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Élémens d'algèbre, à l'usage de l'École centrale des Quatre-Nations. [Par S.-F. Lacroix.]

De
315 pages
Duprat (Paris). 1799. In-8° , XII-299 p..
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n.
197Ô
ELIMENS
D' A L G È B R E.
A la suite de cet ouvrage , vient naturellement se placer le
livre ayant pour titre : Complément des Elémens d'Algèbre,
destiné à ceux qui veulent pénétrer plus avant dahs l'Analyse,
et étudier avec fruit le Calcul différentiel et le Calcul intégral;
niais ce volume, ne pouvant être enseigné dans les Écoles
centrales) où les cours recommencent chaque année, ne fait
point partie du Cours élémentaire de l'Ecole centrale des
Quatre-Nations.
É L É M E N S
p 1
D' ALGÈBRE,
A L'USAGE
DE L'ÉCOLE CENTRALE
^ES QUATRE-NATIONS.
1
k"
DE L'IMPRIMERIE DE CRAPELET.
A PARIS,
! 1
Chez D u P RAT, Libraire pour les Mathématiques ,
quai des Augustins, n°. 71.
..fi. N VIII.
a 3
T A B L E.
t
N OT ION S preliminaires, pag. a
Quels sont la nature et le but de l'Algèbre ibid.
Des signes dont on se sert en Algèbre , 4
Résolution de quelques problèmes par le moyen des signes algé-
briques , 5
Des équations, 8
Règles à observer lorsqu'on veut résoudre une question avec le
secourue l'Algèbre , 9
Des équations du premier degré à une seule inconnue, 10
Ce que c'est que résoudre une équation , ibid.
Règles à suivre pour faire passer un terme d'un membre dans un
autre , 12
Pour dégager l'inconnue de son multiplicateur, ij
Pour faire disparoître les dénominateurs , 17
Ce qu'il faut faire pour mettre un problême en équation, 20
Exemples, résolus d'abord en nombres , et ensuite en lettres , ibid.
Réflexions sur les quantités positives et négatives, 21)
Des opérations fondamentales sur les quantités, consi-
dérées généralement, 34
De l'Addition et de la Soustraction, ibid.
Ce que c'est qu'un coefficient, 1.. 35
Règle à suivre pour faire l'addition, 36
Règle de la soustraction, - 37
Démonstrations de cette règle, -.-.38
De la multiplication, :. 40
Manière d'indiquer la multiplication des quantités algébriques, ibid.
Ce que c'est qu'un exposant et une puissance , 42
if TABLE.
Règles pour la multiplication des quantités monomes , 43
Multiplication des quantités complexes, t~~ 4}
Démonstrations de la règle des signes, 45
Exemple de multiplication complexe, 48
Manière d'indiquer la multiplication des quantités complexes, 51
De la Division, ibid.
Manière de l'indiquer, 52.
Règle pour diviser les quantités monomes, ibid.
Ce que signifie une quantité dont l'exposant est zéro, le
Règle des coeff.ciens, 54
Règle des signes, J5
Division des quantités complexes , 5 (S
Ordre qu'on doit mettre dans l'arrangement des termes , ibid.
Exemple de division , 59
Ce qu'il faut faire lorsqu'il se trouve plusieurs termes contenant la
même puissance de la lettre suivant laquelle on otdonne, 60
Exemple, 6t
De la manière de trouver le plus grand commun diviseur
1 de deux quantités littérales, 63
Application de la règle et des remarques à un exemple, 65
Ce qu'il faut faire lorsqu'on arrive à un reste indépendant de la
lettre suivant laquelle on a ordonné , 66
Des Fractions littérales, 68
Changemens qu'on peut leur faire subir sans altérer leur valeur, ibid.
Réduction d'un entier en fraction , 69
Manière d'extraire les entiers d'une expression fractionnaire , 70
Manière de réduire les fractions au même dénominateur, ibid.
De l'addition et de la soustraction , 71
De la multiplication et de la division, 7J
Résolution d'une équation littérale du premier degré, 74
Problêmes divers, 7S
Des équations du premier degré à plusieurs inconnues, 77
Méthode pour résoudre les équations de ce degré à deux inconnues,
ibid-
1
TABLE. vil
Exemples, 78
Des équations du premier degré à trois et à un plus grand
nombre d'inconnues, 81
Règle pour résoudre ces équations, ibid.
Exemples , Sz
Règle générale pour résoudre les équations à un nombre quelconque
d'inconnues, 84
Application des règles précédentes à la résolution de quel-
ques questions qui renferment plus d'une inconnue, ibid.
Formules générales pour la résolution des équations du
premier degré, 94
Règle générale pour former les valeurs des inconnues. 99
Des équations du second degré à une seule inconnue, i 02
Résolution des équations du second degré qui ne contiennent qu'un
terme inconnu, ibid.
De l'extraction des racines quarrées des nombres entiers, J03
Des nombres qui ne sont pas des quarrés parfaits , 111
De la racine quarrée des fractions , ibid.
La racine d'un nombre qui n'est pas un quarré parfait, ne peut
être exprimée exactement par aucun nombre fractionnaire, 112
Démonstration du principe sur lequel repose cette proposition, ibid.
Manière de désigner les racines des nombres qui ne sont pas des -
quarrés parfaits, et d'en trouver la valeur approchée, 115
Note sur l'incommensurabilité , ibid. t
Méthode pour approcher des racines par le moyen des fractions
ordinaires, * Il S
Manière d'obtenir le plus simplement possible la racine approchée
d'une fraction dont les termes ne sont pas des quarrés, 119
< Signe que l'on emploie pour indiquer une extraction de racine, 121
La racine d'une quantité peut être prise avec le signe + ou le
signe —, ibid.
Expressions qu'on appelle imaginaires, 122
Des équations complètes du second degré, lîj
Tlij TABLE.
Règle générale qu'il faut suivre pour les résoudre, xi6
Formule générale pour la résolution des équations du second degré
à une seule inconnue , ibiJ.
Preuve directe que les équations du second degré ont toujours
deux racines, 127
Application de la règle précédente à la résolution de
quelques questions du second degré, 128
Question qui fait voir comment on doit entendre les racines ima-
ginaires , 13 j
Résolution de quelques équations littérales, 136
De l'extraction de la racine quarrée des quantités litté-
rales, 140
Remarque au moyen de laquelle on peut simplifier les quantités
radicales, 141
Extraction de la racine quarrée des quantités complexes , 143
Du calcul des quantités affectées du signe V, 1.4.2.-.
De la formation des puissances des quantités monomes,
de rextraction de leurs racines, -et du calcul des radi-
caux et des exposans, 149
Manière d'élever une quantité monome à une puissance quel-
conque , ,*5Q
Manière d'extraire la racine d'un degré quelconque d'une quantité
monome, ISZ
Des exposans fractionnaires, IJ2
Des opérations sur les quantités radicales de degrés supérieurs, 153
Manière de réduire au même degré les quantités radicales de degrés
différens, IJ5
Calcul des exposans fractionnaires, 156
Des exposans négatifs, ils
De la formation des puissances des quantités complexes
et de l'extraction de leurs racines, - 159
Forme du produit d'un nombre quelconque de facteurs du premier
degré, -- 160
Observations au moyen desquelles on déduit de ce produit le dé-
veloppement de la puissance quelconque d'un binom« y lÔj
T A B L E. ix
Théorie générale des permutations et des combinaisons, 168
Application de la formule du binome à un exemple, 173
Disposition de la formule du binôme pour en rendre l'applicafion
facile, 174
Exemple, 176
Application à un trinome J 177
De l'extraction des racines des quantités' complexes, 177
De l'extraction de la racine cubique des nombres entiers, ibid.
De l'extraction de la racine cubique des fractions, 182
Procédés pour approcher des racines cubiques des nombres qui ne
sont pas des cubes parfaits, 184
De l'extraction des racines de degrés plus élevés, 186
De l'extraction des racines des quantités littérales , 189
Des équations à deux termes, 190
Des équations qui peuvent se résoudre à la manière de
celles du second degré t 19a
Théorie générale des équations, J 94
Proposition fondamentale de cette théorie, ibid.
De la division de xn — a1 par * — a, 196
De la décomposition des équations en facteurs simples ou du
premier degré, 198
Des facteurs de l'équation xm - a = 0, et des racine de l'unité, 2co
De la composition d'une équation par des facteurs simples ou du
premier degré, 202
Formation de ses coefficiens , ibid.
Remarque sur la composition des équations, 204
Combien une équation peut avoir de facteurs d'un degré donné , 205
Des transformations qu'on peut faire subir aux équa-
tions , 209
Manière de faire évanouir les fractions , ibid.
Manière de faire disparoître le second terme, 210
De l'élimination, 212
Procédé par le commun diviseur, 2~
X TABLE.
Procédé qu'EuIer emploie au lieu du commun diviseur f lyl
Examen de plusieurs cas dans lesquels il ne suffit pas d'avoir autant
d'équations que d'inconnues pour qu'une question soit déter-
minée , 221
Ce que signifie - , 215
Ce que signifie 227
De la résolution numérique des équations à une seule
| Mco/ume, 229
Par les diviseurs commensurables , ibid.
Manière d'obtenir l'équation aux différences entre une racine et
toutes les autres, 235
Des racines égales, 237
Moyen d'avoir l'équation aux différences entre toutes les racines
prises deux à deux , 240
De la décomposition des équations en facteurs d'un degré supérieur
au premier, 241
Comment on peut reconnoître qu'une équation a une racine réelle'
comprise entre deux nombres donnés , 242
Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle de
signe contraire à son dernier terme 2-4 1
Détermination d'un nombre qui rende la somme des termes de
même signe que le premier , plus grande que celle des termes
de signe contraire, 247
Toute équation de degré pair a au moins deux racines réelles et
de signe contraire , lorsque son dernier terme est négatif, 248
Recherche des limites entre lesquelles se trouvent les racines
d'une équation , 249
Méthode de Newton pour approcher des racines d'une équa-
tion , ibid.
