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TheProjectGutenbergEBookofU¨berIntegralinvariantenund
Differentialgleichungen,bySophusLie

ThiseBookisfortheuseofanyoneanywhereatnocostandwith
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re-useitunderthetermsoftheProjectGutenbergLicenseincluded
withthiseBookoronlineatwww.gutenberg.org

Title:U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen

Author:SophusLie

ReleaseDate:April24,2008[EBook#25157]

Language:German

Charactersetencoding:ISO-8859-1

***TSRATFOHTSIRPJOCETUGETBNREGBEOOKNIETRGLANIAVIRNAETNNUDIDFFRENEITLALGIEHCNUEGN***

U¨berIntegralinvarianten

dnuDifferentialgleichungen

vno

SophusLie

VidenskabsselskabetsSkrifter.1.Mathematisk-naturv.Klasse1902.No.1

UdgivetforFridtjofNansensFond

Christiania
InKommissionbeiJacobDybwad
A.W.BrøggersBuchdruckerei
2091

ProducedbyK.F.Greiner,RalfStephan,JoshuaHutchinsonandthe
OnlineDistributedProofreadingTeamathttp://www.pgdp.net(Thisfile
wasproducedfromimagesgenerouslymadeavailablebyCornellUniversity
DigitalCollections)

AnmerkungenzurTranskription
DieinkonsistenteSchreibweisemehrererWo¨rterimOriginalwurdeunvera¨ndert
u¨bernommen.VomVerlagnachtra¨glichangegebene

Berichtigungen

wurdenin
denTexteingearbeitetundmiteinemPluszeichenalsAnmerkungmarkiert.

FremlagtiVid.Selsk.math.naturv.Kl.den27deSeptbr.1901.

Vorwort.
DieGesellschaftderWissenschaftenhatunsmitdemAuftragbeehrt,Pro-
fessorSophusLieshinterlasseneManuscriptedurchzusehen,dasich
daruntermo¨glicherweiseAbhandlungenbefindenkonnten,diesichzurBear-
beitungoderVero¨ffentlichungeigneten.
VondensehrzahlreichenhinterlassenenManuscripten,derenVerzeichniss
spa¨tervero¨ffentlichtwerdensoll,sindnurwenigesoweitausgearbeitet,dass
sieohneweiteresgedrucktwerdenko¨nnten.
DagegenfindensichzahlreicheEntwu¨rfemitskizzirtenArbeitenundhin-
geworfenenIdeen,diebeieingehendererBearbeitungwohlinteressanteRe-
sultateliefernko¨nnen.
WirpublicierenhiermitdieerstedernachgelassenenAbhandlungen:
U¨ber
IntegralinvariantenundDifferentialgleichungen
.DiesebildeteineFortset-
zungzweierfru¨hererAbhandlungenu¨berIntegralinvarianten,dieindenBe-
richtenderkgl.Sa¨ch.GesellschaftderWiss.zuLeipzig1897publicirtsind,
undwarvonLieurspru¨nglich,wieauseinerAufschriftaufdemManuscript
hervorgeht,bestimmt,ebendazuerscheinen.
DieAbhandlungistimGrossenundGanzenziemlichinsReinegeschrie-
benundhierunddasindCorrecturenu¨bergeklebt.Daherdu¨rftesievonLie
bereitsfu¨rdenDruckbestimmtgewesensein.Zwarfehltderangeku¨ndigte
zweiteTheil(sieheS.6,Note7)unddieEinleitungscheintnochnicht
endgu¨ltigredigiertgewesenzusein;aberdieAbhandlungbildettrotzdemein
soabgeschlossenesGanzes,dasswirkeinBedenkentragensiezuvero¨ffent-
lichen.
WirhabendasStudiumdieserAbhandlungdurchAnmerkungenansol-
chenStellenzuerleichterngesucht,woeinCitatodereineErla¨uterungwu¨n-
schenswerthscheinenkonnte.HierunddahabenwirauchkleinereSchreib-
oderRechenfehlerrichtiggestellt,woraufwirstetsinAnmerkungenaufmerk-
sammachen.
WirsprechenhiermitHr.ProfessorH.GoldschmidtinChristianiaund
Hr.ProfessorFriedrichEngelinLeipzigunserenbestenDankfu¨rihre
Mithu¨lfebeimCorrecturenlesenaus.DemLetztgenanntenverdankenwir
auchmehrerewerthvolleAufkla¨rungenu¨bergewissePunkteinderEinlei-
.gnut

AlfGuldberg.

