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Nouveau manuel complet de mécanique, ou Exposition élémentaire des lois de l'équilibre et du mouvement (3e édition...) / par M. Terquem,...

De
429 pages
Roret (Paris). 1851. 1 vol. (XIV-327 p.) : pl. ; in-18.
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ENCYCLOPEDIE-RORET.
MÉCANIQUE
DE L'tMPtUMEfUE DE CRAPELET, RUE DE VAUGIRARD, 9.
AVIS.
te illérite des ouvrages de l'Encyclopédie-Roret leur
valu les honneurs de la traduction, de l'imitation et de
contrefaçon. Pour distinguer ce volume, il portera,
l'avenir, la véritable signature de l'Éditeur.
(C)
MANUELS-RORET
NOUVEAU MANUEL COMPLET
DE
MÉCANIQUE
ou
-., L' ,
/,) » ^EXjjbàlTION ÉLÉMENTAIRE
-■* DEI LCj/s DE ïfHQUILIBRE ET DU MOUVEMENT
\::";Ül pji M TERQUEM
Docteur' è'5 sciences , officier de l'Université, professeur aux Écoles
nationales d'Artillerie, et bibliothécaire du Depot central
de l'Artillerie; membre de l'Académie de Metz
et de l'Académie de Montpellier
TROISIÈME ÉDITION *
REVUE, CORRIGÉE ET SIMPLIFIÉE
—ar~ non —
PARIS
A LA LIBRAIRIE ENCYCLOPÉDIQUE DE RORET
RUE HAUTEFEUILLE , 12
1851
MÉCANIQUE. a
� PRÉFACE
DE LA PREMIÈRE ÉDITION.
Les règles de l'art, les procédés de' la pratique,
[sont l'expression des principes qu'enseigne la
science. Toutefois, c'est une vérité d'expérience,
qu'on peut connaître et appliquer parfaitement ces
règles, être très-habile dans ces procédés, et igno-
rer complètement les maximes théoriques qui ser-
vent de base aux unes et aux autres. Donc ces maxi-
es sont inutiles, se hâtent de conclure les partir
sans de la routine. Ce qui entretient chez eux cette
prévention contre les spéculations de la théorie,
c'est le grand nombre de machines ingénieuses, d'ad-
mirables constructions, inventées, perfectionnées et
dirigées par des mécaniciens étrangers aux travaux et
aux études de l'école. On ne veut pas considérer que
ces hommes, doués souvent d'un éminent esprit d'ob-
servation, apprennent par sentiment, et d'intuition,
pour ainsi dire, ce que l'intelligence moyenne n'ac-
quiert que par de longues déductions, revêtues des
formes démonstratives de la méthode didactique.
Ces mécaniciens d'instinct se dirigent d'après des
rincipes, jadis l'apanage exclusif de la science,
evenus aujourd'hui populaires, et une propriété
VI PRÉFACE.
commune de tous. Mais cette vulgarité, cette, cohm
munauté de connaissances, est un résultat des pluil
sublimes méditations du géomètre. Si Archimèd.)
n'avait pas créé la statique, si Galilée, Descartes*!
Huyghens, Newton, d'Alembert, Euler, n'eusse
pas établi les lois du choc et du mouvement, 1
fauteurs de l'empirisme auraient-ils des idées bi
justes, bien nettes, sur la vitesse, la force, les ce
tres de gravité, de percussion, et même sur les effet
des machines, dont si souvent il est question?
Pendant des milliers d'années, le genre humai]
a regardé des corps en équilibre et en mouvement
il a pu les observer et les soumettre à l'expérience
Qu'a-t-on appris? Rien. Il a fallu quelques théo
ciens, quelques spéculateurs en mécanique ra
nette, pour découvrir les lois dynamiques ; et, apr
cette découverte, deux siècles ont suffi pour réalis
des prodiges, pour élever la construction des naachj
nés à une hauteur que tous les siècles précédent
n'ont pas su atteindre. Ces réflexions nous para'
sent nécessaires pour répondre à des observati on
sur l'inutilité des théories, que l'on entend souv
faire même à des hommes versés dans les math
matiques. Les sciences exactes ont cela de par
culier, de faire beaucoup d'ingrats ; on oublie aisfl
ment leurs bienfaits : elles nous donnent les notion
les plus précises, les plus justes, sur les formes, lésa
mouvements, les forces qu'on rencontre dans lof
PRÉFACE. VU
nde matériel; elles enseignent leurs doctrines
ec une telle conviction, les entrelacent si intime-
ent avec notre existence intellectuelle, que ces
rines survivent longtemps aux méthodes pém-
BUfeS par lesquelles elles nous sont parvenues. De ces
odes nous ne nous rappelons que les peines ;
t nous nous persuadons facilement que les doctri-
nes nous sont naturelles ou pourraient être aoquises
à moins de frais, et que nous irions plus loin sans
ces épineuses argumentations ; semblables à l'oiseau
ui, éprouvant de la résistance dans l'air, s'imagi-
rait s'élever bien plus haut dans le vide. Cette
!lIe métaphore, que Kant applique à ceux qui
ent- l'expérience, est également juste pour
~~k qui méprisent la théorie. Nous avons donc
rché, dans ce Manuel, à enseigner ou à rappeler
Ses principales propositions de la mécanique des
Bolides aux personnes qui ont les connaissances pré-
Hjpunaires de la géométrie et du calcul littéral. Il
nt de jeter les yeux sur la Table des Matières
ur se convaincre que nous n'avons négligé aucun
Knnt essentiel ; nous sommes entré dans des détails
Suffisants pour faciliter l'intelligence de la matière,
~t donner les moyens de faire d'utiles applications à
Bi pratique. Nous avons fait un usage continuel de -
igénieuse théorie des couples, qu'on doit à
Poinsot, et qui fait époque dans l'enseignemen
la science.
VIII PRÉFACE.
Grâce à cette heureuse idée, qui est une vérita-
ble création, on peut trouver, par des considéra-
tions élémentaires, des propriétés fondamentales
qu'on était obligé naguère de chercher dans les
hautes régions du calcul infinitésimal! De telles
améliorations, aidant à propager les sciences, ont
pour conséquence d'en agrandir le domaine.
- PREFACE
DE LA SECONDE ÉDITION.
Nous avons conservé la théorie des couples, non-seu-
lement dans la statique , mais aussi dans la dynamique ,
où nous avons introduit, dès la premièré édition, les
couples d'inertie. Cette théorie est très-appropriée à l'en-
seignement ; car les couples donnent un corps à l'idée
des moments ; ils peignent ce que l'analyse ne fait qu'é-
noncer. C'est ce qui a permis à l'ingénieux auteur des
couples , de rendre visibles, de montrer, pour ainsi dire,
des théorèmes très-difficiles, qu'avant lui on démontrait
assez péniblement. Les procédés de la géométrie dite
descriptive , l'invention des couples , en introduisant
l'intuition dans la science, ont beaucoup contribué, si-
jion à l'enrichir, du moins à la propager; lorsqu'il s'agit
du grand nombre, l'enseignement par les yeux est le
plus prompt et le plus efficace. Et il y a déjà dix-neuf
siècles qu'on savait cela; on lit dans le code du bon
sens poétique :
Segnius irritant animos demissa per aurent
Quam quæ stint oculis subjecta Jidelibus.
Tout en rendant donc pleine justice à la belle doc-
trine de M. Poinsot, nous sommes obligé de convenir
qu'elle présente l'inconvénient de donner souvent des
idées fausses sur le mouvement de rotation aux élèves,
qui n'étudient que la statique. Nous avons cherché à
obvier à cet inconvénient; dans cette vue, nous avons
été obligé de donner au commençant des idées sur les
X PRÉFACE DE LA SECONDE ÉDITION.
diverses espèces de mouvements, sur le rôle qu'y jouent
les masses, etc. Toutefois, ce genre d'exposition ne
paraît pas convenable dans un traité sévèrement didacti-
que. La théorie des moments, telle qu'on la doit à Euler
est alors préférable; car, pour l'analyse, il n'existe que
la force et le point matériel ; l'existence d'un couple ou
d'une espèce de force particulière, affectée au mouve-
ment de rotation, est un hors-d'œuvre ; la rotation
considérée analytiquement, n'est qu'une translation mo-
difiée à chaque instant dans sa direction. Dans les pro-
blèmes les plus compliqués de la mécanique, la question
se réduit toujours à cet énoncé : Dans un instant donné
du temps, quelle est la vitesse et la direction d'un point
donné du système en mouvements ? Il n'y a donc de réel
que le point matériel, et la force qui l'anime ; la rota-
tion est une conception purement mentale propre à
soulager l'esprit, c'est une modalité du mouvement,
mais ce n'est pas un être sui generis.