Inconvénient de cette méthode, "5 (
Moyen d'y remédier, ^52
Caractères auxquels on reconnoît le degré d'approximation qu'on
a atteint, 256
Méthode d'approximation proposée par Lagrange , aS7
Avantages qu'on peut retirer de la transformation d'une équation
dont les coefficiens sont très-grands, en Aine autre où ils soient
moindres, 261
TABLE. xi
Des proportions et des progressions, 262
Des principales propriétés des proportions, ibid.
Changemens qu'on peut faire subir aux proportions J 263
De la progression par différences, 268
Terme général, ibid.
Somme, - 269
De la progression par quotiens, 270
Terme général , ibid.
Somme, 271
Des progressions dont la somme a une limite déterminée, 272
Manière de dédtfîre tous les termes d'une progression de l'expres-
sion de sa somme , 273
Division de m par m — i continuée-à l'infini, 274
Cas dans lesquels on peut prendre le quotient de cette opération
pour la valeur approchée de la fraction • , ibid.
m—l y ibid.
Théorie des quantités ecopcmenûelles et des loga-
rithmes, 278
De la liaison qu'ont entre elle& les différentes manières de cal-
culer, ., 279
Conséquences remarquables qui résultent de la génératioa des
nombres parle moyen des puissances, 281
Ce que c'est qu'un logarithme , 282
Manière de calculer des tables de logarithmes, ibid.
Des logarithmes des fractions, 285
Des complémens arithmétiques x 286
Manière de passer d'un système de logarithmes à un autre , 289
Application des logarithmes à l'évaluation numérique des formules
algébriques, 290
Application des logarithmes à U-résolution des équations ou l'in-
connue entre comme exposant, 29l
Questions relatives à l'intérêt de l'argent, 292
Intérêt simple , 29J
Intérêt composé, i ibid.
Des annuités, 296
ALPHABET pour faciliter la lecture des calculs où l'on
fait usage de lettres grecques.
A tt. Alpha.
B Béta.
r y fr. Gamma.
A J' Delta.
EE. Epsilon.
zr. Zêta.
H n Êta.
t:) à 2r Thêta.
11 Iota.
Kx. Cappa.
A À. Lambda.
M fI. Mu.
M y. Mu.
E v Xi.
S* ■•• X i.
o o. Omicron.
n ir tU. Pi.
P P f Rho.
2 (j ). Sigma.
T ï~ Tau.
T v Upsilon.
cD <p. Phi.
X :x. q. Chi.
"P" 4 Psi.
410 Oméga.,
ÉLÉMENS
1. A
L E M E N'S
D' A L G È B R E.
OBSERVATION. Convaincu par une longue
expérience qu'il est indispensable de mettre
entre les mains du plus grand nombre des élèves
un livre où ils puissent retrouver les leçons du
professeur; pressé par le temps qui ne me per-
met pas d'écrire en entier un Traité d'Algèbre
d'ici à l'époque où j'en aurai besoin, et ne vou-
lant pas réimprimer le texte des Élémens d'Al-
gèbre de Clairaut, qui contient beaucoup de
longueurs, j'ai complété, soit par des articles
nouveaux, soit par des morceaux extraits de
l'Algèbre de Bézout, et de manière à former un
seul tout, les notes et les additions que j'avois
imsérées dans la 6e édition du premier de ces
ouvrages, et que le public a favorablement ac-
cueillies. La rapidité de la marche de Bézout
et la pureté de sa rédaction, ont fait générale-
ment estimer son cours ; mais aussi tous ceux qui
font cas de l'exactitude dans les démonstrations,
y desiroient des changemens qu'ils trouveront
ici, et verront peut-être avec plaisir l'Algèbre
présentée suivant la méthode d'invention, dé-
2 ÉLÉMENS
gagée des détails minutieux qui la surchargent
sans l'éclairer.
On a renfermé entre des crochets tout ce qui
est tiré de l'Algèbre de Bézout.
NOTIONS. PRÉLIMINAIRE S.
I. On ne sauroit définir l'Algèbre d'une manière qui
soit entendue de ceux qui n'en ont aucune idée; ce n'est
qu'après en avoir vu quelques applications qu'on peut
concevoir quel est son but et la nature des moyens qu'elle
fournit pour résoudre les questions. Lorsqu'on connoît les
relations qu'une quantité doit avoir avec d'autres qui
nous sont données, on peut, si ces relations ne sont pas
compliquées, trouver la valeur de la première quantité,
en faisant usage des règles du raisonnement. Il faut pour
cela décomposer les conditions que renferment les rap-
ports énoncés, en traduisant, pour ainsi dire, ces rapports
dans une suite de phrases équivalentes, dont la dernière -
doit être conçue en ces termes : L'inconnue égale la somme,
ou la différence, ou le produit, ou le quotient de telles
et telles grandeurs. L'exemple suivant éclaircira ce que
ces notions générales pourroient renfermer d'obscur.
Connoissant la somme de deux nombres et leur diffé-
rence, trouver chacun de ces nombres. J
Pour y parvenir, bn observera que "¡,,
Le plus grand des deux nombres cherchés est égal au
plus petit plus la différence,
a Et que par conséquent si le dernier étoit connu , en lui
ajoutant la différence, on auroit le premier. Or, le plus
grand nombre ajouté avec le plus petit compose la somme
donnée; mettant, au lieu du plus grand nombre, l'ex-
1
1
D" A L G È B R F. 3
A a
pression équivalente que nous venons de trouver, nous
aurons
Le plus petit nombre, plus la différence, plus encore le
plus petit nombre, égale la somme donnée;
D'où il suit
Que deux fois le plus petit nombre, ajoutées avec la
différence, composent la somme donnée,
Et que par conséquent
Le double du plus petit nombre égale la somme moins
la différence.
Ayant maintenant le double du plus petit nombre
nous trouverons ce nombre lui-même en prenant la moi-
tié du résultat, c'est-à-dire que nous aurons
Le plus petit nombre égale la moitié de la somme
moins la moitié de la différence.
Voilà donc la question proposée résolue, puisque
pour obtenir les nombres cherchés, il suffit de faire des
opérations purement arithmétiques sur - des nombres
connus.
Si la somme donnée, par exemple, étoit 9, et la dif-
férence 5, le plus petit des nombres cherchés seroit,
d'après la règle ci-dessus, égal à 1 moins f , ou à *, ou
enfin à a, et le plus grand, composé du plus petit plus la
différence, seroit égal à 7.
Si l'on rapproche cette question de celles que nous
avons résolues en arithmétique, on verra qu'il y a deux
aortes de questions numériques : dans les unes, on voit
immédiatement, par l'énoncé, à laquelle des quatre opé-
r axions fondamentales il faut recourir pour les résoudre ;
et pour les autres, ce n'est qu'après avoir, comme ci-
dessus , cherché avec soin les conséquences de l'énoncé,
et lui avoir fait subir, plusieurs traductions ou trans-
A é L 9 m E e s
formations, que l'on vient à bout de découvrir ce qu'il
faut faire pour arriver au nombre cherché.
2.. Les raisonnemens, fort simples dans le problême
que nous nous sommes proposé, devenant très-compli-
qués dans d'autres, on a imaginé des signes, au moyen
desqueis on exprime, d'une manière abrégée, les diffé-
rentes traductions que subit l'énbncé de lg. question.
Ces signes sont relatifs aux opérations par lesquelles
les grandeurs qui entrent dans l'énoncé sont liées entre
elles.
Pour indiquer l'addition, on se sert du signe + J <juî
signifie plus.
Pour la soustractiof) on se sert du signe —, qui
signifie moins.
Pour la multiplication, on se sert du signe X 1 qui
signifie multiplié par.
Pour écrire que deux quantités doivent être divisées
l'une par l'autre, on place la seconde sous la première,
et on les sépare par un trait : signifie 5 divisé par 4.
Enfin pour marquer que deux quantités sont égales, on
met entre leurs expressions le signe =, qui signifie égal à.
Au moyen de ces signes, reprenons la question pro-
posée et résolue plus haut; représentons l'inconnue ou
le plus petit nombre par une lettre, x, par exemple, la
somme et' la différence par -les deux nombres donnés
9 et 5; le plus grand des deux nombres cherchés sera
çxprimé par x + 5, et leur somme par x + 5 + x : on
aura donc x + 5 + a?=9 ; mais en écrivant 2 x pour le
double de la quantité x, il en résultera 2 x + 5 = 9- Si
on retranche aux deux parties de cette équation la
même quantité 5, l'égalité ne sera pas troublée; il vien-
1
D' ALGÈBRE. g
A3
En rapprochant- maintenant-ce que signifientles phrases
akrégées que nous venons d'écrire, au moyen des signes
convenus, de celles qui nous ont. servi dans la solution
par le raisonnement seul, on verra que les unes ne sont
que la traduction des autres.
Le résultat 2 que nous venons d'obtenir ne convient
qu'à l'exemple particulier que nous avons choisi, tandis
opie le raisonnement seul, en nous apprenant que le plus
petit des deux nombres cherchés égale la moitié de la
somme moins la moitié-de la différence } nous fait voir
comment le nombre inconnu se compose avec les nombres
donnés, et nous fournit une règle, - à l'aide de laquelle
nous pouvons résoudre tous les cas particuliers compris
dans la question.
