Universite Pierre et Marie Curie

Marie Curie

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite Pierre et Marie Curie. LM120, 2006-2007. Corrige de l'examen de janvier 2007 Question de cours. a) Le rang d'une application lineaire est la dimension de son image. b) Si (b1, . . . , bn) est une base de E1, l'image de f : E1 ? E2 est engendre par (f(e1), . . . , f(en)), donc dim(im(f)) ≤ n = dim(E1). Exercice 1. Notons A = (e1, e2, e3) = ? ? 1 1 1 1 1 b 1 a a ? ?. a) Mettons A sous forme triangulaire, par la methode du pivot de Gauss : l?2 = l2 ? l1, l?3 = l3 ? l1, alors A? = ? ? 1 1 1 0 0 b? 1 0 a? 1 a? 1 ? ? l2” = l?3, l3” = l?2 alors A” = ? ? 1 1 1 0 a? 1 a? 1 0 0 b? 1 ? ?. On deduit que la famille (e1, e2, e3) est une base si et seulement si a 6= 1 et b 6= 1. b) dim(E) = rg(A”) est egal a 1 si a = b = 1, 2 si (a = 1 et b 6= 1) ou (a 6= 1 et b = 1)

• l2 ?


• matrice de l'application ei


• methode du pivot de gauss


• e1 e2

Sujets

• Élimination de Gauss-Jordan

Informations

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Extrait

Universit´ePierreetMarieCurie.

LM120, 20062007.

Corrige´del’examendejanvier2007

Question de cours. a)Lerangd’uneapplicationline´aireestladimensiondesonimage. b) Si (b 1 , b, . . . n ) est une base deE 1 , l’image def:E 1 →E 2 nerdetgnrse´epa (f(e 1 ), f, . . .(e n )), doncdim(im(f))≤n=dim(E 1 ).   1 1 1   Exercice 1.NotonsA= (e 1 , e 2 , e 3 1 1) =b. 1a a a) MettonsAedohte´mdtovipudaiulngialaar,presuofsroemrtss:eGau   1 11 0 00   l=l−l l,alorsA= 00b−1 2 21 , l 3 =l 3 − 1 0a−1a−1   1 11   0 0 l ,” =lalorsA0” =a−1a−1 . 2 ” =l 3 l 3 2 0 0b−1 Onde´duitquelafamille(e 1 , e 2 , e 3 ) est une base si et seulement sia6= 1 et b6= 1. b)dim(E) =rg(Atse´”e)aag`l 1 sia=b= 1, 2 si (a= 1 etb6= 1) ou (a6= 1 etb= 1), 3 sia6= 1 etb6= 1.   x   c) Sia=b= 1, alorsE=V ect(e 1 ) doncy∈Esi et seulement si il existe z   x   t∈Rtel quey=te 1 tuaviuqe´iuqec,`a z x=y=z. Sia= 1 etb6= 1, le calcule de la question (a) montre que (e 1 , e 3 ) est une   x   base deE. Doncy∈Esi et seulement si il existes, t∈Rtels que z    x s+t    (∗)y=se 1 +te 3 =s+bt. z s+at

1

Typeset byA ST X ME

2 bx−y x−y L’e´quation(∗) impliques= ett= . b−1 1−b   x   Doncy∈Esi et seulement si z (b−a)x+(a−1)y x=x, y=y, z= b−1 c’est`adire (b−a)x+ (a−1)y+ (1−b)z= 0. Sia6= 1 etb= 1, alors (e 1 , e 3 ) est encore une base et (b−a)x+(a−1)y+(1−b)z= 0estencoreune´equationdeE. Exercice 2.   0−1 0   a) La matrice deTdans la base (e 1 , e 2 , e 3 ) estA.= 0 1 0 1 1 1 b) (T(e 1 ), T(e 2 )) est une base deim(T), doncdim(im(T)) = 2 et par la formule du rang,dim(Ker(T)) = 3−2 = 1.   1 1−1   c) SoitP= 0−la matrice de l’application1 1e i 7→f i dans la base −1 01 (e 1 , e 2 , e 3 ). Uncalcul direct montre quedet(P)6= 0, donc quePest inversible 3 et que (f 1 , f 2 , f 3 ) est une base deRnoitseuqaledussiulea´ecoeladiacsm; suiventequiconsiste`atrouverl’inversedeP. d)Onveutr´esoudreenlese i vaui:ntt`ysesemsel    e 1 f 1    P e 2 =f 2 . e 3 f 3 Lame´thodedegaussconduitauxsyst`emese´quivalentssuivants:        1 0−1e 1 f 1 1 0 0e 1 f 1 +f 2 +f 3        0 1−1e 2 =f 1 −f 2 ,0 0 1e 2 =f 2 +f 3 . 0 10e 3 f 1 +f 3 0 1 0e 3 f 1 +f 3 e) La matricePe`seeD.a’rpitearoduinttamaecir)c(ultseemedd´anpadeagss laquestionpre´c´edente,   1 1 0 −1   P= 10 1 . 1 1 1 −1 f) On pourrait calculerBpar la formuleB=P APenU.ethodem´eautr consiste`afaire: T(f 1 ) =T(e 1 )−T(e 3 ) = 0,

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T(f 2 ) =T(e 1 )−T(e 2 ) =e 1 −e 2 =f 2 , T(f 3 ) =−T(e 1 ) +T(e 2 ) +T(e 3 ) =T(e 2 ) =−e 1 +e 2 +e 3 =f 3 . Par suite   0 0 0   B1 0 .= 0 0 0 1 Exercice 3. a) (e 1 , e 2 ) est libre doncdim(E) = 2. b)det(A) =−3x+ 6y−3z. c) Le vecteurv= (x, y, z)∈Esi et seulement si la famille (v, e 1 , e 2 tsile)e´,e c’est :‘a diredet(A) = 0, i.e.x−2y+z= 0.