On trouvera que, dans cette édition, on a simplifié
plusieurs théories et éclairci d'autres à l'aide de nom-
breux exemples..
- PRÉFACE
DE LA TROISIÈME ÉDITION.
Un vieil adage dit que le malheur est une grande
école de philosophie. Certes, le rocher de Sainte-
Hélène a inspiré a l'illustre captif des idées géné-
reuses que le trône donne rarement. Voici une de ces
pensées remarquables par la profondeur et par la
justesse d'expression : Tout métier doit aspirer à de-
venir art. En effet, la dignité de l'art consiste à avoir
un idéal qu'il cherche sans cesse à atteindre, à réa-
liser, et tout travail s'élève, participe à cette dignité
en acquérant un idéal, en obéissant aux inspirations
de l'intelligence. D'après le même principe, on
peut dire que toute science doit aspirer à devenir ma-
tllématzque. L'idéal de toute science, c'est la certitude.
Or, mathématique et certitude sont synonymes. Le
dernier degré de perfection surtout pour les sciences
physiques est de devenir accessibles aux deux agents
mathématiques, la ligne et le nombre, à la géomé-
trie et à l'algèbre. Plusieurs de nos connaissances
approchent de cette perfection ; telles sont l'acousti-
que, l'optique et surtout l'astronomie, devenue mé-
canique céleste; cette dernière science permet au-
jourd'hui à un habile calculateur, au moyen des
XII PRÉFACE DE LA TROISIÈME ÉDITION.
formules que l'illustre analyste Laplace lui a en-
seignées , de devinèr des planètes avant qu'elles -
soient observées. La mécanique particulièrement a
fait des progrès considérables depuis que ne s'atta-
chant plus exclusivement à la construction des ma-.
chines, elle est entrée dans le domaine des idées,
mathématiques, depuis qu'elle est devenue ration-
nelle. Que d'inventions ne doit-on pas au parallé-
logramme des forces introduit dans l'enseignement
par le rationaliste Varignon? au centre d'oscillation
découvert par Huyghens? à l'axe instantané de rota-
tion ? à la composition des mouvements de rotation
découverte par le génie universel d'Euler, au centre
de gravité, à la statique et à l'hydrostatique, créations
du rationaliste Archimède, et aussi le plus grand
machiniste de l'antiquité? De nos jours, la théorie
des machines doit ses principaux perfectionnements
aux rationalistes Navier et Coriolis. Des disciples
distingués de ces hommes de génie, qui doivent une
haute position sociale aux machines, à des expé-
riences et à des logarithmes, prétendent proscrire le
rationalisme etramener exclusivement tout au machi-
nisme, à l'empirisme et au logarithmisme, comme si
le créateur n'agençait son œuvre qu'avec des bielles,
des manivelles, des vannes, des soupapes, des pis-
tons , etc. ; comme sî les actions mutuelles des pla-
nètes pouvaient se mesurer avec nos dynamo-
mètres ; comme si la théorie des ondes, cette large
PRÉFACE DE LA TROISIÈME ÉDITION. XIII
base de la. physique moderne, pouvait s'expliquer
par une géométrie et une mécanique d'atelier, et
par des calculs de teneurs de livres ; ils parvien-
dront bien à abaisser en France la théorie, mais
ils ne relèveront pas la pratique. Les Vauban, les
Gribeauval, les Perronet, les Vaucanson , tout
comme les poëtes, naissent et ne se forment pas.
Des savants qui se disent Français, des Français qui ,
se disent savants, ont même osé effacer de l'ensei-
gnement un des plus beaux produits de l'esprit
français, cette magnifique conception des couples,
que l'Europe entière adopte et admire ; comme ils
ont omis dans la géométrie les théories toutes fran-
çaises des transversales, des pôles et polaires, et
même, chose inouïe, les polyèdres symétriques;
nous repoussons avec indignation un telvandalisme.
Dans cette édition, comme dans les précédentes,
nous avons conservé aux couples le rôle impolut
qu'ils occupent dans la statique et la dynamique.
Nous avons exposé simultanément les deux scien-
ces. L'enseignement isolé de la statique présente
des dangers qui ont déjà été signalés par Euler.
Nous avons ajouté une leçon sur la dynamométrie,
créée par le rationaliste Prony, et considérablement
perfectionnée par les praticiens contemporains.
Encore un mot sur la direction funeste qu'on veut
- imprimer aux études.
L'École polytechnique, par son haut enseigne-
XIV PRÉFACE DE LA TROISIÈME ÉDITION.
ment théorique, a imprimé à toutes les branches de
nos connaissances une tendance mathématique. Au-
jourd'hui on veut détruire cette tendance. Il est
donc très - conséquent de démolir l'enseignement
scientifique de l'École, et c'est ce qu'on fait. On cite
à l'appui de ce système rétrograde, dans un triste
rapport d'une triste commission, des opinions émises
par Lagrange, Laplace, Monge, Poisson, etc. Ces ci-
tations unilatérales d'un avocat qui plaide une détes-
table cause, mal comprises, sont faussement inter-
prétées. Est-il d'ailleurs admissible que ces hommes
illustres aient voulu proscrire les fruits de leur gé-
nie? rendre leurs ouvrages -inaccessibles aux élè-
ves? Le bon sens repousse une telle supposition.
Ils se sont élevés avec raison contre les minuties
puritaines de l'enseignement et non contre les mé-
thodes générales, non contre l'expôsition philoso-
phique des hautes théories, toujours au niveau de
l'état actuel. Les. preuves sont écrites dans leurs ou- -
vrages que chacun peut consulter; ce qui mérite
plus de confiance que des procès-verbaux accessi-
bles à quelques personnes privilégiées.
Le travail cité, d'une longueur démesurément
indigeste, inspire le mépris, respire la haine de la
théorie, ou plutôt des illustres théoriciens, et con-
firme cette pensée du poëte philosophe :
Uric enim fulgore suo qui prrcgravat arlu
Infra se positas.
AIÉCANIQUE. 1
MANUEL
DE
e
- MÉCANIQUE.
PREMIÈRE LEÇON. Il
MOtJVEMENT, FORCE.
1. Lorsqu'un corps se transporte dans l'espace
d'un endroit dans un autre, on dit que ce corps est
en mouvement.
Ce mouvement peut avoir lieu de deux manières :
ou tous les points du corps changent de place, telle
est, par exemple, une pierre jetée en l'air ; ou quel-
ques-uns restent en place, telle est une sphère qui
tourne autour d'un de ses diamètres.
2. Toute cause qui produit ou tend à produire le
mouvement s'appelle force ; ainsi, lorsqu'une boule
est mise en mouvement par la percussion d'un bâ-
ton, la caxise du mouvement, la force, gît dans 1»
corps choquant, dans le bâton; et lors même qu'un
obstacle empêche le corps frappé de se mettre en mou-
vement, il y a toujours tendance au mouvement.
5. Un corps inanimé ne peut se mouvoir de lui-
même. Ainsi, lorsque nous voyons un corps ina-
nimé se mouvoir, nous en concluons qu'il se meut
par l'effet d'une cause étrangère existant hors du
corps.
4. On distingue deux sortes de forces, 1° celle
2 LEÇON I.
qui gît dans des corps visibles, telle est, par exem-
ple, l'impulsion que donne un marteau; 2° les
forces, dont les agents sont invisibles, telles sont
celles qui font tomber les corps : car on ignore en-
tièrement ce qui fait que des corps éloignés de la
terre tendent à s'en rapprocher, ou bien encore ce
qui fait que le fer est attiré ou repoussé par l'ai-
mant. On a donné à cette dernière sorte de forces
le nom de forces attractipes ou répulsives. Il est en-
core une autre classe de forces, celles qui sont sous
l'empire de la volonté; on les désigne sous le nom
de forces animales. On pourrait même admettre
quatre sortes de forces; les forces d'impulsion, les
forces attractives ou répulsives, la force animale,
et les forces passives ou de résistance.
5. Un corps ne peut pas de lui-même altérer son
mouvement. Ainsi, quand nous voyons le mouve-
ment d'un corps se ralentir ou même s'éteindre,
c'est que des causes extérieures ont agi sur ce corps ;
par exemple, quand une boule se meut sur un plam
et qu'ensuite elle s'arrête, c'est que la résistance de
l'ai-, îç frottement qu'elle éprouve sur le plan, étei-
gnent peu à peu son mouvement.