3. On atteindroit ce but avec le secours de récriture
Rubrique, si , au lieu de représenter la somme et la
différence données, par les nombres 9 et 5, on les eût
désignées par des caractères independans de touty valeur
particulière, comme le seroient les lettres de l'alphabet,
et en énonçant ainsi la question à résoudre :
[ Deux nombres réunis font une somme connue et reoré-
seutee par a : ces deux nombres diffèrent entr'eux d'un
nombre connu représenté par h; ccminent trouverais -je
Mom & re co/zn~ ;'e~ - -/ e
ces deux nombres ?
Ayant reprébeuté le plus petit par x,
Le plus grand sera donc, x + b.
Ces deux nombres réunis font, 2 X + b.
Or selon la question, ils doivent composer le nom-
bre a; il faut donc que Px + b == a. ,
Mais il est visible que s'il faut aiouter au double de x
ou de 2X, la quantité b pour avoir la quantité a, il eu
résulte que 2 x = a — b^
6 ÉLÉMENS
D'où il suit que x c est-a- d ire, que pour
avoir le plus petit, il faut prendre la moitié de a et en
retrancher la moitié de b ; ce qui m'apprend que, lorsque
je connoîtrai la somme a de deux nombres inconnus, et
leur différence b, j'aurai le plus petit de ces deux nombres
inconnus en prenant la moitié de la sômme, et retran-
chant la moitié de la différence.
Puisque le plus grand des deux nombres est x + b ,il
moitié de b, la quantité b le tout
moins sa moitié, se réduit à une moitié ou à - ; donc
a
pour avoir le plus grand, il faut ajouter la moitié de b à
la moitié de a, c'est-à-dire ajouter la moitié de la diffé-
rence à la moitié de la somme.
On voit par-là comment, en représentant d'une ma-
nière générale, c'est-à-dire par des lettres, les quantités
connues qui entrent dans ces questions, on parvient à
trouver des règles générales pour la résolution de toutes
les questions de même espèce.
, Souvent des questions paroissent différentes au pre-
mier coup-d'œil, et cependant, après un léger exa-
men, on trouve qu'elles ne diffèrent que par l'énoncé. Par
exemple, si l'on proposoit cette question:
Partager un nombre connu et représenté par a, en deux
parties, dont l'une soit moindre ou plus grande que l'autre
d'une quantité connue et représentée par b. Il est facile
de voir que cette question revient au même que la pré-
cédente.
4. Question seconde : Partager le nombre 720 en trois
1
D* A L G E B R E. 7
A4
parties, dont la plus grande surpasse la plus petite de 80,
et dont la moyenne surpasse la plus petite de 40.
Si l'on me disoit quelle est la plus petite partie, pour
la vérifier, j'y ajouterois 40 d'une part, ce qui me don-
neroit la seconde ; et 80 d'une autre part, ce qui donneroit
la plus grande : alors réunissant ces trois parties, il fau-
droit que leur somme formât 720.
Nommons donc cette plus petite partie x, et en pro-
cédant de la même manière, nous dirons :
La plus petite partie est. x
Donc la moyenne est x + 40.
Et la plus grande x -f- 80.
Or , ces trois parties réunies font 3 x + 120.
D'ailleurs, laquestion exige qu'el-
les fassent. 720.
Il faut donc que 3 x -+■ 120 = 720.
Mais puisqu'il faut ajouter 120 au triple de x, ou à
3x, pour avoir 720, il s'ensuit 3 x = 720—120, ou
t Go0 ,
3xz= 600 , et par conséquent x — 2co > donc la
seconde partie est 240, et la plus grande 280 : ces trois
parties réunies font en effet 720.
Il est encore évident dans cet exemple, que quand
les nombres proposés, au lieu d'être 720, 40 et 80,
eussent été différens, la question auroit toujours pu se
résoudre de la même manière. Ainsi, pour résoudre
toutes les questions dans lesquelles il s'agit de partager
un nombre connu a en trois parties, telles que l'excès
de la plus grande sur la plus petite soit un nombre
connu et représenté par b , et que l'excès de la moyenne
sur la plus petite soit c ; en raisonnant de même que
ci-dessus, on dira :
8 ÉLÉMENS
Repréaentons la plus petite par os. 1
La moyenne sera JC + c 1
Et la plus grande. cc + b 1
Ces trois parts réunies font. 3 x + b +- p 1
Or, elles doivent faire. a j
Il faut donc que 3 x + b + c = a -
'Ce dernier résultat nous montrant que la quantité.
surpasse la quantité 3 x de b + c, on en doit conclure
C'est-à-dire que pour avoir la plus petite, il faut re-
trancher du nombre qu'il s'agit de partager, les deux
excès , et prendre le tiers du reste : alors les deux autres
sont faciles à trouver. Ainsi, si l'on demande de parta-
ger 642 en trois parties , dont la moyenne surpasse la
plus petite de 75 , et dont la plus grande surpasse la-pins
petite de 87, j'ajouterai les deux différences 75 et 87,
ce qui me donnera 1625 retranchant 162 de 642, il
restera 480, dont le tiers, 160, sera la plus petite part.
Les deux autres sont donc 160 + 75 ou 2j5, et 160 + 87
ou 247.
Au reste, les deux questions que nous venons de
donner pour exemples n'ont pas besoin du secours de
l'Algèbre ; mais leur simplicité est propre à donner une
première idée de l'obj et de cette science et des moyens
qu'elle emploie.
Des Equations.
). L'assemblage de deux ou de plusieurs quantités
séparées par le signe =, est ce qu'on appelle une équa-
tion. La totalité des quantités qui sont à la gauche du
signe =, forme ce qu'on appelle le premier membre de
D' A L G È B R E.$
l'équation; et la totalité de celles qui sont à la droite de
ce même signe, forme le second membre. Dans l'équation
4x - 3 = + 7, 4x-3 forme le premier membre,
et sx 4-7 forme le second. Les équations sont d'un
grand usage pour la résolution des questions qu on peut
proposer sur les quantités.
Toute question qui peut être résolue par l'Algèbre,
renferme toujours dans son énoncé, soit explicitement,
soit implicitement, un certaurnombre de conditions, qui
sont autant de moyens de saisir les relations des quantités
inconnues aux quantités connues dont celles-là dépen-
dent. Ces relations peuvent toujours, ainsi qu'on le verra
par la suite, être exprimées par des équations dans les-
quelles les quantités inconnues et les quantités connues
se trouvent combinées les unes avec les autres, et cela
d'une manière plus ou moins composée, selon que la
question est plus ou moins difficile.
Ainsi, pour résoudre par l'Algèbre les questions qu'on
peut proposer sur les quantités, il faut trois choses :
1°. Saisir, dans l'énoncé ou dans la nature de la ques-
tion, les relations qu'il y a entre les quantités connues et
les quantités inconnues. C'est une faculté que l'esprit ac-
quiert, comme beaucoup d'autres, par l'usage; mais il
n'y a point de règles générales à donner là-dessus.
2°. Exprimer chacune de ces relations par une équa-
tion. Cette condition peut être réduite à une seule règle ,
que nous exposerons par la suite ; mais l'application en
eût plus ou moins facile , selon la nature des questions , la
capacité et l'exercice que peut avoir celui qui entreprend
de résoudre.
3°. Résoudre cette équation, ou ces équations, c'est-à-
dire en déduire la valeur des quantités inconnues. Ce
10 ÊLÉMENS
dernier point est susceptible d'un nombre déterminé -de
règles : c'est par lui que nous allons commencer.
Comme les questions qu'oji peut avoir à résoudre
peuvent conduire à des équations plus ou moins com-
posées , on a partagé' celles-ci en plusieurs classes ou
degrés ; nous allons nous occuper d'abord des équations
du premier degré. On nomme ainsi les équations dans
lesquelles les inconnues ne sont multipliées ni par elles-
mêmes , ni entre felles.

Des Equations du premier 4egre 1 à une seule inconnue.
6. Résoudre une équation, c'est la réduire à une
autre, dans laquelle l'inconnue, ou la lettre qui la
représente, se trouve seule dans un membre, et où il
n'y ait plus que des quantités connues dans l'autre
membre.
Par exemple, si l'on proposoit cette question : Trouver
un nombre dont le quadruple ajouté à 3 donne autant -
que son triple ajouté à 12. En représentant ce nombre
par x, son quadruple seroit 4 x, lequel ajouté à 3, fait
4 x + 3 ; d'un autre côté, le triple de ce même nombre x
est 3 oc, lequel, ajouté à 12, fait 3 x + i a ; puis donc
que 4 x + 5 doit donner autant que 3 x + 12, il faut
que le nombre x soit tel que l'on ait 4 x + 3 = 3 x + 12;
c'est-là l'équation qu'il s'agit de résoudre pour trouver
le nombre demandé.
Or, il est évident que puisque les deux quantités sé-
parées par le signe => sont égales, elles le seront en-
core si l'on retranche de chacune 3x, ce qui réduit
l'équation à x + 5 = 12 ; enfin ces deux-ci seront encore
égales, si de chacune on retranche le même nombre 3,
ce qui donne x = 9) et résout la question ; car il est
I) À L G È E r, r. ii
évident que x est connu, puisqu'il est égal à une quan-
tité connue g.
L'okiet que nous nous proposons ici est de donner
des règles pour ramener l'équation dans tous les cas,
à avoir ainsi l'inconnue senle dans un membre, et
*'av«ir que des quantités connues dans l'autre membre.
