Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées Bât M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex

Charles Suquet

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

• cours - matière potentielle : i

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Initiation à la Statistique IS-Math314 Chapitres 1–4 Charles SUQUET Licence de Mathématiques L3 2009–2010

• vitesse de convergence dans le tlc


• loi discrète par rejet


• importance centrale des lois gaussiennes dans la théorie des probabilités


• lois gaussiennes


• convergence en loi


• loi de la variable aléatoire


• central vectoriel

Sujets

• Suquet

Informations

• Publié par: rasum
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• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Bât. M2, F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Initiation à la
Statistique
IS-Math314
Chapitres 1–4
Charles SUQUET
Licence de Mathématiques L3 2009–2010Table des matières
1 Théorème limite central 5
1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Normalité asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Sommes de variables aléatoires i.i.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Vitesse de convergence dans le TLC . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Intervalle de confiance pour une probabilité inconnue . . . . . . . 14
1.2.4 Généralisation du TLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Théorème limite central vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Espérance et covariance d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Vecteurs aléatoires gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 TLC vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Compléments sur la convergence en loi et le TLC . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Outillage pour la convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Démonstration du TLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Simulation de variables et vecteurs aléatoires 41
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Méthode théorique pour simuler une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3des particulières pour lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Lois discrètes à support fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Lois binomiales et multinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.3 Lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.4 Lois géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.5 Lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Algorithmes de rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1 Simulation de lois uniformes par rejet . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2 Sim de lois à densité par rejet . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.3 Simulation d’une loi discrète par rejet . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Simulation de vecteurs aléatoires par transformation . . . . . . . . . . . . 65
2.5.1 Loi uniforme par transformation affine . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5.2 Vecteur gaussien de covariance donnée . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
33 Échantillons et statistiques 75
3.1 Modélisation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Mesure empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1 Une loi construite à partir des observations . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.2 Convergence de la f.d.r. empirique vers la f.d.r. théorique . . . . . 83
3.2.3 Application au test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . 90
3.3 Moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.1 Moments observés et moments empiriques . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2 Espérance et variance des moments empiriques . . . . . . . . . . . 93
3.4 Lois des moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.1 Échantillon de grande taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4.2 Échantillon gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Estimation 105
4.1 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.3 Erreur quadratique moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.1 Exercice introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.2 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.3 Cas à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A Tables statistiques 121
A.1 Loi normale standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.2 Lois du khi2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.3 Lois de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.4 Test de Kolmogorov Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 Ch. Suquet, Cours I.S. 2010Chapitre 1
Théorème limite central
Le théorème limite central nous dit qu’une somme d’un grand nombre de variables
aléatoires indépendantes, de carré intégrable, convenablement normalisée, se comporte
asymptotiquement«enloi»commeunev.a.gaussienne.Ilexpliquel’importancecentrale
des lois gaussiennes dans la théorie des probabilités et la statistique. Il complète la loi des
grands nombres en donnant une sorte de vitesse de convergence, permettant notamment
de construire des « intervalles de confiance » pour l’estimation d’un paramètre.
Pour donner un sens mathématique précis à cette notion de «comportement asymp-
totique en loi », il nous faut d’abord introduire la convergence en loi.
1.1 Convergence en loi
Nous admettrons l’équivalence des deux définitions suivantes de la convergence en
loi.
Définition 1.1 (convergence en loi). Notons F et F les fonctions de répartition re-n
spectives des variables aléatoires réelles Y (n≥ 1) et Y. On dit que la suite (Y )n n n≥1
converge en loi vers Y si
∀x point de continuité de F, F (x)−−−−→F (x). (1.1)n
n→+∞
Rappelonsquexestpointdecontinuitédelaf.d.r.F sietseulementsiF (x−) =F (x)
ou encore P (Y =x) = 0.
Définition 1.2 (convergence en loi). On dit que la suite (Y ) de variables aléatoiresn n≥1
réelles converge en loi vers la variable aléatoire réelle Y si
∀h continue bornéeR→R, Eh(Y )−−−−→Eh(Y ). (1.2)n
n→+∞
Remarquons que si h est continue bornée, les h(Y ) et h(Y ) sont des v.a. bornées,n
donc intégrables. Nous noterons la convergence en loi de Y vers Y parn
loi
Y −−−−→Y.n
n→+∞
5Chapitre 1. Théorème limite central
La définition 1.1 est la plus concrète, surtout lorsque F est continue sur toutR, cas
souvent rencontré en pratique. En effet dans ce cas, la convergence en loi équivaut à
la convergence simple surR des fonctions de répartition et nous donne, pour tous réels
a < b, la convergence des P (Y ∈ I(a,b)) vers les P (Y ∈ I(a,b)), où I(a,b) désignen
n’importe lequel des 4 intervalles d’extrémités a et b.
La définition 1.2 est souvent plus commode pour établir les propriétés de la con-
vergence en loi et a l’intérêt d’une généralisation immédiate aux vecteurs aléatoires de
dR .
Définition 1.3 (convergence en loi de vecteurs aléatoires). On dit que la suite (Y )n n≥1
d dde vecteurs aléatoires deR converge en loi vers le vecteur aléatoire Y deR si
d∀h continue bornéeR →R, Eh(Y )−−−−→Eh(Y ). (1.3)n
n→+∞
Remarques 1.4 (les pièges de la convergence en loi). Pointons d’emblée des différences
importantes entre la convergence en loi et les autres modes de convergence vus jusqu’ici.
1. Il n’est pas nécessaire, pour la convergence en loi de Y vers Y, que ces variablesn
aléatoires soient définies sur le même (Ω,F,P).
2. Il n’y a pas unicité de la v.a. limite en loi. Si (Y ) converge en loi vers Y, ellen n≥1
converge aussi en loi vers n’importe quelle variable aléatoireZ ayant même loi que
Y (éventuellement définie sur un autre espace probabilisé). Ceci se voit facilement
1sur chacune des deux définitions de la convergence en loi . Réciproquement si
Y converge en loi vers Y et aussi vers Z, alors Y et Z ont même loi. En effetn
en utilisant la définition 1.2 et l’unicité de la limite d’une suite convergente de
réels, on voit que Eh(Y ) = Eh(Z) pour toute h :R→R continue bornée. Par la
caractérisation des lois par leurs h-moments, cf. cours d’I.P.É., on en déduit que
Y et Z ont même loi. En résumé, s’il n’y a pas unicité de la v.a. limite en loi, il y
2a unicité de sa loi, que l’on appelera loi limite .
3. La convergence en loi n’est pas compatible avec l’addition. Si X converge en loin
versX etsiY converge enloi versY, ilest fauxen généralqueX +Y converge enn n n
loi versX +Y. En effet si c’était le cas, commeX converge en loi vers n’importen
0 0quelX ayant même loi queX,X +Y devrait converger aussi en loi versX +Y.n n
0Le hic c’est que X +Y n’a pas forcément même loi que X +Y.
Après ces mises en garde, voyons un exemple assez typique où la con