6. Il suit de ce qui précède, que s'il n'existait
aucun obstacle qui arrêtât ou ralentît le mouvement
d'un corps, ce corps ne s'arrêterait jamais et se-
rait éternellement en mouvement. Supposons donc
qu'on fasse abstraction de tous les obstacles, et qu'il
n'existe dans l'univers qu'un seul corps; que ce
- corps soit sphérique : qu'il n'existe aussi qu'une
seule force qui agisse sur le centre et que nous sup>-
poserons être impulsive, et qu'après avoir agi, cette
force disparaisse, voyons ce qui arrivera au corps :
il est évident qu'il se mettra en mouvement en sui-
Tant une direction quelconque. Il ne pourra pas s'ô-
MOUVEMENT, FORCE. 3
ter le mouvement qu'il a reçu au premier instant,
et par conséquent, 1° il persévérera toujours dans
la même direction ; 2° il décrira toujours des espaces
rectilignes égaux dans des temps égaux, et persévé-
rera continuellement dans ce genre de mouvement.
7. On appelle mouvement rectiligne uniforme ce-
lui dans lequel un point décrit une, ligne droite en
parcourant toujours des espaces égaux dans des
temps égaux ; ainsi dans la supposition précédente
le mouvement est uniforme.
8. On appelle direction d'une force la ligne
qu'elle fait décrire ou tend à faire décrire au corps
sur lequel elle agit, et cette droite resterait toujours
la même s'il n'existait pas des forces qui altérassent
cette direction.
9. On appelle vitesse l'espace que tend à faire
décrire ou que décrit le corps dans l'unité de temps,
si aucun obstacle n'altérait le mouvement, et cet es-
pace serait toujours le même pour le même corps et
pour la même force s'il n'y avait pas d'obstacle.
Ainsi, quand on choisit pour unité de temps la mi-
nute, et qu'on dit qu'une force est capable de don-
ner troênnètres de vitesse, cela veut dire que si la
force, après avoir agi instantanément sur le corps,
disparaissait, et que le corps fût ensuite abandonné
à lui-même, et qu'il ne rencontrât pas d'obstacle,
il décrirait, dans la première minute, trois mèLv,,
trois mètres dans la seconde minute, etc., et ainsi
de suite.
10. On appelle masse d'un corps le nombre de
points matériels dont le corps est composé : lorsque
deux forces agissant sur deux sphères de masses
égales sont capables de leur donner la même vitesse,
les forces sont dites égales ; lorsque deux forces sont
telles, que la première est capable de donner à la
4 LEÇON I.
masse une vitesse V, et que la seconde est capable
de donner à la seconde masse une vitesse mV, la
deuxième force égale m fois la première. On sup-
pose toujours que les directions des forces passent
par les centres des sphères.
Observation essentielle.
- Lorsque nous parlerons de la vitesse d'un corps,
nous entendrons toujours que tous les points matériels
du corps sont animés de cette vitesse, et suivent la
même direction.
Lorsque deux forces agissent sur des masses éga-
les, elles sont entre elles comme les vitesses qu'elles
sont capables de produire, c'est-à-dire le rapport
des forces est égal au rapport des vitesses.
Lorsque deux forces sont capables de donner à
des masses inégales des vitesses égales, le rapport des
forces est égal au rapport des masses respectives. On
peut en conclure que le rapport de deux forces en
général est égal au rapport des masses, multiplié par
le rapport des vitesses. Désignons, en général, une
des forces par F, la masse sur laquelle elle agit par
M, et la vitesse qu'elle est capable de communiquer
par V, et soient f, m, v les mêmes objets rapportés
à la seconde force, alors on aura
11. Mesurer un objet quelconque, c'est trouver
combien de fois il contient un objet de même nature
qu'on est convenu d'adopter pour unité. Or, on a
pris pour unité de force celle qui est capable de don-
ner à l'unité de masse une vitesse égale à l'unité de
longueur; ainsi, pour cette unité de force, la masse
qui y correspond égale 1, et la vitesse égale 1 ; dési-
MOUVEMENT, FORCE. 5
gnons donc une force quelconque par F, et par M la
roasse sur laquelle elle agit, par V la vitesse qu'elle
est capable de produire, on aura
Pour avoir donc lamesure d'une force, on cher-
che combien de fois la masse sur laquelle elle agit
contient d'unités de masse, combien de fois la vitesse
contient d'unités de longueur, et le produit des
deux quotients donne la mesure de la force, c'est-à-
dire combien de fois elle contient l'unité de force.
12. On est dans l'usage de supprimer les déno-
minateurs dans l'équation précédente, et on écrit
l'équation de cette manière : F = MV, que l'on
énonce ainsi :
La force est égale à la masse multipliée par la vi-
tesse ; mais il ne faut pas oublier que ce n'est qu'une
manière abrégée de s'exprimer.
13. On a donné au produit de la masse par la vi-
tesse le nom de quantité de mouvement. C'est ainsi
qu'une force est mesurée par sa quantité de mouve-
ment : c'est encore ce même produit qui donne ce
qu'on appelle l'intensité de la-force*.
DEUXIÈME LEÇON.
DU CHOC DES CORPS DURS.
14. Un corps est l'assemblage d'une infinité de
points matériels liés les uns aux autres par une force
attractive à laquelle on a donné le nom de force de
» Voy. la note 1.
6 LEÇON II.
cohésion. Selon que cette force a plus ou moins d'in-
tensité, on éprouve plus de difficultés soit à dépla-
cer, les molécules, soit à déformer les corps, soit
enfin à séparer entièrement ses- molécules les unes
des autres, c'est-à-dire à briser le corps.
13. Un corps est parfaitement dur lorsqu'il
n'existe aucune force capable soit de déformer, de
fléchir, soit d'étendre ou de comprimer le corps,
soit de le briser.
16. Un corps est parfaitement mou lorsque la
plus petite force suffit pour déplacer ses molécules
les unes des autres, sans qu'elles fassent aucun
mouvement pour rétablir le premier état.
17. Un corps est parfaitement élastique lorsque,
après avoir été déformé par une cause extérieure
quelconque, il possède en lui-même une force ré-
pulsive de ressort qui lui fait reprendre sa première
forme.
18. Il n'existe pas dans la nature de corps parfai-
tement durs, ni parfaitement mous, ni de corps par-
faitement élastiques. Ils sont tous doués de ces pro-
priétés à divers degrés ; et de même qu'en géomé-
trie on considère les lignes comme parfaitement
droites et les surfaces comme parfaitement planes,
quoiqu'en réalité on ne les rencontre pas telles dans
la nature ; nous étudierons de même les corps par-
faitement durs, quoique leur existence ne soit
qu'une supposition mathématique, sauf ensuite à
modifier nos conclusions d'après l'état réel des cho-
ses. Par la même raison, nous ferons abstraction de
leur pesanteur, abstraction qu'il est d'ailleurs facile
de réaliser; on n'a qu'à supposer que les corps se
meuvent sur des plans horizontaux.
19. (Fig. 1.) Supposons donc deux sphères par- 4
faitement dures, de masses égales, animées de vi- J
DU CHOC DES CORPS DURS. 7
tesses égales, se dirigeant suivant la ligne qui joint
les deux centres et allant au-devant l'une de l'autre.
Lorsque ces deux mobiles se rencontreront, il y aura
nécessairement choc; comme elles sont parfaitement
dures, elles ne peuvent ni se déformer, ni se briser ;
et comme l'une ne pourrait continuer son chemin
sans pénétrer dans l'autre, il est évident que le mou-
vement devient impossible et s'éteindra; les deux
sphères s'arrêteront, et la vitesse de chacune, après
le choc, sera anéantie ; de sorte que si immédiate-
ment après le choc de ces sphères l'une d'elles dis-
paraissait, l'autre demeurerait immobile, en repos.
20. (Fig. 2.) Supposons maintenant que deux
sphères d'égales masses se touchent, et, étant ani-
mées de la même vitesse, se meuvent ensemble sui-
vant la droite qui réunit leurs centres et dàns le
même sens : si ce couple de sphères est choqué par
une sphère ayant même vitesse en sens opposé et
une masse double, ou bien ayant masse égale et
vitesse double (fig. 3), il est évident que le mouve-
ment cessera encore et que toute vitesse disparaîtra.