Pour une question aussi simple que celle que nous venons
de prendre pour exemple, l'usage des équations seroit
sans doute superflu ; mais toutes les questions ne sont pas
de cette facilité; et il ne s'agit encore que de faire en-
tendre comment la question est résolue, lorsque l'incon-
nue est seule dans un membre, et qu'il n'y a plus que des
quantités connues dans l'autre.
Les règles pour résoudre les équations dont il s'agit
ici, c'est-à-dire pour les réduire à avoir l'inconnue seule
dans un membre, se réduisent à trois, qui sont relatives
aux trois différentes manières dont linconnue peut se
trouver mêlée ou engagée avec des quantités connues.
Dorénavant nous représenterons les quantités incon-
nues par quelques-unes des dernières lettres x, y, z de
l'alphabet, pour les distinguer des quantités connues,
que nous représenterons ou par des nombres, ou par
les premières lettres de l'alphabet.
7. L'inconnue peut se trouver mêlée avec des quan-
tités connues, en trois manières : 1°. par addition ou
soustraction, comme dans l'équation x + 3 = 5 - x;
20. par addition, soustraction et multiplication, comme
dans l'équation Tf.x—6 — 2 x -f- 16; 3°. enfin par addi-
tion , soustraction, multiplication et division , comme
dans l'équation }x — x + 17, ou par ces deux
dernières opérations seulement,- ou par la dçrnière seu-
lement.
13 H L É M E U S
Voici les règles qu'il faut suivre pour dégager l'incon-
nue dans ces differens cas.
8. Pour faire passer un terme quelconque dune équa-
tion, d'un membre de cette équation dans l'autre, il faut
effacer ce terme, et l'ecrire dans l'autre membre avec un
signe contraire à celui qu'il a dans le membre où il est.
Sur quoi il faut observer qu'un terme qui n'a pas de-
signe est censé avoir le signe +.
Par exemple, dans l'équation 4 x + 5 = 5 x + 12.
si je veux faire passer le terme + 3 dans le second mem-
bre, j'écris 4,7c - 3 x + 12 -5, où l'on voit que le
terme 3 n'est plus dans le premier membre ; maïs il est
dans le second avec le signe—, contraire au signe +
qu'il avoit dans le premier.
Cettp équation réduite revient à 4 x = 3x + 9 ; bi l'on
veut maintenant faire passer le terme 3 x dans le premier
membre, on écrira Ax — 3 x = 9, qui, en réduisant,
devient x = g.
Pareillement, si dans Téquation 5 x — 7=21 - 4 r">
je veux faire passer le terme - 7 dans le second mem-
bre , j'écrirai 5 x = 21 -4x + 7, qui se réduit à 5 x =
28 - 4 x; si je veux ensuite faire passer 4 x, j'écrirai
5 x + 4 x — 28 , ou, en réduisant, g x = 28. Nous
verrons dans quelques momens comment s'achève la ré-
solutif de cette équation.
La raison de cette règle est bien facile à saisir. Puisque
les quantités qui composent le premier membre sont, en-
semble, égales à la totalité de celles qui composent le
second, il est évident qu'on ne trouble point cette éga-
lité, si, ayant ajouté ou ôté à l'un des membres un ,
teriue quelconque, on ajoute ou l'on ôte à l'autre ce
même terme : or, lorsqu'on efface un terme qui a 1&
D' A L G È B R E. 15
.signe + , c'est diminuer le membre où il se trouve : il
faut donc diminuer l'autre de pareille quantité, c'est-à-
dire y écrire ce terme avec le signe -. Au contraire,
lorsqu'on efface un-terme qui a le signe —, il est évident
qu'on augmente le nombre ou il -se trouve ; il faut donc
augmenter l'autre de pareille quantité, c'est-à-dire, écrire
ce terme avec le signe + -
9. On voit donc que, par cetjte règle, on peut faire
passer à-la-fois, dans un même membre , tous les termes
affectés de l'inconnue, et toutes les quantités connues
dans l'autre. On choisira d'abord dans quel membre on
veut avoir les termes affectés de l'inconnue; cela est in-
différent: je suppose que ce soit dans le premier. On
écrira de nouveau l'équation, en observant de conserver
aux termes affectés de l'inconnue, et qui étoient dans le
premier membre, les signes qu'ils avoient ; on écrira à la
suite de ceux-là les termes affectés de l'inconnue, qui se
trouvent dans l autre membre,mais en observant de chan-
ger leur signe. A la suite de tous ces termes, on écrira le
signe =, et l'on formera lé second membre en écrivant les
quantités connues qui composoient d'abord le second mem-
bre; en les écrivant, dis-je, avec les mêmes signes qu'elles
avoient, et ensuite les quantités connues qui étoient dans le
premier membre, mais en leur.donnant des signes contrai-
res à ceux qu'elles avoient. C'est ainsi que l'équation 7 x -
8 = 14— 4x devient y x + 4 x== 14 + 8, ou 11 x= 22.
Pareillement l'équation a x + b c — cx = ac — b x,
dont les termes sont exprimés en lettres, devient ax -
ex + b x = a c - b c (*).
(*) Dans cette équation , les expressions a x, b c, etc. sont équiva-
lentes à a X*, b X c, etc. mais on a supprimé, pour abréger, le
signe X, ce qu'on ne peut faire lorsqu'il s'agit des nombres, parce
1
14 ÉLÉMENS
10. Il peut arriver, par cette transposition, que ce
qui reste des x, après la réduction, se trouve avoir le
signe -; par exemple, si l'on avoit 3 x — 8 — 4 37 — là»
eu passant tous les x dans le premier membre, on auroit
3 x —4x = — 12 8, qui se réduit à — x = — 4; alors
il n'y a qu'à changer les signes de l'un et de l'autre mem-
bre , ce qui, dans le cas présent, donne + x = + 4, ou
x =. 4. En effet, on étoit également maître de transpo-
ser les x dans le second membre, ce qui auroit donné
— 8 + 12— 4x —qui se réduit à 4=x, qui est la
mênnt chose que x = 4
11. On peut souvent abréger la réductipn de l'équa-
tion, lorsqu'elle est numérique, ou lorsqu'étant littérale,
elle renferme des quantités semblables. Si ces quantités
ont le même signe dans différens membres, on efface
l'une, et on diminue l'autre de pareille quantité ; au con-
traire-, on les aj oute lorsqu'elles ont différens signes. Par
exemple, dans l'équation 6 b — 4a + 2x = 5(z-j- 3x,
j'efface 2 x dans le premier membre, et j'écris seulement
x dans le second , j'efface 5 a dans le second ; et j'aug-
mente 4 a de 5 a, ce qui me donne tout de suite 6 b-
gc = ar. On voit donc que s'il se trouvoit de part et
d'autre des termes parfaitement égaux et de même signe,
on pourroit les supprimer tout de suite ; c'est ainai qpe
l'équation 5a -J- a b = 5 a + x, se réduit tout cle suite
à 2 b=x.
12. Lorsqu'on 3 passé dans un membre tous les termes
affectés de l'inconnue, et toutes les quantités connues
dans l'autre membre, s'il n'y a point de fractions dans
que 3 X 5 ou 15 deviendroit 55 en ôtant ce signe. II faut donc regar-
der les lettres écrites à la suite les unes des autres , sans aucun signe
interposé, comme indiquant des nombres multipliés entre eux.
D' A L G È B R E. 15
l'équation, il ne s'agit plus que d'exécuter la règle sui-
vante, pour avoir la valeur de l'inconnue : Ecrivez
reconnue seule dans un membre, et donnez pouf divi-
seur au second membre la quantité qui multiplioit l'in-
connue dans le premier. -
Par exemple , dans l'équation 7 x - 8 = 14 4 x
que nous avons traitée ci-dessus, nous avons eu, par la
transposition et la réduction, 11 x= 22; pour avoir x,
je n'ai autre chose à faire qu'à écrire x = -!IL -I-L,qui se
réduit à x = 2; c'est-à-dire écrire x seul dans le premier
membre, et faire servir son multiplicateur 11, de diviseur
au second membre 22. En effet, lorsqu'au lieu de 11 a:,
j'écris seulement x, je n'écris que la onzième partie du
premier membre ; il faut donc, pour conserver l'égalité,
n'écrire que la onzième partie du second, membre, c'est-
à-dire diviser le second membre par 11.
Pareillement., si l'on proposoit l'équation 12 x— i5 ==
\.r + 25", après avoir passé (8) tous les x d'un côté 1
et les quantités connues, de l'autre, on aura 12 x—43C=
a5 + i5, ou en réduisant, 807 = 4°* Maintenant, pour
avoir xy j'écris x qui se réduit à x = 5. Car, lors-
qu'au lieu de Sx, j'écris a:seulement, je n'écris que la
huitième partie du premier membre ; je dois donc, pour
maintenir l'égalité , n'écrire que la huitième partie du
second membre, c'est-à-dire n'écrire que 480..
Si les quantités connues qui multiplient x, au lieu
d'être des nombres, étoient représentées par' des lettres,
la règle ne seroit pas différente pour cela: ainsi, dans
l'équation a x = b c, il n'y a autre chose à faire, pour
avoir x, que d ecnre x =
a
Si, après la transposition faite, il y a plusieurs termes
affectés de l'inconnue, la règle est encore la même ; ainsi,
16 Ê L É MEN S
dans l'équation ax+bc— cx = ac— bx, que nous 1
avons eue ci-dessus, on a, après la. tranbpositjon, ax-
c x + b x = a c — b c. Pour avoir x, il ne s'agit plus que
de décomposer le premier membre ax —
deux facteurs, dont l'un soit x, et l'autre ne renferme
que des quantités connues: or, puisque a x, ex et b x
représentent les produits respectifs de x par les quantités
a, c, b, il s'ensuit que l'expression ax--c,¡;+hx,
s'explique ainsi : De x, pris cCabord autant de fois
qu'il y a d'unités dans a, retranchez autant de fois x
qu'il y a d'unités dans c, ce qui revient évidemment à
prendre x seulement autant de fois qu'il y a d'unités
dans a diminué de c, ou dans a — c ; puis ajoutez au
résultat la même quantité x prise autant de fois qu'ily a
d'unités dans b : cette quantité se trouvera donc prise
en tout autant de fois qu'il y a d'unités dans la quantité
a - c + b : il faut donc écrire x = — —, c'est-à-
a — c-\-b
dire écrire x seul dans un membre, et donner pour divi-
seur au second, la quantité qui multiplioit x dans le
premier, laquelle est ici a'- c + b.