CarlStørmer.

U¨berIntegralinvariantenundDifferentialgleichungen

.
novSophusLie.
InzweiAbhandlungen,dieindenLeipzigerBerichten

erschienensind,
habeichwichtigeBeitr¨agezuderschonfru¨hervonmirgestreiftenallge-
meinenTheoriederIntegralinvariantengeliefert.IndererstenArbeit,die
zuna¨chstdemallgemeinenBegriffederIntegralinvariantenunddemZusam-
menhangdiesesBegriffesmitmeinerTheoriedercontinuierlichenGruppen
undderDifferentialinvariantengewidmetwar,sahichmichdazuveranlasst,
dasAbha¨ngigkeitsverha¨ltnisszubetonen,indemdieArbeitenandererMa-
thematikeru¨berdiesenGegenstandzumeinena¨lterenArbeitenstehen.In
derzweitenAbhandlungbescha¨ftigteichmichmitder
Verwerthungbekann-
terIntegralinvariantenfu¨rdieIntegrationvorgelegterDifferentialgleichungen
undinsbesonderefu¨rdieReductioneinergegebenencontinuirlichenGruppe
aufihreNormalform.
IndieserdrittenAbhandlungbescha¨ftigeichmichwiederummitderBe-
deutungderIntegralinvariantenfu¨rdieallgemeineTheoriederDifferential-
gleichungen,undzwarzerfa¨lltdieseArbeitinmehrereAbschnitte
1
),indenen
einlehrreiches
Beispiel
vonsehrallgemeinemCharakterimEinzelnendurch-
gefu¨hrtwird;gelegentlichgebeichauchtheoretischeEntwicklungen,welche
die
allgemeineTheorie
derIntegralinvariantenfo¨rdernsollen.
DerZweckdieserUntersuchungenisteigentlicheindoppelter.Einerseits
bietetdieTheoriederIntegralinvariantenansicheinsogrossesInteresse,
dasseineausfu¨hrlicheDarstellungdieserLehrealszweckma¨ssig,janotwen-
digbetrachtetwerdenmuss.Anderseitsistwohlzubeachten,dassdieTheorie
derIntegralinvariantenimho¨chstenMassedazugeeignetist,besonderslehr-
reicheIllustrationenzumeinenallgemeinenIntegrationstheorienzuliefern.
SeitdemAnfangedersiebzigerJahrenhabeicheineReihefundamentaler
Integrationstheorienentwickelt,indenenausgedehnteCategorienvonDif-
ferentialgleichungendurchrationellegruppentheoretischeMethodenerledigt
werden,diemit
Lagrange’s
,
Abel’s
und
Galois’
Behandlungderalgebraischen
GleichungendurchgreifendeAnalogiendarbieten.
Diesemeineallgemeinen
Untersuchungen,indenenvielespecielleResultatemeinerNachfolgeranti-
cipirtwordensind,habennochnichtdieallgemeineBeachtunggefunden,die

DieTheoriendieserAbhandlungentwickelteichimSommersemester1897inmeinen
Seminar-VorlesungenanderUniversita¨tLeipzig.S.Lie.

LeipzigerBerichteMaiundJuli1897.

2

SophusLie.