Nous pouvons même dire en général si n sphères
ayant chacune la masse M et la vitesse V, se mou-
vant ensemble dans le même sens, suivant la ligne
des centres, sont rencontrées suivant la même ligne
et en sens opposé par une sphère ayant une masse
nM et une vitesse V, ou bien une masse M et une
vitesse nV, alors le mouvement cessera et il n'y aura
plus de vitesse.
21. (Fig. 4.) Lorsque deux sphères se meuvent
suivant la ligne de leurs centres, et allant l'une con-
tre, sont animées de quantités de mouvement égales,
elles s'arrêteront. En effet, soient M la masse de la
première sphère et V sa vitesse, M' la masse de la
seconde sphère et V' sa vitesse, on peut remplacer
8 LEÇON II.
la première sphère par M sphères ayant pour masse
l'unité de masse, et animées chacune de la vitesse
V; -de même on peut remplacer la seconde sphère
M' par M' sphères ayant chacune l'unité de masse,
et animées chacune de la vitesse V. Par supposi-
tion, l'on a MV = M'V' ; par conséquent, il y a en-
core cessation de mouvement, c'est-à-dire qu'après
le choc la quantité de mouvement sera nulle (20).
22. Conservons les mêmes conditions de mouve-
ment que dans l'article précédent, mais admettons
MV > M'V', nous pouvons toujours supposer que
MV égale M'V', plus ui; excès de quantité de mou-
vement que nous représentons par E, de sorte qu'on
a MV =M'V' + E; lorsque le choc aura lieu, il est
évident qu'une partie de la quantité de mouvement
sera détruite (21), et qu'il n'en restera que la quan-
tité de mouvement E; et comme les deux corps ne
peuvent pas se pénétrer, ils marcheront ensemble
dans le sens de MV, et auront par conséquent une
vitesse commune v. On pourra alors les considérer
comme ne formant qu'une. masse M + M'animée
de la vitesse v. La quantité de mouvement après le
choc sera donc (M + M')e ; mais nous savons que
cette quantité de mouvement est E. On a donc l'é-
quation
La vitesse après le choc est donc égale à la diffé-
rence des deux quantités de mouvement qui existaient
avant le choc, divisée par la somme des masses.
EXEMPLE. Soit une sphère ayant pour masse
3 unités de masse et pour vitesse 5 mètres par se-
conde, choquée dans le sens opposé par une se-
DU CHOC DES CORPS DURS. 9
conde sphère dé masse 4 et de vitesse 6, la vitesse;
après le choc sera égale à 24 - 15 ou à 9 divisé
par 7,. c'est-à-dire à -2 mètre
25. L'équation [1] fait voir aussi que la quantité
de mouvement après le choc est égale à la diffé-
rence des quantités de mouvement qui existaient
avant le choc, ou est égale à leur somme algébri-
que en prenant négativement la quantité de mouve-
ment qui agit dans le sens opposé ; lorsqu'on a
VM = M'V', alors v = 0, ce qui s'accorde avec ce
qui a été dit n° 21.
24. Si deux masses M et M' se touchent et sont
animées toutes deux de la même vitesse V dans le
même sens, il est évident qu'il n'y aura pas choc, et
qu'on aura V(M + M') pour la quantité de mouve-
ment et V pour la vitesse commune.
25. Si deux sphères se mouvant sur la ligne
de leurs centres, dans le même sens, viennent à se
rencontrer, soient M la masse de la première et V sa
vitesse, M' la masse de la seconde et V' sa vitesse;
supposons MV plus grand que M'V' : après s'être
rencontrées, elles iront encore ensemble dans le sens
de la plus grande quantité de mouvement. - -
26. Représentons par E l'excès de la vitesse V
sur V, de sorte que l'on ait
V = V'+ E.
Représentons encore par v la vitesse commune
qui aura lieu après le choc, de sorte que la quantité
de mouvement après le choc sera égale à ν(M+M').
Or, on peut regarder la masse M comme étant ani-
mée de la vitesse V' et de l'excès E ; si la première
seule avait lieu, la quantité de mouvement après le
choc serait V'(M + M') (n° 24). Pour avoir donc la
quantité de mouvement totale, il faut encore ajouter
10 LEÇON II.
la quantité de mouvement ME, de sorte qu'on aura
après le choc
V'(M+M') + ME.
Mais cette même quantité de mouvement est re-
présentée par v multipliant M +M', on a donc l'é-
quation
v(M + M') = V'(M + M') + ME.
Mettant au lieu de E sa valeur, on aura
Donc la vitesse après le choc est égale à la somme
des quantités de mouvement qui avaient lieu avant
le choc divisée par la somme des masses.
EXEMPLE. Soit MV un boulet de 24 animé d'une
vitesse de 400 mètres par seconde ;
Soit M'V' un boulet de 6 animé d'une vitesse de
200 mètres par seconde ;
alors v = 360 mètres.
Ainsi, la vitesse après le choc sera de 360 mètres
par seconde.
Si les boulets allaient au-devant l'un de l'autre,
la vitesse après le choc serait égale à la différence
des quantités de mouvement, divisée par la somme
des masses :
Alors la vitesse serait de 280 mètres par seconde.
DU CHOC DES CORPS DURS. 11
1 De çe que V est plus grand que V', le second
membre est positif : donc le premier membre l'est m
aussi; par conséquent l'on a V > v.
De ce que M' < M + W, on tire V — v-<v -V'
On a donné le nom de vitesse relative à l'excès de
V sur V'.
De la même équation [2] on tire
Or V^> V', et V - V' est une quantité positive :
p — V' est donc aussi une quantité positive ; donc
ν > V'. Ainsi c est compris entre V et V', ce qu'il
était facile de voir à priori.
Si l'une des masses est en repos, si l'on a V = 0,
alors la vitesse après le choc sera
EXEMPLE. Soit un boulet de 24 ayant une vitesse
de 300 mètres par seconde, venant choquer une
12 LEÇON II.
masse de 100000 kilogrammes en repos, on a
v = 72 millimètres.
On voit donc que plus la masse en repos est con-
sidérable par rapport à l'ob choquant, moins sa
j et c h oquant, mo ins sa
vitesse est sensible. Lors donc que le corps choqué
est très-considérable, la vitesse est nulle; aussi une
pierre dure qui vient frapper la terre reste en repos;
de même lorsqu'on la lance contre un mur. La vi-
tesse v est évidemment plus petite que la vitesse V,
il y a donc perte de vitesse lorsqu'un corps dur cho-
que un autre corps en repos, parce qu'alors la quan-
tité de mouvement se répand sur une masse plus
grande, puisque la seule quantité de mouvement
qui animait la masse M se trouve répandue sur la
masse M + M'. On a donné le nom d'inertie à cette
cause de perte de vitesse, résultant d'une même
quantité de mouvement répandue sur une masse
plus grande. C'est à tort qu'on a donné à cette
cause le nom de force d'inertie, sous lequel on la
retrouve désignée dans la plupart des auteurs qui
ont écrit sur la mécanique. Cela donne lieu à des
notions fausses.
Résumé de la leçon.
28. 1° Lorsque deux masses sphériques dures se
meuvent suivant la ligne des centres, et vont à la
rencontre l'une de l'autre, la vitesse commune après
le choc est égale à la différence des deux quantités
de mouvement qui avaient lieu avant le choc, divi-
sée par la somme des masses, et cette vitesse a lieu
dans le sens du mobile qui est animé de la plus
grande quantité de mouvement.
2° Lorsque se dirigeant suivant la ligne de leurs
centres elles vont au-devant l'une de l'autre, et
DU CHOC DES CORPS DURS. 13
, .&. ,
wécanjqde. x 2
sont animées de quantités de mouvement égales,
toute quantité de mouvement sera détruite. -
3° Lorsque se mouvant suivant la ligne des cen-
tres elles se dirigent dans le même sens, la vitesse
commune après fie choc sera égale à la somme des
quantités de mouvement qui avaient lieu avant le
choc, divisée par la somme des masses, et la vitesse
a lieu dans le sens qu'avaient les deux mobiles.
4° Lorsqu'une sphère vient choquer une sphère
en repos, la vitesse qui a lieu après le choc est
égale à la quantité de mouvement du mobile di-
visée par la somme des masses : plus la masse du
corps choqué est grande par rapport à celle du
corps choquant, moins la vitesse est sensible.
