Universite Joseph Fourier L2 MAT231 mat231 feuille exos tex septembre

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Universite Joseph Fourier – L2 MAT231 – 2007-2008 2007-09-26-mat231_feuille_exos_03.tex (27 septembre 2007) Feuille d'exercices no 3 Exercice 3.1 Soient a, b deux entiers non nuls, premiers entre eux. 1. Calculer le pgcd des couples (a, ab + 1) et (a, ab + 2). 2. Si m,n ? N•, calculer le pgcd de an et bm. Exercice 3.2 Resoudre dans Z les trois equations suivantes. 1176u + 198 v = 3,(3.1) 1176u + 198 v = 6,(3.2) 1176u + 198 v = 12.(3.3) Exercice 3.3 Soient m ≥ n ? N•. Soit r le reste de la division euclidienne de m par n. 1. Comparer les pgcd pgcd(m,n) et pgcd(n, r). 2. Notons ∆ le pgcd de am ? 1 et de an ? 1. Montrer que ∆ divise ar ? 1. ( Indication : Pour x, y, z des entiers, montrer que xy+z ? 1 = xy(xz ? 1) + xy ? 1.) 3. Determiner ∆. Exercice 3.4 On se donne deux entiers naturels, a, b avec a > b.

• famille de polynomes de degres deg


• entier


• possibilites pour le couple


• pgcd


• a2 ?


• solution dans z


• couple

Sujets

• Fourier
• Entier relatif
• Couple

Informations

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Extrait

Universit´eJosephFourier–L2MAT231–2007-2008 2007-09-26-mat231_feuille_exos_03.tex (27 septembre 2007)

o Feuille d’exercices n3

Exercice 3.1Soienta, bdeux entiers non nuls, premiers entre eux. 1. Calculerlepgcddes couples(a, ab+ 1)et(a, ab+ 2). •n m 2. Sim, n∈N, calculer lepgcddeaetb.

Exercice 3.2adersn´eRudsoZse.lrtse´sioequationssuivant (3.1) 1176u+ 198v= 3, (3.2) 1176u+ 198v= 6, (3.3) 1176u+ 198v= 12.

• Exercice 3.3Soientm≥n∈N. Soitrle reste de la division euclidienne demparn. 1. Comparerlespgcdpgcd(m,n)etpgcd(n,r). m nr 2. NotonsΔlepgcddea−1et dea−1. Montrer queΔdivisea−1. (Indication : y+z yz y Pourx, y, zdes entiers, montrer quex−1 =x(x−1) +x−1.) 3.D´eterminerΔ.

Exercice 3.4On se donne deux entiers naturels,a, baveca > b. On poseδ:= pgcd(a,b) etµ:= ppcm(a,b). • 1. Pourn∈Nerinrmte´e,dδ, µpoura:= (n+ 1)(2n+ 1)etb:=n(2n+ 1)uqree´V.fiire  δ=a−b (1) µ(a+b) =δab

2.Re´ciproquement,onsupposequeaetberifiv´ent(1)reuqnortostni’sl.Mecn´saesemirten delaformedonne´edanslaquestionpre´ce´dente. 3. Montrerque siaetbre´vtenifi(1), alors

2 (2)a+b= (a−b).

4.Re´ciproquement,onsupposequeaetb´vifierten(2).Mtrontsoient´vrefiinereuqi’sl (1)up,lseodietruenautrecoeu’lno´dalitnoqs.raeretnemi