13. On voit donc que, lorsqu'après la transposition il
y a plusieurs termes affectés de x, on doit, pour avoir
la valeur de x, diviser le second membre par la totalité
des quantités qui affectent x dans le premier,' en prenant
ces quantités avec leurs signes tels qu'ils sont. Par exem-
ple, dans l'équation ax=bc—zx, on a, par la trans-
position, a x + 9, x = b c; et en appliquant la règle ac-
l 1 d' b c D
tuelle ou la division , on aura x~ De même,
a -J- 2
l'équation x, - ab=bc -ax donne, par la transposi-
tion x + a x = b c + ab, et paf conséquent
x
B' À L G £ 6 R'E. 17
1. B
^e=ic^r • car il faut o b server ici que le multipli-
i + a
cateur de x, dans le premier terme de x + a x, est 1; en
sorte que dans x + a x, x est multiplié par 1 4* a-
En effet, dans x + a x, x se trouve une fois de plus
que dans ai.
14. S'il se trouvoit quelque quantité qui tût facteur
commun de tous les termes de l'équation, on pourroit
simplifier en divisant tous les termes par ce facteur com-
mun. Par exemple, dans l'équation ihbb — o.'jab -\- 6bx,
je diviserois par Sb, qui est Facteur commun de tous les
termes, et faurois 5 b 9 a + 2 x, qui, par la transposi-
tion , devient 5 b- ga = ax, et enfin , par la division,
1 5. Les règles que nous venons de donner ont tou-
jours lieu, lors même que les différens termes de l'équa-
tion ont des dénominateurs, pourvu que ces dénomina-
teurs ne contiennent pas l'inconnue ; mais comme l'ap-
plication de ces règles est plus facile pour les commen-
çans, lorsqu'il n'y a pas de fractions dans l'équation,
nous allons ajouter ici une règle pour faire disparoître
les dénominateurs.
16. Pour changer une équation dans laquelle il y a
des dénominateurs, en une autre dans laquelle il n'y en
ait plus, il faut multiplier chaque terme qui n'a pas de
dénominateuf par le produit de tous les dénominateurs,
et multiplier le numérateur de chaque fraction, par le
produit des dénominateurs des autres fractions seule,
ment.
ï3 É L É MEN S
12 - - , je multiplierois le numérateur ax delà frac-
7
tion îil par 35, produit des deux dénominateurs 5 et 7 ,
3
ce qui me donneroit 70 r. Je multiplierois le terme 4, qui
n'a point de dénominateur, par io5, produit des trois
dénominateurs 3, 5, 7, ce qui me donneroit 420. Je
multiplierois le numérateur 4x de la fraction ~— par ai,
5
produit des deux dénominateurs 3 et 7, et j'aurois 84*"-
Je multiplierois ia, qui n'a pas de dénominateur , par le
produit io5 des trois dénominateurs, et j'aurois 1360.
Enan je multiplierois le numérateur 5 x de la fraction
~- par 1 5 , produit des deux autres dénominateurs, ce
7
qui me donneroit 75x; en sorte que l'équation proposée
seroit changée en celle-ci: 70x4-4^0 84^ + 1!160 -
75 x, dans laquelle, pour avoir x, il ne s'agit plus que
d'appliquer les deux règles précédentes. Par la première,
on changera cette équation en 70 x - 84 x + 75 x = ia6o
— 420, ou, en réduisant, 6ix:=84o; et par la se-
con d e 40 en faisant la division, se
47 ~-, qui, en faisant a division , se
réduit à x=13 47
La raison de cette règle est facile à appercevoir , si l'on
se rappelle ce qui a été dit ( Arith. 79 ) pour réduire plu-
sieurs fractions au même dénominateur. En effet, si, dans
10it réduire au même dénominateur les trois fractions
~3 • 5 7 faudroit multiplier leurs numérateurs
D' A L G È B R E. 19
Ba
par les mêmes nombres par lesquels notre règle actuelle
prescrit de les multiplier, et donner à ces nouveaux
numérateurs, pour dénominateur commun, le produit
de tous les dénominateurs", en sorte que l'équation pro-
posée seroit changee en cette autre : -5- + 4 = 84x +.
~io5, qui est la même dans le fon d , puisque
( Arith. 56 ) les nouvelles fractions sont les mêmes que
les premières. Maintenant si nous voulons aussi réduire
les entiers en fraction, il faut (Arith. 69 ) multiplier ces
entiers par le dénominateur de la fraction qui les accom-
pagne, c'est-à-dire ici par io5, qui a été formé du pro-
duit de tous les dénominateurs qui se trouvent dans
mais il est évident qu'on peut, sans troubler l'égalité,
supprimer de part et d'autre le dénominateur commun,
puisque si ces deux quantités sont égales étant divisées
par un même nombre , elles doivent l'être aussi sans
cette division; on a donc alors 70 x + 420 84 x
1260 — 75 x 1 comme ci-dessus.
17. Si les différenstermes qui composent l'équation sont
tous des quantités littérales, la règle ne sera pas pour- cela
différente. Il faut seulement multiplier multiplication
des quantités littérales ( note pag. i3 ) : ainsi , dans
équation ~—- e — —-f- , je multi. p, lie le numé-
rateur ax par le produit dh dès deux autres dénomi-
nateurs, ce qui donne a dhx. Je multiplie le terme e
par le produit b dh de tous les dénominateurs, et j'ai
bdeh. Je multiplie cx par bh,' et j'ai bchx. Enfin je
20 é L é M E N à
multiplie/g par bd, et j'ai b dfg; en sorte que l'équa-
tion devient adhx+bdch==.bchx+bdfg, laquelle,
car transposition , donne adhx—bchx=bdfg—bdeh,
18. Les règles que nous venons de donner sont suffi-
liantes pour résoudre toute question du premier degré,
lorsqu'une fois elle est exprimée par une équation. Pour
mettre une question en équation, on peut faire usage de
la règle suivante : Représentez la quantité, ou les quan-
tités cherchées, chacune par une lettre ; et ayant exa-
miné avec attention l'état de la question, faites, à l'aide
des signes algébriques, sur ces quantités et sur les quan-
tités connues, les mêmes opérations et les mêmes raison-
nemens que vous feriez si, connoissant les valeurs des
inconnues, vous vouliez les vérifier.
Cette règle est générale , et conduira toujours à trou-
ver les équations -que la question peut fournir. Mais il
est bon d'en diriger l'application par quelques exemples.
19. Partager un nombre connu, par exemple ifabo,
en trois parties qui soient entre elles comme les nombres
3, 5 et i i ; c'est-à-dire dont la première soit à la seconde
: : 3 : 5 , et dont la première soit à la troisième : : 3 : 11.
Si je connoistols l'une des parties, la première, par
exemple, voici comment je la vérifierois.
Je chercherois par une règle de trois (Arith. 116 ) un
nombre qui fût à cette première partie : : 5 : 3; ce seroit
la deuxième partie. Je chercherois de même un autre
nombre qui fût à cette première partie : : 11 :3 ; ce seroit
la troisième partie. Réunissant ces trois parties, elles de- -
vroient former 14250. Imitons donc ce procédé.
D'ALGEBR E. fil
B 3
.,
Soit la première part. x
Pour trouver la seconde, je calcule'le quatrième terme
de cette proportion 5 : 5 : : x :
Ce quatrième terme , ou la seconde partie , sera
b x
donc
Pour trouver la troisième, je calcule le quatrième
o
terme de cette proportion 3 : 11 : : x :
Ce quatrième terme, ou la troisième partie, sera
Mais la question exige qu'elles fassent 14250 j il faut
donc que a; + 3 = 1 4a 5o.
donc que x + T = 14250.
Pour avoir la valeur dex, je fais (16) disparoître le
dénominateur 3, et j'ai 3x + i6x=4a7^° » ou =
/{275o
42750; donc- ( 12 ) en divisant 19 =
ig
2250. La secon d e part, qui est 3 , sera donc 3
11a5o 11 X
on - 3 - 1 ou 375o; et la troisième, qui est T sera
UX225O 24750 «.
——-——, ou —^— , ou osbo. Ces trOIS parts reunies,
forment en effet i~5o ; d'ailleurs, les trois nombres
-2-250, 3750, 8a5o, sont entre eux comme les trois nom-
bres 3, 5 et 11, ce qu'il est facile de voir en divisant les
trois premiers par le même nombre 750, ce qui (Arith. 111 )
ne change point leur rapport.
Si le nombre qu'on propose de partager, au lieu d'être -
as ÉLÉMENS
i4ar>o, étoit tout autre ; s'il étoit en général représenté
par a, et que les nombres proportionnels aux parties en
lesquelles on veut le partager, au lieu d'être 3, 5, n
fussent; en général trois nombres connus et représentés
par les lettres m, n, p, il est visible qu'il ne faudroit
qu'imiter ce que nous venons de faire.
