Université NICE SOPHIA ANTIPOLIS

Dieudonné Mémoire

Description

Niveau: Supérieur, Master

• mémoire

>>>>>>>>>>>>>>> Université NICE SOPHIA-ANTIPOLIS Laboratoire J. A. Dieudonné Mémoire Master 2 Les Complexes Parfaits 2007 / 2008 ... ?? C i?1 di?1 ?? C i di ?? C i+1 ?? ... >>>>>>>>>>>>>>> BENZEGHLI Brahim Encadré par Mr CARLOS SIMPSON >>>>>>>>>>>>>>> 16 septembre 2008

• espace de modules pour les complexes parfaits strictes


• di ??


• complexe universel


• unique morphisme d'anneauxa ? ??


• quasi-isomorphisme


• anneaux artiniennes


• ?? ci?1


• equivalence ?

Sujets

• Mémoire
• Ducros
• Carlos

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Publié le: 01 septembre 2008
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français

Extrait

> > > > > > > > > > > > > > > Université NICE SOPHIA-ANTIPOLIS Laboratoire J. A. Dieudonné Mémoire Master2

Les Complexes Parfaits

2007 / 2008

...−→C i−1 d − i− → 1 C i − d i →C i+1 −→...

> > > > > > > > > > > > > > > BENZEGHLI Brahim Encadré par Mr CARLOS SIMPSON > > > > > > > > > > > > > > >

16 septembre 2008

Remerciement

1

Je tiens à remercier dans un premier temps, Mr CARLOS SIMPSON pour son acceuil, son aide et ses conseils durant la préparation de cette mémoire.

Mr Antoine Ducros et Madame Janine Lachkar pour leurs acceuil dans le laboratoire J.Dieudonnée.

Je remercie également Mes ami(e)s Toufik et sa femme Wassila, Dominique, Ansarollah, Hazar qui m’ont soutenus morallement jusqu’à la fin de ce travail.

J’oublirai jamais le soutien de mes parents, mes frères et soueurs surtout Siham et Hamza, ma femme Yasmina et ma petite fille Wissal qui j’ai pas encore rencontré .

Table des matières

1 Notions de la Géométrie Algébrique 1.1 Les Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Produits et Coproduits (Somme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Les Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Les Schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Spectre d’anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Variétés Algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ensembles Algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ensembles algébriques projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Les Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Lissité Formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 LesComplexes Parfaits 2.1 Les Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Morphismes, Isomorphismes de complexes . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Suite de Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les complexes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Le(∞,1)-champs des complexes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Lissité artinien deV→Perf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

5 5 8 9 9 9 11 11 11 13 13 17 20 20 22 23 28 35 36

Introduction

Un complexe deA-modules(C i , d)est une suite de modules et de morphismes(C i , d i ) ...−→C i−1 d − i− → 1 C i − d i →C i+1 −→... lesd i sont des applicationsA-linéaires vérifiant, pour touti∈Z i−1 d i ◦d= 0 Un tel complexe est dit strictement parfait s’il est de longueur fini et si lesA-modules C i sont libres du rangs finis. Si on munit lesC i par desA-bases{β s i 1 , ..., β i s n }, on dit que cette complexe est stricte- ment parfait rigidifié et on le note par(C i , d, β i s 1 , ..., β i s n ) Dans ce mémoire on va travailler sur un corps algébriquement clos de caractéristique nul,(carK= 0). On construit unK-algèbreApar le morphisme γ:K[X . .. ]→A=K[X . .. ]/I X l ,.. −1 7→˙γ(X .., l−1 )∈ M r l ,r l−1 (A) de sorte que : γ(X .., l ).γ(X .,. l−1 ) = 0. Le schéma affineV=V(I) :=Spec(A)fournira un espace de modules pour les complexes parfaits strictes rigidifiés. Il y a un complexe universel strictement parfait et rigidifié de A-modulesC V . On considèreBunK-algèbre. Pour tout complexe strictement parfait rigidifiéCdes B-modules, 0sii <0oui > n C i =  B r i B-modules libres de rangr i si0≤i≤n, on montre l’existence d’un unique morphisme d’anneauxA− ϕ →B( autrement dit :(Spec(B))→ V)et un unique isomorphisme de complexes q: C ∼ = C V ⊗ A B 3