5° En général, lorsque deux corps sphériques se
choquent suivant la ligne des centres, la vitesse
restante est égale à la somme algébrique des quan-
tités de mouvement divisée par la somme des
masses, c'est-à-dire en prenant négativement la
vitesse qui se dirige dans un sens opposé; et, en
général, la quantité de mouvement qui a lieu après
le choc, est algébriquement égale à celle qui avait
lieu avant le choc.
TROISIÈME LEÇON.
CHOC DES CORPS PARFAITEMENT ÉLASTIQUES.
29. Le corps élastique, comme nous avons dit
plus haut, est celui qui, après avoir été comprimé
par une force quelconque, possède une force inté-
rieure appelée ressort, en vertu de laquelle, lorsque
la force comprimante cesse d'agir, il revient à sa
première forme. Soit, par exemple, une sphère
14 LEÇON III.
élastique posée sur une surface plane et parfaite-
ment dure, et soumise à l'action d'une force qui la
presse .contre le plan dans le sens du diamètre per-
pendiculaire au plan; il est évident que pendant
ce temps le diamètre perpendiculaire ira en dimi-
nuant et le diamètre parallèle au plan en s'allon-
geant, et cela jusqu'à ce que la force de ressort soit
devenue égale à la force comprimante. Arrivée à
cette égalité, si nous supposons que la force com-
primante cesse tout à coup, le diamètre perpendi-
culaire s'allongera, et le diamètre parallèle se ré-
trécira jusqu'à ce que le corps soit revenu à son
état primitif; et le diamètre perpendiculaire, après
avoir atteint sa première grandeur, croît au delà
jusqu'à un certain point, et redescend de nouveau
au-dessous : ce mouvement oscillatoire a lieu pen-
dant quelque temps, et devient de plus en plus fai-
ble, avant de s'éteindre complètement. Cet effet est
rendu visible lorsqu'un marteau frappe une cloche;
on voit la cloche changer alternativement de di-
mension; ce qu'on peut aussi rendre sensible en
pressant un instant les branches d'une pincette et
les laissant ensuite aller librement. Ce mouvement
aurait lieu bien plus longtemps sans la résistance
de l'air, et, en effet, dans le vide, on remarque
qu'il se continue bien davantage.
29 bis. Soit une sphère élastique de masse M
animée de la vitesse V, allant frapper un plan fixe;
il est évident que le plan étant immobile, le corps
viendra se comprimer contre sa surface, et cette
compression sera d'autant plus grande, et durera
d'autant plus longtemps, que la quantité du mou-
vement aura été plus grande; et celle-ci ira tou-
jours en s'affaiblissant par la résistance que lui op-
posent les forces intérieures de ressort jusqu'à ce
CHOC DES CORPS ÉLASTIQUES. 15
qu'elle soit entièrement anéantie. A cet instant, si
le corps était mou, il resterait appliqué contre le
plan; mais en raison de l'élasticité, les ressorts in-
térieurs n'éprouvant plus d'obstacles, se débande-
ront dans le sens opposé, et récupéreront successi-
vement la vitesse que le corps avait en premier
lieu, mais dans le sens opposé; de sorte que le
corps s'éloignera ensuite du plan fixe avec la même
vitesse V qu'il avait lorsqu'il l'a rencontré. Tous
ces phénomènes de compression et de dilatation se
passent dans un instant indivisible pour nos sens.
50. Ainsi, en laissant tomber une bille d'ivoire
d'une certaine hauteur, elle rejaillit à la même -
hauteur environ dont on l'a laissée tomber, re-
tombe ensuite, revient encore, mais plus bas que
la première fois; retombe de nouveau, jusqu'à ce
que 1a hauteur soit devenue tout à fait insensible.
Moins l'air est dense, plus longtemps cet effet se
continue.
51. Soient deux sphères, l'une élastique, de
masse M et de vitesse V, et l'autre dure, de masse
M' et de vitesse V, allant au-devant l'une de
l'autre, et se dirigeant suivant la ligne de leurs
centres, il est évident qu'à l'instant du choc la sphère
élastique se pressera contre la sphère dure, et à la
fin de la compression on pourra les considérer
comme deux corps durs animés tous deux de la
vitesse commune v = —————-— et dirigée dans le
M - j - M -
sens de MV.~>M~V'. Si ce corps M était compres-
sible sans être élastique, alors les corps conti-
nueraient le chemin ensemble; mais M étant élas-
tique, les ressorts tendront à donner une vitesse
lopposée dans le sens de celle qu'if a, et cette vi-
tesse sera égale à celle de V - p qu'il a perdue par
16 LEÇON III.
le choc; car les mêmes causes, qui ont fait perdre
V - ç, de vitesse, agissant dans le sens opposé, ré-
tabliront la même vitesse V - v dans ce même sens,
en sorte qu'il aura dans le sens du mouvement une
vitesse p, et dans le sens opposé une vitesse V - v,
Il aura donc une vitesse égale à
p—(V—p)=2C—y.
Il peut arriver trois cas : »
Ou 2v est plus grand que V, alors le corps M
persistera dans sa première direction; ou 2v est
plus petit que V, alors le corps M changera de di-
rection et rebroussera chemin, ou bien l'on a
2c = V, alors le corps M restera en repos : quant
au corps M', il continuera avec la vitesse v; et dans
aucun des trois cas il ne peut être de nouveau ren-
contré par la sphère élastique.
52. Soient maintenant deux sphères élastiques
de masses M et M', animées de vitesse V et V' ; j
allant au-devant l'une de l'autre, suivant la ligne î
qui joint leurs centres. Supposons MV> M'V' ; l
lorsque les deux corps se rencontreront, il est évi"¡
dent qu'ils se comprimeront mutuellement, et à
l'instant de la plus forte compression on pourra les
considérer comme des corps durs ayant une vitesse
MV —M'V' ,
commune Il = r- et lngee dans le sens
M - ) - M
de V. Il est évident que dans cette compression 1
vitesse V a perdu une vitesse V — v (27); par con-
séquent, elle perdra, par la dilatation, la même vi
tesse V - ν; elle ne conservera donc de sa vitesse
que v — (V — p) = 2p — V. Maintenant le corps M
change de direction, marche dans le sens de M
après avoir eu la vitesse V' dans le sens opposé. 1
a donc acquis, dans le sens de la vitesse commune
-
CHOC- DES CORPS ÉLASTIQUES. îï
une vitesse = v + V. - Or, la dilatation ayant lieu
aussi dans le sens de la vitesse commune, il s'en-
suit donc qu'il aura pour vitesse, après le choc,
pîf p-f V' = 2e-f V'.
Désignons par u et u' la vitesse restante des deux
sphères, on aura
- Soient M =20, V =15 mètres par seconde;
M' = 12, V = 10 mètres par seconde ;
Ainsi, la première masse rebroussera avec une
d is l d ., d 1
vitesse de — et la deuxième ira dans le premier
85
sens de M, avec une vitesse de —.
4
55. Soient maintenant deux masses sphériques
M et M', se mouvant sur la ligne de leurs centres en
allant dans le même sens. Après le choc, il est évi-
dent qu'il y aura une vitesse commune c, et comme
alors les deux masses peuvent être considérées
dans ce temps comme des corps durs, on aura
p = MV-j-M'V7 , , ,
~m + M ,T/ dirige dans le sens du mouvement.
18 LEÇON Ill.
Cette vitesse v est comprise entre V et V' (27).
Soit V la plus grande des vitesses, alors la masse
M aura. perdu dans le sens du mouvement une vi-
tesse u = v — (V — P) = 2e — V. "La masse M' aura
au contraire gagné une vitesse v — V', et par le ré-
tablissement du ressort qui se fait dans le sens du
mouvement, elle en gagnera encore autant, donc
vl = p —|— (ν —V') = 2f— V'.
Soit, par exemple,
M = 20 ; V = 15 mètres par seconde ;
M' = 12^ Y' = 10 mètres par seconde;
nous avons lt - u' = V - V'; par conséquent la
différence des vitesses après le choc est égale à
celle qui avait lieu avant le choc; les vitesses rela-
tives sont donc égales avant et après le choc (27).
55 bis. On a, en mettant pour u et u' leurs va-
leurs
Mu + M'u' = M (2v — V) + M' (2v—V')
= 2111V - MV -f 2M'P — M'V'
= 2c (M + M') — MV — M'V'
= 2MV + 2 M'V'—MV — M'V'
= MV + M'V',
c'est-à-dire la somme des quantités de mouvement
après le, choc est égale à la somme des quantités
de mouvement avant le choc. Cette même pro-
CHOC DES CORPS ÉLASTIQUES. 19
priété a lieu lorsque les corps vont au-devant l'un
de l'autre. L'une des vitesses devient négative, et
la différence des quantités de mouvement' avant le
choc est égale à la différence des quantités de mou-
vement après" le choc. Ainsi, il n'y a donc pas,
algébriquement parlant, perte de quantité de mou-
vement dans les corps, soit durs, soit élastiques.