Ainsi, la première part étant représentée par x
Pour avoir la seconde , je calculerois le quatrième
terme de cette proportion m : n : : x :
Ce quatrième-terme, ou la seconde part, seroit
-, « x
donc -, — y
m
Et pour avoir la troisième, je calculerois le quatrième
terme de cette proportion m : p : : x :
Ce quatrième terme , ou la troisième part, seroit
px
donc. Ef.
m
Les trois parts réunies feroient donc x H - p -—,
m m
Chassant le dénominateur, on a mx+nx+px=m a,
ma
-
et par conséquent ( 13 J, en divisant, x = —— ;— »
ce qui nous donne lieu de faire remarquer l'utilité de
l'Algèbre, pour découvrir des règles de calcul.
Si Ton vouloit calculer le quatrième terme d'une pro-
portion dont Jes trois premiers seroient m+n+p: m : : a :
il est visible [Ârith. 116) que ce quatrième terme seroit
am ,
i et puis.. que nous trouvons que x est exprime,
D: ALGÈBRE. 23
B4
par la même quantité, concluons-en que, pour avoir x,
il faut calculer le quatrième terme d'une proportion dont
le premier est la somme des parties proportionnelles ;
le second , la première de ces parties ; et le troisième est
le nombre même qu'il s'agit de partager ; ce qui pst pré-
cisément la règle que nous avons donnée (Arith. 124).
20. On a fait partirde Dreux, pour Brest, un courrier,
qui fait 8 "kilomètre é par heure. Huit heures après son
départ, on en fait partir un autre de Paris, pour Brest,
et celui-ci fait 12 kilomètres par heure. On demande où il
rencontrera le premier, sachant d'ailleurs qu'il y a 68
kilomètres de Paris à Dreux.
Si l'on me disoit combien le second courrier doit faire
de kilomètres pour attraper le premier, je vérifierois ce
nombre en cette manière. Je chercherons combien le pre-
mier a dû faire de chemin pendant que le second a été en
marche; et comme ils en doivent faire en même temps
à proportion de leur vitesse, c'est-à-dire à proportion
du nombre de kilomètres qu'ils font par heure, je trou-
verois combien le premier a dû faire, en calculant le qua-
trième terme de cette proportion 12 : 8 ou 3 : 2 : : le
nombre de kilomètres faits par le second est au nombre
de kilomètres que te premier aura faits dans le même
temps. Ayant trouvé* ce quatrième terme, j'y ajouterois
le nombre de kilomètres que le premier courrier a dû faire
pendant les huit heures qu'il avoit d'avance , et enfin les
68 kilomètres deParisà Dreux, qu'il avoitaussi d'avance,
et le tout devroit former le nombre dé kilomètres que le
second a faits. Conduisons-nous donc de la même ma-
nière , en représentant par x le nombre de kilomètres qu&
fera le second courrier.
Pour trouver le nombre de kilomètres que le premier fait
pendant que le second en fait x, je calcule le quatrièin*
24 É L É MEN g
terme de cette proportion , 3 : 2 :: x : ; ce quatrième
terme est or, pen d ant 8 heures, ce même premier
courrier a dû faire 64 kilorn. à raison de 8 kilom. par
heure; et puisqu'il y a 68 kilom. de Paris à Dreux, si l'on
réunit ces trois quantités, on aura 3- + 64 4" 68 , ou
~+ 132 pour le c h emin qu'aura dû faire le secon d cour-
3
rier, lorsqu'il attrapera le premier. Puis donc qu'on a
supposé qu'alors il auroit fait x de kilom. il faut que
Il ne s'agit plus que d'avoir x par le moyen des règles
données ci-dessus. Je chasse donc le dénominateur 5,
et j'ai (16) l'équation 2 x + 396 — 30: ; transposant tous
les a; dans le second membre , et réduisant, j'ai 396 = x;
c'est-à-dire que les deux courriers se rencontreront lors-
que le second courrier aura fait 396 kilom. ou qu'ils se
rencontreront à 396 kilom. de Paris.
En effet, pendant que le second fera 396 kilom. le
premier fera 264 kilom., puisqu'il fait deux kilom. pen-
dant que le second en fait trois : or, il a 64 kilom.
d'avance, par les huit heures dont son départ précède
celui du second, et il a de plus 68 kilom. d'avance,
comme partant de Dreux ; il sera donc alors à 396 kilom.
de Paris, c'est-à-dire au même endroit que le second.
Avec un peu d'attention, on voit que quand on chan-
geroit les nombres qui entrent dans cette question, la
manière de raisonner et d'opérer n'en seroit pas pour
cela différente. Représentons donc en général par a l'in-
tervalle des deux lieux de départ, qui étoit 68 kilom.
dans la question précédente ; représentons par b le nom-
X) A L G E B R E. SD
ire d'heures dont le départ du premier courrier précède
celui du second ; par c le nombre de kilom. que le pre-
mier fait par heure, et par d le nombre de kilom. que
fait le second par heure.
Si nous représentons toujours par x le nombre de kilom.
que le second courrier doit faire pour rencontrer le pre-
mier, x sera encore composé de l'intervalle des deux
lieux de départ, du chemin que le premier peut faire
pendant le nombre b d'heures, et enfin du chemin que
le premier fera pendant tout le temps que le second sera
en marche.
Pour déterminer ce dernier chemin, j'observe que
les deux courriers, marchant alors pendant le même
temps, doivent faire du chemin à proportion de leurs
vitesses: ainsi, x étant le chemin que le second est sup-
posé faire, j'aurai celui que fait le premier pendant ce
temps , en calculant le quatrième terme d'une propor-
tion qui commenceroit par ces trois ci, d : c : : x : ; ce
quatrième terme sera -donc ( Àriih. 116 ), ou sim-
plement —Or, puisque ce premier courrier est supposé
faire le nombre c de kilom. par heure, il a dû, dans le
nombre b d'heures en faire b de fois autant, c'est-à-dire
8 fois si b vaut huit, 3o fois si b vaut trente ; en général
il en doit faire autant qu'il y a d'unités dans c X b ou b c:
il en a donc fait une quantité exprimée par b c.
® c *
Réunissons donc maintenant le nombre de kilom. e;
avec le nombre dekilom. b c et avec le nombre de kilom. a,
et le tout c dX + b c + a sera ce que le premier a dû faire :
or, on a supposé que x étoit ce qu'il a dû faire ; donc
26 É L É MEN S
~et bc + a. Chassant le dénominateur, on a,
dx = cx-{- bcd+ adj transposant, dx — cx — bcd
+ a d; divisant enfin ( 13 ), on a ~x~ ci— c^, qui
donne la solution de toutes les questions de cette espèce,
au moins tant qu'on suppose que les deux courriers vont
du même côté, et que le départ du courrier qui va le
moins vite précède celui du second.
Pour montrer l'usage de cette formule , reprenons
l'exemple précédent, et rappelons-nous que, dans ce
cas, a représente 68 kilom. c'est-à-dire, a=68 kilom.
&=}!h.,c=8 km., d=z 12km. Alors la valeur générale
2 1. Tel est donc l'usage de ces solutions générales,
qu'en y substituant, à la place des lettres, les nombres
qu'elles sont destinées à représenter, et faisant les opé-
rations que la disposition et les signes de ces lettres indi-
quent, on trouve la résolution de toutes les questions
particulières de même espèce.
Par exemple, si l'on proposoit cette autre question :
L'aiguille des heures d'une montre répond à 17 minutes,
et celle des minutes répond à 24 minutes, c'est-à-dire
qu'il esb^ h. 24' : on demande à quel nombre d'heures et
de minutes ces deux aiguilles seront l'une sur l'autre.
Puisque l'aiguille des heures et celle des minutes mar-
chent en même temps, la quantité b, par laquelle nous
avons représenté ce dont le départ d'un des courriers
précède celui da second, est ici zéro. L'intervalle des
D'ALG È B R E. 97
deux lieux de départ est ici le chemin que l'aiguille des
minutes a à faire pour venir de la vingt-quatrième divi-
si«m du cadran à la dix-septième, c'est-à-dire? que a — 53
divisions : or, pendant que l'aiguille des minutes parcourt
les 60 divisions, celle des heures n'en parcourt que 5 ; on
a donc c==5, d== 6o, Puisque b = o, je rejette de la
formule x = d , le terme bcd, ou b X cd,
d—c
parce que zéro multiplié par tout ce qu'on voudra, fait
toujours zéro. J'aurai donc, pour le cas présent,
x = , et en substituant pour a, d, c, leurs valeurs
-c
qu'il faudra que l'aiguille des minutes parcoure encore
57 divisions et :1 : ainsi, puisqu'elle répondoit à la vingt-
quatrième division, elle répondra à 81 divisions et 1'1;
ou, puisque 60 divisions font un tour, les deux aiguilles
seront l'une sur l'autre à 21' yï de l'heure suivante, c'est-
à-dire, 4h. 21' Tï-
2 2.. L'avantage des solutions littérales sur les solutions
numériques ne consiste pas seulement en ce que, pour
chaque question particulière, il ne s'agit plus que de
substituer des nombres : souvent, par certaines prépa-
rations, on rend ces solutions susceptibles d'un énoncé
simple et facile à retenir. Par exemple , la formule
a d + b c d
x= d- , que nous venons de trouver, est dans
ce cas : la quantité d étant facteur commun des deux
termes du numérateur, on peut écrire la valeur de x en
cette maniere : x~ — — -r-.— Or, sous cette
forme, on peut reconnoître que la valeur de x est le
ii8 É LE M E N S
quatrième terme d'une proportion dont les trois premiers
seroient d — c : d : : a + b c : ; mais, de ces trois termes,
le premier, d — c, marque la différence des vîtesses des
deux courriers ; le second , d, marque la vîtesse du se-
cond courrier ; et le troisième, a + bc, est composé de
l'intervalle a des deux lieux de départ, et de la quantité
b c ou c X b, qui exprime combien le premier courrier
fait de lieues pendant le nombre d'heures qu'il a d'avance ;
en sorte que a + bc marque toute l'avance que le premier
a sur le second. La résolution de la question peut donc
se réduire à cet énoncé : Multipliez le chemin que le
premier fait par heure, par le nombre d'heures qu'il a
d'avance, et l'ayant ajouté à l'intervalle des deux lieux
de départ, faites cette règle de trois. La différence
des vîtesses des deux courriers est à la vîtesse du second
comme la somme des deux nombres que vous venez
d'ajouter est à un quatrième terme : ce sera le nombre
de kilom. que le second courrier doit faire pour rencontrer
le premier. Ainsi, dans le premier exemple ci-dessus, le
premier courrier ayant 8 heures d'avance, et faisant
8 kilom. par heure, 011 a 64 kilom. à ajouter à 68 kilom.,
intervalle des deux lieux de départ, ce qui donne i 32.
