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Tabledesmatie`res 1Troisr´egimesenondeslonguespourl’´equationdeSchro¨dingernonlin´eaire7 1.1Re´gimeEuler...............................................8 1.1.1 L’approche de E. Grenier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2Lafonctionnelled’´energiemodulee...............................11 ´ 1.1.3Notreapproche:line´arisationautourd’unesolutionapproch´ee...............13 1.2R´egimeondelineaire...........................................16 ´ 1.3Re´gime(KdV)/(KP-I)..........................................18 1.3.1Lecasint´egrablede(GP)endimension1...........................20 1.3.2R´egime(KdV)dansl’espaced’´energie.............................21 1.3.3Re´gime(KdV)/(KP-I)dansdesnormesr´egulie`res......................23 1.4 Perspectives et travaux en cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Ondes progressives 29 2.1Re´sultatsd’existenceparminimisationsouscontrainte........................31 2.2 Limite transsonique en dimensions 2 et 3 (Γ6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1Caract´erisationsvariationnellesdes“groundstates”de(KP-I)...............36 2.2.2 Convergence vers un “ground state” de (KP-I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3Ondesprogressivespourunenonlin´earit´eg´en´eraleen1d.......................42 2.3.1 Etude d’exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2R´esultatsmathe´matiques....................................50 2.4 Perspectives et travaux en cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Interaction de trains d’ondes 61 3.1Lesyste`med’interactio`troisondes.................................61 n a 3.1.1Re´sultatsdestabilit´e/instabilite´parscatteringinversepourleproble`meline´aris´e.....63 3.1.2R´esultatsdestabilite´/instabilit´edansdesespacesdeSobolevpourleprobl`emelin´earise´.64 3.2Travailencours:l’approximationdeSchro¨dingerpourlestrainsd’ondes..............68 4 Perspectives de travail 71 4.1 Questions ouvertes sur la dynamique de (NLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2Questionsouvertessurl’approximationdeSchro¨dingerpourlestrainsd’onde...........75 3

Cadre et motivation pour les chapitres 1 et 2

Onconsid`erel’´equationdeSchr¨odingerNonLin´eairedansR d i ∂ ∂t  ΔΨ = Ψ Ψ + f(|Ψ| 2 )(NLS) ou`f:R + →Raeiril´nnenotsnuee´gtnemevitaleradrenpronl’ueeqt´uationintervient´nrela.eeCtt´eqesnaded tre`snombreuxmod`elesphysiques:danslath´eoriedeBose-Einsteinpourlescondensatsoulasuperfluidit´e(cf. [52],[82],[87],[95],[94]ainsiquelesarticlesderevue[145],[25],[1])oul’optiquenonline´aire(cf.[102], [103]), commeapproximationdusyste`medeMaxwell-Bloch.Pourl’optiquenonlin´eaire,Ψestl’enveloppeduchamp e´lectrique.Pourlescondensatsoulasuperfluidit´e,|Ψ| 2 t,eatnsdeonecudeoufldipuredeseis´tadenntel´eserepr le gradient de la phase est le champ de vitesse. Lanonlin´earit´efage´a`elpertesireupˆet-f(%) =±%usibucregnlpuo,euqondeuati¨odiSchrp´’qeuolr ge´n´eralementunefonctionpuissancef(%) =±% σ enndtssa,talsoe´hdeirocse.Danf(%) =%−1 donne lieu `alac´ele`bree´quationdeGross-Pitaevskii i ∂ ∂ Ψ t + ΔΨ = Ψ(|Ψ| 2 −1)(GP) maislemode`leavecf(%) =% 2 iutilis´estauss(eovri,e.g.,1[90tponE.)]lnoneuqireai´ein,f(%neet´rsealep)r re´ponsedumat´eriau`auneintensite´%csmolpqi´ueeuqleanonlin´earit´eKrerte,utpencdotrˆeluepf(%) =%(cf. [102]) : f(%) =α% ν +β% 2ν ouf(%) =α%  1 +γtanh  % 2 σ − 2 % 2 0  pourunmat´eriauavecdesr´eponsesqualitativementdiff´erentespour%petit ou%grand, ou encore f(%) =α  1− 1 1(+ % % 0 ) ν  ouf(%) = 1−exp  1 % − 0 %  pourunparam`etre% 0 >iqub-uenona´niliraece´tenm`no´ephdetempL.noitarutasedse0,lotnoctneileo’sruq quintique[11]estaussid’usagefr´equent,elles’e´crit f(%) =α 1 −α 3 %+α 5 % 2  avecα 1 ,α 3 etα 5 strictement positifs et tels quefev.sntposititrictemelee´sselicarrsende`euxdesspo Lorsquecesmode`lessontutilise´spourlacondensationoul’optiquenonline´aire,laconditiona`l’infini naturelle est |Ψ(t x)| →r 0 |x| →+∞ o`ur 0 >0 est tel quef(r 02 ) = 0. Le casr 0 est aussi important. Dans la suite, lorsque= 0 r 0 >0, on peut normaliserr 0 =1se´´neegnrerdnapsasecil.S´eitaleriiksveatiP-ssorGej`atr`ea´et´ed´,eattnad´stedu´ilans litt´eraturephysiquequemathe´matique,lesexemplesprece´dentssoulignentl’importancedeprendreencompte ´ une nonlinearitefnesnune)SLN(edeuiqamynaddlenirfinpucousbea´egern´onnonnulle`al’inla.eeCttcenoidit ´ ´ plus riche que lorsquer 0 0=cselettaelletnemsstetien`u,oesc’euneetpmldsannoy.mgaqiouvernelringquig Par opposition, lorsquer 0 >tnseneimuqydanmiseuisoue,qlongondelbistedeselisoptrsveegr´uvrodier0, envisage´sdanslepremierchapitre.Cesr´egimessevoientsurl’e´criturede(NLS)sousformed’unsyst`emehy- drodynamiquevialatransformationdeMadelung,c’est-a`-direl’e´crituredelafonctiond’ondeΨencoordonnees ´ polaires Ψ =Ae iφ esrdecemieLeprlb.eseismorpelcrEud’me`estsyduhecorpeme`tsysnuistientain.Onob regimesestler´egimeEulerouWKB,lesecondestler´egimeondeline´aire,etletroisie`melere´gimeKorteweg-de ´ Vries/Kadomtsev-Petviashvili.Silepremierapparaˆıtmeˆmesir 0 0,le=stnossertuaxuedsscaauesquifiecp´ d’nedonn´lle`al’infini.Enparticulier,lere´gimeondelin´eairemeten´evidencelavitessedusonqui u ee non nu joueraunroˆlepr´eponde´rant.Onpassed’unr´egimeausuivantenconsid´erantdesdonn´eespetites(enunsens quel’onpre´cisera)etentravaillantsurdestempspluslongs.L’autreaspectparticipanta`larichessedelady- namiquede(NLS)avecdonne´enonnulle`al’infiniconcernel’existenced’ondesprogressives.Cesontdesprofils localis´esenespace(ausenso`uleurmoduletendversr 0 euqs`ssleacio’nfisntiannet)es.tLdoere´lp¸aactna`ivet r 0 ypenaires(tontiLS(Nep)ns`os0=´’l,auqedeonesedontitasspfuas,errteˆ-tue’ondpasditaiesolne´gde,ear,lnee´ soliton).Enrevanche,ilestattenduque(NLS)avecdonneenonnulle`al’infiniposse`dedesondessolitairespour ´ 4