Wikipédia Le mot topologie vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signifient

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Topologie Elémentaire Licence de Mathématiques Université Lyon 1 Drago? Iftimie Wikipédia : Le mot topologie vient de la contraction des noms grecs topos et logos qui signifient respectivement lieu et étude . Littéralement, la topologie signifie l' étude du lieu . Elle s'intéresse donc à définir ce qu'est un lieu (appelé aussi espace ) et quelles peuvent en être les propriétés. 1

• espace métrique


• exemples d'espaces normés


• dessus sur les inclusions des boules


• applications ?


• point fixe des applications contractantes


• boule fermée


• inclusion

Sujets

• Université de Lyon
• Espace métrique
• Boule fermée
• Inclusión

Informations

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Extrait

Fonctions

Table des matières

réelles

:

limites

et

continuité

1. De quoi aborder les fonctions réelles 1.1. A propos des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A propos des réels : une histoire de voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Un problème d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les fonctions réelles poussées à leurs limites 2.1. Définition topologique et métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Définition séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Limite à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Limites et encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2 3

4 4 5 5 5 5

3. Continuité des fonctions réelles 7 3.1. Continuité en un point, continuité sur une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.1. Continuité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.1.2. Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2. Quand la fonction n’est pas continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3. Stabilité de la continuité par les opérations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4. Informations capitales sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Entraînement 9 4.1. Echauffements préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2. Premiers flirts avec les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.3. Les joies de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Comparaison de fonctions 10 5.1. Fonction dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.2. Fonction négligeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.3. Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.1. Définitions et utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.3.2. Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.4. Décryptage de certains cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.5. Les grands classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

A.

Continuité

uniforme

1

12