Je calcule donc le quatrième terme de cette proportion :
12—8 :12 : : i3a :, ou 1 :3::132 ce quatrième terme
est 396 , comme ci-dessus.
Au reste, qu'il y ait des fractions ou qu'il n'y en ait
point, c'est toujours la même règle. Par exemple, si le pre-
mier courrier, faisoit 7 myriamètres en 4 heures, le second
13 myriam. en 5 heures ; si le premier courrier avoit 15
heures d'avance , et qu'eufin l'intervalle des deux lieux de
départ fût de 42 myriam., je dirois : Puisque le premier
courier fait 7 myriam. en 4 heures, c'est Z de myriam. par
heure ; pareillement, pour le second , c'est -y- de myriajoa.
D' A L G È B R E. 29
par heure: donc, pendant les 15 heures que le premier
a d'avance, il doit, à raison de Z de myriam. par heure,
faire 15 fois Z 4 de myriam. ou de myriam. lesquels, ajou-
tés à 42 myriam. font 42 + I:S , ou + Je calcule donc le
quatrième terme de cette proportion 5 - 4 5 4 '>
5 X .:22..
ce quatrième terme sera -\-;-;-, ou (Arith. 70 ),
~f 4
q49
rr^—j > ou ( en réduisant les deux fractions inférieures
5 4
1549 eS49
au même dénominateur )~--^7 » ou ~Tou (Arith.
r o i o
7^ ) 1f^ X 77, ou entin -~~ ; car en omettant le fac-
teur 20, qui doit multiplier le numérateur et le dénomi-
nateur, on ne change rien à la fraction. La valeur de
2-jj- est 208 -!1-7. C'est le nombre de myriam. que le second
courrier seroit obligé de faire.
Réflexions sur les quantités positives et les quantités
négatives.
23. Lorsqu'on a ainsi résolu d'une manière générale
toutes les questions d'une même espèce , on peut souvent
faire usage de ces formules générales pour la résolution,
d'autres questions, dont les conditions seroient tout
opposées à celles qu'on a eu en vue de remplir. Un
simple changement de + en — ou de — en +, dans les
signes des quantités, suffit souvent; mais avant de faire
connoître cet usage des signes, il faut les considérer sous
un nouvel aspect.
Les lettres ne représentent que la valeur absolue des
quantités. Les signes + et — n'ont représenté jusqu'ici
que les opérations de l'addition et de la soustraction ;
mais ils peuvent aussi représenter dans plusieurs cas la
*
3o É 'L É MENS
manière d'être des quantités les unes à l'égard des autres.
Une même quantité peut être considérée sous deux
points de vue op'posés, ou comme capable d'augmenter
une autre quantité, ou comme capable de la diminuer. 1
Tant qu'on ne r eprésentera les quantités que par des 1 ettres
ou par des n ombres, rien ne désignera quel est celui
de ces deux aspects sous lequel on les considère. Par
exemple, dans l'état d'un homme qui a autant de biens
que de dettes, le même nombre peut servir à exprimer
la quantité numérique des unes et des autres ; mais œ
nombre, tel qu'il soit, ne fera point connoître la diffé-
rence des unes aux autres. Le moyen le plus naturel de
faire sentir cette différence, c'est de les désigner par des
signes qui indiquent l'effet qu'elles peuvent avoir l'une wr
l'autre : or , l'effet des dettes étant de retrancher sur les
possessions, il est naturel de les désigner en leur appli-
quant le signe —.
Ces dernières quantités, que l'on appelle négatives,
ont donc une existence aussi réelle que les premières,
qu'on en distingue par la dénomination de positives, et
elles n'en diffèrent qu'en ce qu'elles ont une acception
toute contraire dans le calcul.
Les quantités positives et les quantités négatives peu-
vent se trouver et se trouvent souvent mêlées ensemble
dans un calcul, non-seulement parce que certaines opé-
rations, ont conduit, comme nous l'avons vu jusqu'ici,
à retrancher certaines quantités de quelques autres, mais
encore parce que l'on a souvent besoin d'exprimer dans
le calcul les différens aspects sous lesquels on considère
les quantités.
24, Si donc, après avoir résolu une question, il arri-
voit que la valeur de l'inconnue trouvée par les méthodes
ci-dessus, fût négative ; par exemple, ?à l'on parvenoit
D' A L G È B R F.. 31
à un résultat tel que celui-ci, x = - 3, il faudroit en
conclure que la quantité qu'on a désignée par x, n'a
point les propriétés qu'on lui a supposées en faisant le
calcul, mais des propriétés toutes contraires. Par exem-
ple , si l'on proposoit cette question : Trouver un nombre
qui, étant ajouté, à i5, donne 10. Cette question est évi-
demment impossible : si l'on représente le nombre cher-
ché par x, on aura cette équation: x + 15 = io, et
par conséquent, en vertu des règles ci-dessus, x =- io
- 15 ou x = — 5.
Cette dernière conclusion me fait donc voir que x,
que j'avois considéré comme devant être ajouté à 15
pour former 10, en doit, au contraire, être retranché.
Ai/isi toute solution négative indique quelque fausse sup-
position dans l'énoncé de la question; mais en même
temps elle en indique la correction , en ce qu'elle marque
que la quantité cherchée doit être prise dans un sens
tout opposé à celui dans lequel elle a été prise.]
En mettant l'équation o:-f-i5=io sous la forme
15 = lO-X, par la transposition de x dans le second
membre, on la fera répondre à cette question : Trouver
un nombre qui, retranché de 10, laisse pour reste 15. Ce
dernier énoncé , considéré numériquement , n'est pas
moins absurde que le prçmier; et pour voir comment
x==-5 y satisfait, il suffit d'observer que 15 est la
somme des nombres IC et 5; en sorte que la soustraction
est changée en addition dans ce cas, comme l'addition
l'a été en soustraction dans le précédent. L'on achèvera
de s'en convaincre en considérant que si dans l'équation
i5-|-.r=io, on met - 5 pour x, et que l'on passe 5 dans
le second membre au lieu de x, on aura i5=io4"5 ; d'où
l'on voit que + 5 répond à — x dans le même temps que
— 5 répondà x.
"Sa É L É MENS
2 5 [Concluons donc de-là que si après avoir résolu
une question dans laquelle quelques-unes des quantités
étoient prises dans un certain sens; si, dis-je , on veut
résoudre cette même question en prenant ces mêmes
quantités dans un sens tout opposé, il suffira de changer
les signes qu'ont actuellement ces quantités. Par exem-
ple , dans la question quatrième, résolue généralement
pour le cas où les deux courriers alloient vers un même
côté, si je veux avoir La résolution de toutes les questions
qu'on peut proposer dans le cas où ils viennent au-
devant l'un de l'autre , j'y satisferai en changeant dans
la valeur i de x que nous avons trouvee x =—-j ,
n— c J'
le signe de c. En effet, puisque le premier courrier vient
au-devant du second, au lieu de s'en éloigner, il diminue
le chemin que celui-ci doit faire ; il le diminue à raison du
chemin c qu'il fa if par heure : il faut donc exprimer que c,
au lieu d'ajouter, retranche ; il faut donc, au lieu de
+c, mettre —c. Ce changement donnera x = ~ad-bod
+<;
car le terme +b cd, ou + c x b d, indiquant l'addition
de c répétée un nombre b d de fois (Arith. 21 ), il faut
donc, lorsqu'on donne à c le- s?gne -, changer ces addi-
tions en soustraction, ou écrire —cX^,ou—cbd)
ou - bcd (Arith. 82), au lieu de + b cd; puis pour
changer dans le dénominateur, la soustraction de c en
addition, on doit mettre + c pour — c.
Confirmons tout cela par un exemple. Supposons'deux
CQurriers venant en sens contraires , et partis de deux
endroits éloignés de 4oo kilom. Le premier part sept
heures avant le second, et fait 8 kilom. par heure; le
second en fait 12 par heure. En nommant a: le chemin que
fera celui-ci jusqu'à la rencontre, je vois que x sera égal
à
D? A t G È B il Ê. 35
l, c
4 la différence entre la distance totale et le chemin qu'aura
fait le premier courrier : or, le chemin qu'aura fait celui-
ci est composé du chemin qu'il peut faire pendant sept
ieures et .du chemin qu'il fera pendant que le second
sera en marche : à l'égard de ce dernier chemin, on
le déterminera en calculant le quatrième terme de
cette proportion 12 : 8 ou 3 : 2 : : x : *, ce quatrième terme
Sera ~- ; et puisque le c h emin que fait le premier cour-
rier pendant les sept heures qu'il a d'avance, doit être
de 56 kilom, à raison de 8 kilom. par heure, il aura
2 x
â oc pour
le second courrier, que la quantité 4oo -—56 — ~, ou
5
544-Tx ; puis donc qu'on a représenté par x ce qu-'il
3
avoit à faire, il faut que x = 344 3 x > équation d'où
l'on tire 5ar=io3a—& x, ou 5x= 1032, ou enfin.