54. On a donné le nom de force vive (et nous
verrons plus loin la raison de cette dénomination)
au produit de la masse par le carré de la vitesse ;
dans le choc des corps élastiques la somme des
forces vives avant le choc est égale à la somme des
forces vives après le choc.
En effet, Ma2 = M (2v — Y)2
= M(4ν2 — 4νV + V2)
= 4v M (v- V) + MV2.
On aurait de même
M'u'2 = 4v M' (v - V') + M' V12;
donc
, Mas-f-MV2=4p(Me + M'e — MV— M'Y')
+ MV2 + M'V"
=MV2 ~1~ M'V'2 ;
car le premier terme s'anéantit en mettant pour v
sa valeur.
Appliquons ce résultat à l'exemple précédent
où l'on a
20 LEÇON III.
On a donc MV = 300 M'V = 120
Mu = 225 MV =195
donc MV + M'V' =420,
quantité de mouvement avant le choc, ---
Mu + M'u'= 420,
quantité de mouvement après le choc ; de plus on a
d'où MV2 = 4500
M'Y'2 =1200
MV2 + M'V'2 = 5700
somme des forces vives avant le choc.
choc-
55. Dans le choc des corps durs (26) la somme.
des forces vives, avant le choc, est toujours plus
grande que celle qui a lieu après le choc. En effet,
nous avons
force vive après le choc.
CHOC DES CORPS ÉLASTIQUES. 21
Or, ce quotient est plus petit que MV2 + M'V'2,
qui est la somme des forces vives avant le choc ; en
effet, la somme des forces vives après le choc est
(M + M')ν2; la différence de ces deux sommes est
donc
MV2 + M'V'2 — (M + M') p2
=MV* -j-M'V'2 -f (M -f-M') p2—2P(MV-f M'V') -
= M (Vâ -|- V2 - 2pV) + M' (V2 -f V2 — 2pV )
— M(V —ν)2 + M'(V' - ν)2. -
Mais, cette dernièree xpression est essentiellement
positive; donc
MV2 + M'V'2 > (M + M') P2.
Par -conséquent, l'excès des forces vives avant
le choc, sur celles qui ont lieu après le choc, est
égal à la somme des forces vives dues aux vitesses
perdues.
56. Si dans le numéro 51-, où l'on suppose les
corps allant au-devant l'un de l'autre, on fait
M = e, alors
donc u =%>—Y =V—V' —V =-Y',
a' = 2p-j- V' = y—Y' + Y' = V.
Donc, lorsque deux corps élastiques de masses
égales viennent au-devant l'un de l'autre, ils re-
broussent et échangent leurs vitesses entre eux.
Ainsi, si deux billes de'billard viennent au-devant
l'une de l'autre, elles rebroussent, la première avec
la vitesse de la seconde , et la seconde avec la vi-
tessse de la première; mais il faut que les deux
billes aillent l'une contre l'autre, et se choquent
suivant la ligne des centres.
22 LEÇON III.
57. Si, dans le numéro 55, on suppose M=M',
alors
Donc, lorsque deux billes de billard vont dans
le même sens, en se choquant, elles continuent
leur chemin, mais en échangeant leurs vitesses;
de sorte que celle qui allait la plus vite restera né-
cessairement en arrière.
58. Si, dans le même numéro 55, on suppose
Y' = 0, alors
-,- 1
Si on fait de plus M = M',
Ainsi, lorsqu'une bille en mouvement vient en cho-
quer une autre qui est en repos, la bille choquante
CHOC DES CORPS ÉLASTIQUES. 23
ces te en place, et la bille choquée part avec la vi-
nsse de la première.
t 59. Par le moyen de la proposition précédente,
I est facile d'expliquer l'expérience suivante : Un
fertain nombre de 'billes de masses égales sont sus-
ndues à des fils à côté les unes des autres et de
lianière que leur centre et leurs points de contact
soient sur une même ligne droite et horizontale.
In éloigne une des billes extrêmes , et on la laisse
retomber; elle restera en repos avec toutes les
dites intermédiaires, et il n'y aura que la dernière
rille qui partira avec une vitesse égale à celle de la
ùlle qui a frappé. Si on éloigne les deux pre-
mières, et qu'on les laisse retomber, ce seront les
leux dernières billes qui partiront, et ainsi de
uite.
40. Les corps de la nature ne sont ni parfaite-
ment durs ni parfaitement élastiques (18); en sorte
[ue les lois du choc ne peuvent pas leur être rigou-
eusement appliquées ; mais selon qu'ils se rappro-
tieront plus ou moins de ces deux espèces, ces
tis seront plus ou moins applicables.
Résumé des leçons sur le choc.
41. 1° Quels que soient les corps ou durs ou
lastiques, la quantité de mouvement après le choc
t algébriquement égale à celle qui a lieu avant le
Me, c'est-à-dire en prenant négativement les
tantités de mouvement dirigées dans le sens op-
Méy
2° Lorsque les corps sont durs, la somme des
irces vives , après le choc, est moindre que celle
ai avait lieu avant le choc : dans le choc des corps
astiques, elle est égale avant et après;
24 LEÇON III.
3° Dans les corps élastiques, la différence des vi
tesses, après le choc, est égale à celle qui ava'
lieu avant le choc, ayant égard au sens des vitesses
4° Lorsqu'un corps dur vient choquer un corp
en repos, tout le système continue à se mouvoir j
mais avec une vitesse moindre. Cette diminution s
recu le nom d'inertie, et lorsque ces masses son
égales, la vitesse du. système est égale à la moiti
de celle du corps choquant;
5° Lorsque deux corps élastiques viennent à 1
rencontre l'un de l'autre , ils rebroussent chemi
et lorsque les masses sont égales, ils font entre e
un échange de vitesse ;
6° Lorsqu'un corps élastique vient en choquer u
autre de masse égale, et qui est en repos, il se fer
aussi un échange de vitesse.
QUATRIÈME LEÇON.
MOUVEMENT RECTILIGNE ET UNIFORMÉMENT ACCÉLÉRÉ
MOUVEMENT VARIÉ EN GÉNÉRAL.
42. Dans tout ce qui précède, nous avons to
jours supposé qu'une sphère est soumise à l'actiof
d'une seule force. Nous allons considérer mainte-
nant le même corps soumis à l'action successive da
plusieurs forces agissant toutes suivant la même di-j
rection et suivant la même droite.
45. Soient deux sphères élastiques A et B dei
masses égales ; là première sphère A est animée dal
la vitesse V, et se dirige suivant la ligne des cen-
tres. La sphère choquée B est en repos au point I ]
D'après ce qui a été dit plus haut, la sphère B pan
tira avec la vitesse V, qu'avait A, et elle continuer
MOUVEMENT RECTILIGNE, ETC. 25
nÉCANIQUE. 3
à se mouvoir sur la ligne des centres d'un mouve-
ment uniforme. Si nous" représentons par T un
nombre quelconque d'unités données, et par E la
distance exprimée en mètres, où se trouvera la
sphère mobile B, après le temps T, on aura évi-
demment -
E = VT;
car, après une unité de temps, on aura V pour
l'espace parcouru. Après deux unités de temps,
l'espace parcouru sera 2V; après trois unités de
temps, 3V ; donc, après T unités de temps, l'espace
sera VT; donc, etc.
Dans cette équation, E exprime un nombre de
mètres, V exprime aussi des mètres, et T exprime
un nombre abstrait.
44. Dans le mouvement uniforme, les espaces
croissent proportionnellement aux temps ; car, soit
E' l'espace parcouru dans le temps Tf, on aura
El' V'I' E VT T ,
E' = Vf ; onc, = -, =;ù, par conséquent ces
espaces sont proportionnels aux temps. -
44 bis. Portons sur une droite indéfinie T distances
égales, représentant chacune l'unité de temps, éle-
vons une perpendiculaire à cette droite, représen-
tant la vitesse V, et achevons le rectangle, l'aire de
ce rectangle représentera l'espace parcouru ; car on
a évidemment
E = VT.