M.N.Kl.

sieentschiedenverdienen.
EsberuhtdieswahrscheinlicherweiseinersterLi-
niedarauf,dassmeineTheorienfastimmerin
abstracter
Formentwickelt
wordensind

.Darumversucheichjetztwieauchinfru¨herenPublicationen,
lehrreiche
und
interessanteBeispiele
zumeinenallgemeinenTheorienim
Einzelnendurchzufu¨hren.Schliesslichwirdesmirwohleinmalgelingen,
der
mathematischenWeltklarzumachen,dassgeradedieDifferentialgleichun-
gendasjenigeGebietliefern,innerhalbdessendiecapitaleBedeutungmeiner
Gruppentheoriesichamsta¨rkstengeltendmacht
.Esistebeneincharakteri-
stischesMerkmalderGruppentheorie,dasssieeinerseitsschwierigeProbleme
erledigt,unddasssieanderseits
genaufeststellt,wasuntergegebenenVor-
aussetzungengeleistetwerdenkann
.
Vielleichtkannesnu¨tzlichsein,eheichdenspeciellenGegenstanddieser
AbhandlunginAngriffnehme,aufeinigeuntermeinenallgemeinenIntegra-
tionstheorienhinzuweisen.
DieIntegrationeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n

q
)
ter
Ord-
nungindenVera¨nderlichen
x
und
y
kannbekanntlichimmeraufdieErledi-
gungeines
q
-gliedrigenvollsta¨ndigenSystems:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(1)
in
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,x
2
,...x
n
zuru¨ckgefu¨hrtwerden,und
dabeila¨sstsichimmererreichen,dassdieKlammerausdru¨cke
X
i
X
k
f

X
k
X
i
f
sa¨mtlichidentischverschwinden.
Manweissandererseits,dassdieIntegrationeines
q
-gliedrigenvollsta¨n-
digenSystems(1)mit
n
unabha¨ngigenVera¨nderlichen
x
1
,...x
n
,sichauf
dieErledigungeinergewo¨hnlichenDifferentialgleichung(
n

q
)
ter
Ordnung
zuru¨ckfu¨hrenla¨sst;unddabeiliegtesinderNaturderSache,dassdiese
Hu¨lfsgleichung(
n

q
)
ter
OrdnungimAllgemeinenkeinespecielleEigenschaf-
tenbesitzt,ausdenensicheineVereinfachungihrerIntegrationherleitenlies-
.esGanzanderskanndieSachestehen,wenneinvollsta¨ndigesSystem:
X
1
f
=0
,X
2
f
=0
,...X
q
f
=0(
x
1
,x
2
,...x
n
)

EinigeuntermeinenSchu¨lernfindeneszweckma¨ssig,diejenigenuntermeinenInte-
grationstheorien,dievondenJahren1870–1882herru¨hren,einfachzuignorieren.Esist
aberundbleibteingeschichtlichesFaktum,dassnichtalleindieBegru¨ndungderTheorie
dercontinuierlichenGruppen,sondernauchdieallgemeineVerwerthungdieserTheoriefu¨r
Differentialgleichungenvonmirherru¨hrt.

1902No.1u¨berintegralinvariantenunddifferentialgl.
3

zuIntegrationvorgelegtist,und
manvonvornehereingewissespecielleEi-
genschaftendiesesvollsta¨ndigenSystemsschonkennt
.
Ganzbesonderseingehendhabeichmich

indenJahren1872und1874
mitderAnnahmebescha¨ftigt,dass
gewisseinfinitesimaleTransformationen
:
Y
1
f,Y
2
f,...Y
p
f
,diedasvollsta¨ndigeSysteminvariantlassen,undander-
seits
gewisseLo¨sungen
desvollsta¨ndigenSystemsvonvornehereinbekannt
sind.IndenobencitiertenArbeitenausdenJahren1874und1882gabich
diedefinitiveErledigungdesebenformuliertenProblems,und
zudieserweit-
tragendenTheoriekonntenspa¨tereArbeitenandererMathematikernachder
NaturderSachekeineneuenundwesentlichenBeitra¨gehinzufu¨hren

.
Wirko¨nnenfernerannehmen,dass
r
unabha¨ngigeinfinitesimaleTrans-
formationen
X
1
f,X
2
f,...X
r
f
vorgelegtsind,dieRelationenvonderForm
XX
i
X
k
f

