Universite Joseph Fourier 1ere annee de Licence MAT128 Analyse elementaire 2eme semestre

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Joseph Fourier 1ere annee de Licence MAT128 Analyse elementaire 2eme semestre 2006/2007 Correction du Controle continu no 1 Methodologie : pour utiliser efficacement un corrige, il faut de maniere general avoir reflechi sur l'exercice avant. Ensuite, on lit le corrige et on cherche a le comprendre. On pourra refaire l'exercice immediatement apres lecture du corrige (et meme en s'aidant du corrige). Finalement il est imperatif de verifier que l'exercice est bien compris en le re- faisant sans aucune aide 3-4 jours apres avoir lu le corrige. Cela est aussi valable pour le TD : il faut refaire les exercices plusieurs jours apres y avoir reflechi ou vu le corrige pour la derniere fois afin de distinguer la reelle comprehension a long terme de la memorisation a court terme. Exercice 1 : • On pose f1(x) = ex3 ln(1 + x2). Cherchons le domaine de definition de f1. La fonction exponentielle ainsi que les fonctions polynomes sont definies et derivables de R dans R donc x 7? ex3 est definie et derivable de R dans R . La fonction x 7? 1 + x2 est definie et derivable de R dans [1, +∞[ et la fonction ln est definie et derivable de ]0, +∞[ dans R. Comme [1, +∞[?]0, +∞[, la fonction x 7? ln(1 + x2) est definie et derivable de R dans R.

• correction du controle continu


• exercice immediatement apres


• changement de variable donne


• unique ?


• methode par changement

Sujets

• Fourier

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Extrait

UniversiteJosephFourier MAT128Analyseelementaire

ere 1anneedeLicence eme 2semestre2006/2007

o CorrectionduContrˆolecontinun1

Methodologie :oprutucacementiliserei,euaflocnugirregerneemtdianrvaiorela reechisurl’exerciceavant.Ensuite,onlitlecorrigeetoncherchealecomprendre.On pourrarefairel’exerciceimmediatementapreslectureducorrige(etmeˆmeens’aidantdu corrige).Finalementilestfitpmiareexl’ciereriuerqdeveenlere-cnmorpsiecsebtei faisantsansaucuneaide3-4joursapresavoirlulecorrige.Celaestaussivalablepourle TD:ilfautrefairelesexercicesplusieursjoursapresyavoirreechiouvulecorrigepour ladernierefoisandedistinguerlareellecomprehensionalongtermedelamemorisation a court terme.

Exercice 1 : 3 x2 On posef 1 (x) =eln(1 +xdedeneodelniamioitendherchons).Cf 1 fonction. La exponentielleainsiquelesfonctionspolynˆomessontdeniesetderivablesdeRdansR 3 x2 doncx7→eedseedtnieetderivableRdansR. Lafonctionx7→1 +xedtseetien derivabledeRdans [1,+∞stdnlnectioafone[lte]ed0irelbavinedtee,+∞[ dansR. 2 Comme [1,+∞[]0,+∞[, la fonctionx7→ln(1 +xstdeni)eavlbdeeeedteirRdansR. Au total,f 1 rtoulesuivabdertneteeidtsedcnoRnaltiluqanppE.rieedsdleegres,noitav lecalculdesaderiveedonne:   3 3 2x 3 2x 02x2x x2 2 f(x) = 3x eln(1 +x) +e=e3xln(1 +x) +. 1 2 2 1 +x1 +x   Soitf 2 (x1) = cosxtsul.eLourtoitcnofadtsesocnetieneabiverdRet la fonctiony7→yedts[0eniesur,+∞elus]r0dreviba[et,+∞[. Ilfaut donc regarder quandxest tel que 1x∈[0,+∞[ et quandxest tel que 1x∈]0,+∞trouve[. On nalementquef 2 etsdeinseru] ∞,1]etderivable]rus ∞,pour tout1[. Puis,x <1,     1 sin1x 0 f(x) =sin 1x=. 2 2 1x2 1x Arcsin(2x+1) Soitf 3 (xe)s=incsArontincfo.aL[ruseinedt1,vablesur]etderi1]1,1[. x3 Il faut donc trouver les valeurs dexpour lesquelles 2x+ 1∈[1,1] et celles pour lesquelles 2x+ 1∈]1,1[. Ontrouve que la fonctionx7→Arcsin(2x[r+1)estdeniesu1,0] et derivablesur]1,0[. Orx3 ne s’annule pas sur [1,0] doncf 3 sesur[nietde1,0] etderivablesur]1,riensvo.D0[f 3 : 2 (x3)Arcsin(2x+ 1) 2 1(2x+1) 0 ∀x∈]1,0[, f(x) =. 3 2 (x3)