45: Lorsque, dans un mouvement uniforme, on
connaît l'espace décrit pendant un certain nombre
d'unités de temps, on trouve la vitesse en divisant
l'espace par le temps, car on a V - - E Par exem p le,
l'espace par le temps, caron aV='Ï" Par exemple,
supposons qu'on sache que, dans un mouvement uni-
26 LEÇON IV.
forme 2600 mètres ont été parcourus dans un quart
d'heure, l'unité de temps étant la seconde, il fau-
dra diviser 2600 par le nombre de secondes conte-
nues dans un quart d'heure, c'est-à-dire par 900",
ce qui donne
v=2f;
—- 9;
c'est-à-dire que le corps décrira 2 mètres § par se-
conde.
46. Connaissant dans un mouvement uniforme
la vitesse et l'espace, on peut trouver le temps
écoulé en divisant l'espace par la vitesse ; soit un
mouvement uniforme dans lequel la vitesse est 2
lorsqu'on demande le temps pendant lequel le corps
parcourra 2600 mètres, il faudra diviser 2600 par
2 f, et le quotient exprime un nombre de secondes,
c'est-à-dire 900 secondes.
47. Supposons maintenant qu'après un temps T,
la sphère B soit arrivée en lr, et qu'alors une sphère
C de masse égale vienne la frapper avec une vi-
tesse V + V'.
Il y aura un échange de vitesse ; la sphère C se
mouvra avec la vitesse V, et la sphère B aura une
vitesse V'-J-V ; en sorte qu'après un second temps
T, la distance de la sphère B au point l' sera
(V + V) T, et par conséquent la distance au point
de départ 1 sera alors (2V + V') T, et le temps
écoulé depuis le commencement du mouvement
sera 2T. Supposons qu'après un troisième intervalle
de temps T la sphère B vienne à être frappée par
une sphère de masse égale, et animée d'une vitesse
V + V' + V" dirigée dans le même sens ; en raison-
nant comme ci-dessus, la sphère B prendra la vi-
tesse V + V' + V", et, au bout du temps T, elle
sera éloignée du point où le choc aura lieu de
MOUVEMENT RECTILIGNE, ETC. 27
(V. + VI + V) T, et par conséquent, sa distance au
point primitif de départ 1 sera (3V + 2 V'+ V") T,
et alors se sera écoulé le temps 3T. On voit ce qu'il
y aurait à faire s'il y avait eu un plus grand nombre
de chocs. Distribuons sur la ligne des centres plu-
sieurs sphères ayant des vitesses uniformes ; mais la
première A est en repos, la seconde a une vitesse
V + V', et sa distance à la sphère A est exprimée
par (V + V') T. S'il y a n + 1 sphères en tout, la
dernière est celle qui a la plus grande vitesse, et sa
distance au point de départ A, après un intervalle
de temps nT, est égale à
T (nV + (n —1 ) V1'+ (n — 2) V"+ (n — 3) V"+ etc.).
48. Nous venons d'examiner un mouvement
dans lequel nous avons supposé V, V', V" des vitesses
quelconques ; admettons maintenant que toutes ces
vitesses soient égales chacune à V, c'est-à-dire que
l'on a
V = V'= 'V" = V'" = etc.
Alors les n sphères seront animées : la première,
d'une vitesse nulle;, la seconde , de la vitesse V ; la
troisième, d'une vitesse 2V; la quatrième, d'une
vitesse 3V; et la n + Ie sphère aura pour vitesse
nV; sa distance au point de départ, après un temps
nT, sera exprimée en mètres par
T(#ÎV + (n— 1) V -f- (n — 2) -f (n— 3)V -f-.-]-V)
=TV(« -f 1 -1- n —2+/Z—3-f-. +3-1-24-1 ).
Or, ce qui multiplie V est la somme de la pro-
gression naturelle depuis 1 jusqu'à n ; par-consé-
quent, désignant par E la distance de la n + Ie sphère
du point de départ, on aura
28 LEÇON IV,
Supposons, par exemple, qu'il y ait en tout
10 sphères qui soient choquées comme il a été dé-
crit;. après l'intervalle 10T, la dixième sphère
sera éloignée du point de départ d'un nombre de
mètres marqué par
Et elle aura pour vitesse 9V.
49. Dans le paragraphe précédent, nous voyons
la sphère B animée d'une vitesse V, et, après un in
tervalle T, recevoir un accroissement de vitesse V;
en sorte qu'elle a maintenant une nouvelle vitesse
2V, et, après un intervalle T, elle recevra encore
un accroissement. Nous voyons donc que la vitesse
croît avec les intervalles de temps t. Ces accroisse-
ments seront d'autant plus rapides que les inter-
valles seront plus courts. Représentons par u la vi-
tesse ; après n intervalles de temps, nous aurons
évidemment
u = riV.
Plus V sera petit et plus il faudra prendre n grand
pour que u acquière une grandeur sensible.
Si, par exemple, V = 0,000001 de millimètre, il
faudrait prendre mille millions d'intervalles de
temps pour rendre U = 1 mètre.
Représentons de même par T le temps égal à n
intervalles t, alors on aura
T = nt,
et de même, plus t sera petit, plus il faudra prendre ni
considérable pour que T acquière une valeur sensible.
Par exemple, si l'on prend t = 0,001 de millio-
nième de seconde, alors il faudra prendre n = un-
billion pour que T devienne une seconde. Ainsi, si
MOUVEMENT RECTILIGNE, ETC. 29
tous supposons V très-petit et pourvu que les in-
:ervalles de temps soient aussi très-petits, le mobile
lourra acquérir une vitesse finie au bout d'un temps
iensible.
Supposons que la vitesse augmente d'un mille
nillionième de mètre à chaque mille millionième de
;econde, au bout d'une seconde sa vitesse sera d'un
nètre par seconde ; donc, en supposant que V soit
l'une petitesse inappréciable, alors n sera infiniment
jrand et u aura une grandeur appréciable au bout
l'un temps T.
50. On a donné le nom de mouvement uniformé-
nent accéléré à celui où le mobile reçoit, à des inter-
ralles de temps égaux et inappréciables ou à chaque
estant, des accroissements de vitesse égaux et aussi
nappréciables; la force constante prend le nom de
rorce accélératrice.
Si. Reprenons les deux équations trouvées ci-
lessus :
En supposant dans ces équations v d'une petitesse
inappréciable, nous aurons un mouvement unifor-
mément accéléré. Substituons dans l'équation [1] la
T de l'équation [2], on aura
va l eur t -
Or, v et t restent toujours les mêmes, donc V croît
* On a remplacé u par V, et V par v.
30 LEÇON IV.
proportionnellement à T, c'est-à-dire que dans Ici
mouvement uniformément accéléré la vitesse çroîlj
proportionnellement au temps. Si nous représentent
donc par g la vitesse qui a lieu au bout d'une se-4
conde, noùs aurons la proportion
viff :: T:< j
d'où V=gT. - ]
Dans cette équation, V et g sont exprimés eni
mètres, et T en secondes. i
o2. Multipliant ensemble les deux équations [1]
et [2], il vient i
substituant cette valeur dans l'équation [3], on aura
Or, si nous prenons v et t infiniment petits, dès
VT
lors n étant infiniment grand, la fraction + VT de-'
ATI
vient nulle.
VT
On aura: donc E =—, J
- 1
mettant au lieu de V sa valeur gT, on a
Dans cette équation, E et g sont exprimés en
mètres et T en secondes. J
Ainsi, dans les mouvements uniformément accélé-
rcs, les espaces croissent comme les carrés des temps.
MOUVEMENT RECTILIGNE, ETC. 31
55. Les deux équations
servent à résoudre toutes les questions qu'on peut
proposer sur le mouvement uniformément accéléré:
supposons, par exemple, qu'un corps soit poussé
par une force accélératrice constante, telle qu'au
bout de la première seconde le corps prenne une
vitesse de 9m,8088 par seconde, alors on aura
g,= 9m,8088. Mettant cette valeur de g dans les
deux équations, on aura
Y — (9,8088)T,
E = (4,9044) T2.
Si on demande quelle est la vitesse du corps au
bout d'une minute, s'il n'y avait plus d'accéléra-
tions nouvelles, le 'corps décrirait alors 588m,b28
par seconde.
Si l'on demande quel est l'espace parcouru au
bout d'une minute; il faudra encore faire T = 60
dans la seconde équation ; alors on aura
E = 17675m,8400.
Donc l'espace parcouru au bout d'une minute
sera 17675m,8400.