X
k
X
i
f
=
c
iks
X
s
f
(
c
iks
=Const.)
serfu¨llen,unddassmanalleLo¨sungendesGleichungs-Systems
X
1
f
=0
,...X
r
f
=0(2)
andersausgesprochen,alleInvarianten
U
(
x
1
,x
2
,...x
n
)der
r
-gliedrigen
Gruppe
X
1
f...X
r
f
bestimmenwill.FindensichunterdenGleichungen(2)
etwa
q
unabha¨ngige,sobildendiese
q
Gleichungen
X
1
f
=0
,...X
q
f
=0
einvollsta¨ndigesSystem,dessen
n

q
Lo¨sungengeradediegesuchtenInva-
riantenliefern.WillmannundieIntegrationdiesesvollsta¨ndigenSystemsin
rationeller,dasheisst,ineinfachstmo¨glicherWeisedurchfu¨hren,somussman
inersterLinieuntersuchen,obinfinitesimaleTransformationen
Yf
vorhan-
densind,diemitallen
r
Transformationen
X
1
f,...X
r
f
vertauschbarsind.
GiebteskeinederartigeTransformationen
Yf
,sokanndieIntegrationdes
vollsta¨ndigenSystems
X
1
f
=0
,...X
q
f
=0durchausfu¨hrbareOperationen

Verh.d.Ges.d.Wiss.zuChristiania1872und1874.Math.Ann.Bd.IX.Verh.d.
Ges.d.Wiss.zuChristiania1882.EinResume´dieserTheorienfindetsichinMath.Ann.
Bd.XXV.

MeineNachfolgerundSchu¨lerhabeneinigeneue
Anwendungen
meinerIntegrations-
theoriengeliefert.EsscheintaberihrerAufmerksamkeitentgangenzusein,wieminimal
dieverbindendeBru¨ckeist.

4

SophusLie.

M.N.Kl.

geleistetwerden.SinddagegeninfinitesimaleTransformationen
Yf
vorhan-
den,diemitallen
X
k
f
vertauschbarsind,sobildenalle
Yf
ihrerseitseine
continuirlicheendlicheoderunendlicheGruppe,undesistdie
Zusammenset-
zungdieserGruppe
Yf
,diedasvorliegendeIntegrationsproblembeherrscht
2
).
Eskannvielleichtnu¨tzlichsein,dasswirinallerKu¨rzedaranerinnern,
wiewirdiesesProblemaufdaszuerstbesprocheneProblemzuru¨ckgefu¨hrt
haben.Sind
X
1
f,...X
r
f
,
r
unabha¨ngigeinfinitesimaleTransformationender
vorgelegtenGruppe,soko¨nnenwirimmerannehmen,dasswireinekanoni-
scheFormdieserGruppe
f∂XX
k
0
f
=
ξ
ki
(
x
0
1
,...x
0
n
)
0
x∂iundgleichzeitigdiereciprokeGruppe
f∂XY
k
0
f
=
η
0
ki
(
x
0
1
,...x
0
n
)
0
x∂iiderletztenGruppekennen.
UnserProblemdecktsichsodannmitderReduktiondervorgelegten
Gruppe
X
1
f,...X
r
f
aufihrekanonischeFormundfindetdaherseinenana-
lytischenAusdruckinden
r
Gleichungen
0X
k
f
=
X
k
f
odereigentlichinden
r

n
Gleichungen,diehervorgehen,wennfu¨r
f
nach
undnach
x
0
1
,x
0
2
,...x
0
n
gesetztwird.HiermiterhaltenwireinSystempartieller
Differentialgleichungen
0x∂Ω
k
(
x
1
,x
2
,...x
n
,x
0
1
...x
0
n
,
1
,...
)=0
x∂1k
=1
,
2
,
3
,...
derenallgemeinsteLo¨sungen
y
0
1
,y
0
2
,...y
0
n
auseinemspeciellenLo¨sungssys-
tem
x
0
1
,...x
0
n
durch
bekannte
Gleichungen
y
i
0
=
ϕ
i
(
x
1
,...x
0
n
,b
1
,...
)
hervorgehen,dieeineGruppeundzwargeradediekanonischereciprokeGrup-
pebilden.NachdemwiraberunserProblemaufdieseGestaltgebrachthaben,

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