Or, si dans la formule x — — -, que nous pré..
d -f- c
tendons convenir à ce cas, l'on substitue 400 pouf a,
28 pour3 pour d et 2 pour c, on aura -
2
206 -) ce qui est absolument la même chose.
A mesure que nous avancerons, nous aurons soin de
Fixer de plus en plus l'idée qu'on doit se faire des quan-
tités négatives.
Ces exemples suffisent pour faire sentir la nécessité
54 é L É M E N S
d'apprendre à effectuer autant qu'il est possible les opé-
rations indiquées sur les quantités représentées en général
par des lettres.
Des opérations fondamentales sur les quantités consi-
dérées généralement.
26. On fait, en Algèbre, sur les quantités représen-
tées par des lettres, des opérations analogues à celles
qu'on fait en arithmétique sur les nombres-, c'est-à-dire,
qu'on les ajoute, on les soustrait, on les multiplie, ou
les divise, etc. mais ces opérations diffèrent de celles dç
l'arithmétique, en ce que leurs résultats ne sont souvent
que des indications d'opérations arithmétiques.
De l'Addition et de la Soustraction.
27. L'addition des quantités semblables n'a besoin
d'aucune règle; il est évident que, pour ajouter une
quantité représentée par a, avec la même quantité a,
il faut écrire 2 a. Pour ajouter 2 a avec 3a, il faut
écrire 5 a, et ainsi de suite.
Quant aux quantités dissemblables, et qu'on repré-
sente toujours par des lettres différentes, on ne fait
qu'indiquer cette addition, et cela s'indique par le
moyen de ce signe : + ( n". s ). Ainsi, si l'on veut ajou-
ter une quantité représentée par a , avec une autre repré-
sentée par b, on ne peut faire autre chose qu'écrire a + b;
en sorte qu'on ne connoît véritablement le résultat que
quand on connoît les valeurs particulières des quantités
représentées par a et par b. Si a vaut 5 , et si b vaut îfl,
a + b vaudra 17.
D'ALGEBRE. 33
C2
Pareillement, pour ajouter 5 a + 3 b, avec 9 a + 2 c *
fet 9 b + 3 d ) on écrira 5 fl 4~ 3 4~ 9 ~f" 2 c 4~ 9 4~ 3 tZ;
et rassemblant les quantités sehiblables, on aura i4 a-f
ia b + 2 C + 3 d. -
28. Il y a ies mêmes choses à dire sur la soustraction
que sur l'addition. Si les quantités sont semblables, on
n'a besoin d'aucune règle : il est évident que si de 5 a on
veut retrancher 2 a, il reste 3 a.
Mais si les quantités sont dissemblables, on ne peut
qu'indiquer la soustraction ; cela s'indique à l'aide de ce
signe : — (n°. a). Ainsi, si l'on a b à retrancher de a,
on écrira a - b. Pour retrancher 3 b de 5 a, on écrira -
fi a- 3b. Pour retrancher 5a + 4b, de 9 a + 66, on
écrira 9a + 6 b - 5 a - 4 b, et faisant déduction des
quantités semblables ( ce qu'on appelle faite la redLLC-
tion), on a pour reste 4 a + 2 b. Enfin, pour retran-
cher 5 a + 3 b + 4 c de 6 a + 4 b + 4d, on écrira
6a4"4^4"4^ — 5 a — 3 b —4e > eten réduisant, on
aura a b + 4 d — 4 c.
29. Un nombre qui précède une lettre s'appelle le
coefifcient de cette lettre: ainsi, dans 3 b, 3 est le coeffi-
cient de b. Lorsqu'une lettre doit avoir t pour coeffi-
cient, on ne met point ce coefficient: ainsi, lorsque de
3 a on retranche 2 a, il reste 1 c, on écrit seulement a. Il
faut donc bien se garder de croite que le coefficient d'une
lettre, lorsqu'il ne paroît point, soit zéro; il est alors
l'unité ou 1.
30. il importe peu dans quel ordre on écrive les
quantités qu'on ajoute ou qu'on retranche; si l'on a a à
ajouter avec b, on peut indifféremment écrire a + b ou
b + a; et pour retrancher b de a, on peut écrire égale-
1
36 ÉLÉMENS
ment a — b ou — b + a. Mais comme on prononce plus
aisément les lettres dans l'ordre alphabétique que dans
tout autre, nous suivrons cet ordre autant que nous le
pourrons.
3 1. Remarquons encore qu'une quantité qui n'a point
4e signe, étant censée avoir le signe + ( nQ. 8 ), on est
dans l'usage de supprimer ce signe lorsqu'il affecte la
quantité qu'on écrit la première ; mais si cette quantité
devoit avoir le signe —, il ne faudroit pas l'omettre.
32.* Lorsqu'après une opération, on procède à la
réduction, il peut arriver que l'on ait une quantité à
retrancher d'une autre plus petite : alors on retranche la
plus petite de la plus grande, et on donne au reste le
signe de la plus grande. Par exemple, si , après avoir
ajouté 2 a + 3 b avec 5 a — 76 , -on veut réduiie le ré-
sultat 2a + 3&-i-5a — 76, on écrira 70—46, en
retranchant 5b de 7 b, et donnant au reste 4b le-signe
qu'avoit 7 b. En effet, le signe — de 7 b dans la quantité
5 a -7 b, indique que 7 b doit être retranché; mais si
l'on vient à augmenter 5 a — 7 b de la quantité a a + 3 b,
il est visible que les 3 b qu'on ajoute, diminuent d'autant
la soustraction qu'on avoit à faire; il ne doit donc plus
y avoir que 4b à retrancher; il faut donc qu'il y ait
- 4 b dans le résultat. De-là nous conclurons cette
règle générale : L'addition des quantités algébriques se
fait en écrivant leursparties à la suite les unes des autres,
avec leurs signes tels qu'ils sont ; on réduit ensuite Les
quantités semblables à une seule, en rassemblant d'une
part toutes celles qui ont le signe +, et d'une autre part f
toutes celles qui ont le signe — ; eiifin on retranche le plus
petit résultat du plus grand, et on donne au reste le signe
qu avoit le plus grand.
IV A L G E B R E. 37
C3
EXEMPLE.
On veut ajouter les quatre quantités suivantes :
Faisant la réduction, j'ai pour les a, i5 a ; pour les b,
j'ai + 7 b d'une part, et - 9 b de l'autre, et par consé-
quent — 2 b pour reste ; pour les c, j'ai - 9 c d'une part,
et + 6 c de l'autre, et par conséquent 3 c pour reste:
réduisant les autres de même, on trouve enfw 15 a — nb
-3c + 9, d- 3 e.
33. Les quantités séparées par les signes + et —,
s'appellent les termes des quantités dont elles font
partie.
34* Une quantité est appelée monome, binôme, tri-
nome, etc. selon qu'elle est composée de 1, ou de 2, ou
de 3, etc. termes; et une quantité composée de plusieurs
termes dont on ne définit pas le nombre, s'appelle en
général un Polynome.
35» A l'égard de la soustraction des quantités algé-
briques, voici la règle générale : Changez les signes des
termes de la quantité que vous devez soustraire, c'est-à-
dire, changez -\-en—et—en + ; ajoutez ensuite cette
quantité, ainsi changée, avec celle dont on doit sous-
traite, et réduisez.
58 É L il M E N S
EXEMPLE.
De Sa— 3&-j-4c, on veut retrancher la quantité
6a — 56 6 c.
A la suite de 6 a- 3b + 4 c, j'écris - 5 a + 5 b-6 CI;
qui est la seconde quantité, dans laquelle on a changé 1
les signes, et j'ai 6a-3b+4.c.-5a+5b-6c, et.,
en réduisant, a + a b—a c pour reste.
Pour rendre raison de cette règle, prenons un exemple
plus simple. Supposons que de a on veuille retrancher hi
il est évident qu'on doit écrire a — b : mais si de a on veut,
retrancher b - c, je dis qu'il faut écrire a - b + c; en
effet, il est clair qu'ici ce n'est pas b tout entier qu'il
s'agit de retrancher, mais seulement b diminué de c : si
donc on retranche d'abord b tout entier en écrivant
a — b, il faut ensuite , pour compenser , ajouter ce
qu'on a ôté de trop-, il faut donc ajouter c, il faut donc
écrire a-b + c, c'est-à-dire, qu'il faut changer les
signes de tous les termes de la quantité qu'on doit SOUi-f
traire.
Dans les nombres, cette attention n'est pas nécessaire,
parce que , si l'on avoit 8 - 3 , par exem ple , à retran-
cher de 12, on commencerait par diminuer 8 de 3, ce
qui donneroit 5, qu'on retrancheroit de 12, et on auroit
7 pour reste; mais on voit aussi qu'on pourroit retran-
cher d'abord 8 de 12, et au reste 4 ajouter 3, ce qui
donneroit également 7 : or, c'est ce dernier parti qu'on
prend , et qieil faut nécessairement prendre en Algèbre ,
parce qu'on ne peut faire la réduction préliminaire
pomme sur les nombres.]
Qn peut encore démontrer ainsi cette règle.
§i l'on avait, par exemple, la quantité q + b, il est

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