La valeur de'la vitesse acquise g-au bout d'une
seconde dépend des forces accélératrices c, qui se
sont accumulées pendant cette seconde. Si nous re-
présentons par v et v' deux forces accélérées infini-
ment petites, agissant sur deux corps différents, et
correspondant aux valeurs g et fi, on aura évidem-
ment - -
g : g' :: v : v' ,
32 LEÇON IV.
donc g peut servir à mesurer la force accélératrice
dans chaque mouvement uniformément accéléré ;
ainsi, si l'on a g= 10 dans un mouvement accé-
léré, et g = 5 dans un autre mouvement accéléré, -
on en conclut que la première force accélératrice est
double de la seconde.
S4. Dans tout mouvement on peut mesurer, à
l'aide d'instruments connus, les espaces parcourus
et les temps pendant lesquels ils ont été parcourus.
Si l'on remarque que les espaces sont proportion-
nels aux temps, on en conclut que le mouvement est
uniforme ; si l'on remarque que les espaces sont
proportionnels aux carrés des temps, alors le mou-
vement est uniformément accéléré; si l'on ne re-
marque aucune de ces conditions, le mouvement
est varié, c'est-à-dire que la force accélératrice
croît et décroît à chaque instant suivant des lois dé-
pendant de la relation entre les espaces et les temps,
lois qu'on ne peut découvrir que par le calcul diffé-
rentiel et aussi par une méthode graphique qui sera
exposée plus loin. Supposons que l'on ait trouvé
que le mouvement est uniformément accéléré; on
tire de la seconde équation
Par exemple, on a reconnu que dans la chute des
corps pesants les espaces croissent comme les carrés
des temps ; on en a conclu qu'ils sont animés d'une
force accélératrice constante, et l'on a trouvé
g-=9m,8088.
En évaluant g de la pesanteur d'après les ancien-
nes mesures, on trouve
g =30p, 5p, 1l, 2pts,6623.
MOUVEMENT RECTILIGNE, ETC. 33
SS. Prenons sur une droite des distances égales
AIA2, AâA3, AsA., etc.; supposons que chacune
représente l'intervalle de temps T; élevons en As
une perpendiculaire A2B2 représentant la vitesse V
et achevons le rectangle A1A2B2C1 ; l'aire de ce rec-
tangle représente l'espace parcouru d'un mouve-
ment uniforme avec la vitesse V pendant le temps T
(voy. 44 bis) ; élevons en A3 la perpendiculaire A3B3
égale "à la vitesse V + Vi; achevant le rectangle
AaAjBjGj ; l'aire de ce rectangle représente l'espace
T(V + Yi) ; élevons en A4 la perpendiculaire AtB4
égale à V + Vi + Vi et construisons le rectangle
À3A4B4C3 et ainsi de suite. S'il y a n rectangles., la
somme des aires de ces rectangles représente l'es-
pace T(V+V1+V2. ) décrit pendant le temps nT;
lorsque le temps T est infiniment petit et que les
vitesses varient aussi de quantités infiniment petites,
les sommets Ci, Cg, Q des rectangles seront in-
finiment rapprochés et formeront une courbe conti-
nue, et l'aire du trapèze mixtiligne formé par la
courbe, les deux perpendiculaires (vitesses) ex-
trêmes et la ligne des temps, sera égale à l'espace
parcouru pendant le temps écoulé entre les vitesses
extrêmes; supposons, par exemple, que chaque
unité de temps et de vitesse soit représentée par un
mètre; alors le nombre de mètres carrés de l'aire
du trapèze mixtiligne est égal au nombre de mètres
décrits dans l'intervalle représenté par la ligne des
temps.
Nous verrons le parti qu'on a tiré de cette con-
struction dans la Mécanique pratique pour mesurer
des forces
36. Un Anglais nommé Atwood a inventé une
machine qui porte son nom, à l'aide de laquelle on
parvient à mesurer facilement les relations qui exis-
34 LEÇON IV.
tcnt entre les temps écoulés et les espaces parcou-
rus, dans la chute des corps. Cette machine se trouve
{:ans les cabinets de physique.
CINQUIÈME LEÇON.
CHUTE ET ASCENSION DES CORPS PESANTS.
57. Nous voilà maintenant en état de résoudre
toutes les questions sur la chute et l'ascension rec-
tiligne des corps pesants : occupons-nous d'abord
de la chute.
IER PROBLÈME. On demande quelle sera la vitesse
acquise au bout du temps T par un corps qui
tombe ?
SOLUTION. V = (9,8088)T, problème déjà résolu
ci-dessus.
IIE PROBLÈME. Quel est l'espace parcouru au bout
du temps T ?
SOLUTION. E = (4,904F)T2, problème aussi déjà
résolu.
me PROBLÈME. On demande le temps au'bout du-
quel un corps pesant acquerra une vitesse V.
y
SOLUTION. T = v où T exprime des se-
9,8088,
condes.
EXEMPLE. V=1m,
on tire 1
on tire 9,8088
Ainsi, au bout de 6"', un corps qui tombe acquiert
une vitesse d'un mètre par seconde.
CHUTE DES CORPS PESANTS. 35
IVe PROBLÈME. On demande quel temps il faut à
un corps pesant pour parcourir un espace donné ?
Ainsi, lorsque la pluie se forme à une lieue de
lauteur, il ne lui faudrait qu'une demi-minute et
iielques tierces pour arriver à terre, si on fait abs-
raction de la résistance de l'air.
¡.. Ve PROBLÈME. Étant donnée la vitesse de la chute,
n veut en connaître la hauteur.
i V
1 SOLUTION. On a T =~; substituant cette valeur
9
e T dans celle de E, on aura
r VIe PROBLÈME. Connaissant la hauteur de la chute,
ou ver la vitesse acquise ?
i SOLUTION. On a, par le problème précédent,
36 LEÇON v.
Ainsi, après avoir parcouru une lieue, un corpsi
pesant acquiert une vitesse de 294,6 par seconde..
On voit quelle énorme vitesse prendraient les corpsa
de l'atmosphère, tels que la grêle, la pluie, si cettM
vitesse n'était considérablement diminuée par la ré-
sistance de l'air.
58. Si un corps est lancé verticalement de base
en haut avec une vitesse donnée, et s'il n'existait nii
pesanteur ni résistance de l'air, le corps s'élèverait
indéfiniment avec une vitesse constante; mais dana
l'état des choses telles qu'elles existent, la pesan-
teur agissant en sens contraire de la vitesse impri-
mée, enlève à chaque instant une portion infiniment
petite de sa vitesse, et que nous avons représentée
par v. La résistance de l'air s'oppose aussi à som
mouvement; mais nous ferons abstraction de cette
diminution, et nous supposerons que le corps se,
meut dans le vide : nous n'aurons besoin d'avoini
égard qu'à la diminution de vitesse occasionnée pan
la pesanteur.
39. Soit u la vitesse imprimée au corps par Isl
force qui le lance; cette vitesse u ira sans cesse en
diminuant par les pertes qu'elle fait à chaque jn-I
stant, et elle sera entièrement éteinte lorsque l'ac-i
cumulation des petites vitesses v sera devenue égalol
à u, ou, ce qui revient au même, lorsque la seuiti
action de la pesanteur aura pu donner au corps l&J
vitesse u Alors la vitesse u sera éteinte. Or, dési-i
CHUTE DES CORPS PESANTS. 37
MÉCANIQUE. 4
gnons par T le temps au bout duquel la pesanteur
peut donner au corps la vitesse u, nous aurons
l'équation
Nous connaissons donc le temps au bout duquel
le corps cessera de monter.
Exemple. Supposons qu'on ait lancé un corps
de bas en haut avec une force capable de faire dé-
crire au projectile 100 mètres par seconde, alors
Ainsi, le corps cessera de monter au bout de
10",1.
60. Lorsque le corps aura atteint sa plus grande
élévation, sa vitesse imprimée étant entièrement
éteinte , et la pesanteur agissant toujours sur lui, il
est évident qu'il commence à descendre, et sa vi-
t-esse ira toujours en croissant. La pesanteur lui
rendra alors toutes les petites vitesses qu'elle lui
avait fait perdre lorsqu'il montait ; arrivé au point
de départ, la vitesse sera u, la même que le corps
avait en partant : or, nous avons vu que, pour
qu'un corps pesant acquière une vitesse u, il faut
M? ■
qu'il décrive un espace —.
Nous connaissons l'espace qu'il a décrit en des-
cendant, par conséquent nous savons aussi à quelle
hauteur il est monté.
Exemple. Supposons u — 100m, nous aurons

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