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Extrait

´UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
UFR de Math´ematiques
`These
Pr´esent´ee pour obtenir le diplˆome de
´Docteur de l’Universite Paris 7
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
Pr´esent´ee et soutenue publiquement le vendredi 10 d´ecembre 2004 par
´Julien Marche
Sur l’int´egrale de Kontsevich des nœuds dans les
vari´et´es de dimension 3
Directeur : Jury :
Pierre Vogel Christian Blanchet
Rapporteurs : Thomas Fiedler
Stavros Garoufalidis Bernhard Keller
Christine Lescop Maxim KontsevichREMERCIEMENTS
J’aimerais tout d’abord exprimer ma reconnaissance envers Pierre Vogel pour avoir dirig´e
ma th`ese avec beaucoup de comp´etence, de disponibilit´e et de gentillesse. Il a su me guider
efficacement tout en me laissant une grande libert´e dans mes recherches, et je ne le remercierai
jamais assez de m’avoir transmis un peu de sa grande culture math´ematique.
Je suis aussi tr`es redevable envers Gregor Masbaum et Christian Blanchet pour leur pr´esence
chaleureuse, leur int´erˆet constant pour mon travail et les bons conseils qu’ils m’ont prodigu´es
au cours de nombreuses discussions entre Paris, Nantes et Vannes.
Je suis tr`es heureux que Stavros Garoufalidis et Christine Lescop aient accept´e la p´enible
tˆache de rapporter ma th`ese. Je remercie Stavros Garoufalidis pour les nombreuses discussions
´electroniques qui ont motiv´e beaucoup de mes travaux de recherche et Christine Lescop pour
toutes ses remarques au cours d’un s´ejour `a Grenoble `a la fois utile et agr´eable.
Je remercie sinc`erement Thomas Fiedler, Bernhard Keller et Maxim Kontsevich pour avoir
accept´e de faire partie de mon jury.
Ces remerciements ne seraient pas complets si j’oubliais Tomotada Ohtsuki et Kazuo Habiro.
Enm’invitantauRIMS`aKyotoenjuillet2004,ilsm’ontdonn´elapossibilit´ed’´echangerdenom-
breuses id´ees et de d´ecouvrir un tr`es beau pays. Je tiens´egalement `a remercier les organisateurs
des nombreux s´eminaires de topologie Paris-Nantes-Vannes ainsi que ceux du GDR-Tresses et
G´eom´etrie de basse dimension `a Autrans en juin 2004. Ces rencontres math´ematiques furent `a
chaque fois un enrichissement et un grand plaisir.
Enfin,ilmesembleimpossibled’oublierBernhardKeller,HaroldRosenbergetClaudeViterbo
que je remercie pour le rˆole pr´epond´erant qu’ils ont jou´e dans mon ´education math´ematique,
´ainsi que Marc Rosso et Etienne Ghys pour leur pr´esence bienveillante le long de mes ann´ees de
th`ese.
Je voudrais aussi remercier Mich`ele Wasse et Catherine Salzard pour avoir pris en charge les
aspects mat´eriels et administratifs de cette th`ese avec efficacit´e et bonne humeur.
Il va sans dire que cette th`ese n’aurait jamais pu voir le jour sans les conditions extr`emement
propices rendues possibles par les th´esards de Chevaleret : que Catriona, Ingo et Majid, par
exemple, se le tiennent pour dit! Je veux ensuite saluer ici mes amis Agathe, Alexis, Benoit,
Nicolas, Laurent, Philippe, Sandrine, Sebastien, Thomas et Yan pour les nombreux moments de
d´etente que nous avons partag´es, Itaˆı, Sylvain et Isa, Rafe et Julia pour leur amiti´e tout aussi
ind´efectible, Ricardo, Myrko, Nurt et Popayan pour la musique et ce qui va avec, et enfin et
surtout Marianne pour tout et le reste.
Pour finir, je remercie profond´ement mes parents et mes sœurs C´eline et H´el`ene qui depuis
Toulouse m’ont constamment manifest´e leur soutien `a tous les moments de cette th`ese.`TABLE DES MATIERES
Remerciements.......................................................................... 3
Introduction.............................................................................. 9
Partie I. Invariants de type fini des graphes plong´es dans une vari´et´e de
dimension 3.............................................................................. 15
1. G´en´eralit´es sur la filtration de Vassiliev........................................... 17
1.1. D´efinitions.......................................................................... 17
1.2. La filtration de Vassiliev............................................................. 18
1.3. Espaces de diagrammes............................................................. 19
1.4. Application symbole................................................................. 20
1.5. Lien avec la filtration usuelle........................................................ 22
2. Int´egrale de Kontsevich et graphes trivalents..................................... 23
2.1. L’int´egrale de Kontsevich standard.................................................. 23
2.2. Extension aux graphes trivalents.................................................... 26
2.3. Int´egrale des graphes trivalents dans des graphes trivalents ´epaissis................. 28
3. Un invariant universel en degr´e 1.................................................. 33
33.1. La sph`ere S et les surfaces ´epaissies................................................ 34
3.2. Vari´et´es de groupe fondamental fini................................................. 35
3.3. Vari´et´es de groupetal infini............................................... 39
3.4. Compatibilit´e avec les revˆetements d’indice fini..................................... 43
3.5. Retour `a la filtration de Vassiliev standard.......................................... 45
3.6. L’exemple des espaces lenticulaires.................................................. 47
Partie II. Le cas des nœuds dans une sph`ere d’homologie........................ 51
4. Int´egrale rationnelle et filtration en boucles...................................... 53
4.1. Isomorphisme de Poincar´e-Birkhoff-Witt............................................ 53`6 TABLE DES MATIERES
4.2. Enroulement et D´eroulement........................................................ 54
4.3. L’int´egrale rationnelle............................................................... 56
4.4. Filtration en boucles................................................................ 60
4.5. Revˆetements cycliques et rel`evement des diagrammes............................... 62
4.6. Appendice........................................................................... 63
5. Le cas des nœuds toriques........................................................... 67
5.1. Introduction......................................................................... 67
5.2. Expressions diagrammatiques de l’int´egrale.......................................... 69
5.3. Rationalit´e.......................................................................... 74
5.4. Revˆetements ramifi´es................................................................ 77
6. L’int´egrale rationnelle en degr´e 2................................................... 79
6.1. G´en´eralit´es sur la partie `a deux boucles de l’int´egrale de Kontsevich................ 79
6.2. Une formule de chirurgie............................................................ 81
6.3. Int´egralit´e........................................................................... 84
6.4. Partie `a deux boucles des cablages toriques......................................... 91
6.5. Partie `a deux boucles des g´en´eraux........................................ 92
6.6. Partie `a deux boucles des nœuds tordus............................................. 94
6.7. Signature d’un nœud et terme `a deux boucles....................................... 97
Bibliographie............................................................................. 99`TABLE DES MATIERES 7
R´esum´e
Cette th`ese est consacr´ee `a l’´etude des invariants de type fini des nœuds dans les vari´et´es
de dimension 3. Dans une premi`ere partie, nous ´etudions le cas g´en´eral des plongements de
graphes en bande dans les vari´et´es de dimension 3. Nous rappelons la construction de l’int´egrale
de Kontsevich et montrons qu’on peut l’´etendre en un invariant de plongements de graphes en
bande trivalents dans des graphes en bande trivalents´epaissis. Nous montrons que cet invariant
est compatible par composition des plongements. Puis, dans le cas des plongements de graphes
en bande dans les vari´et´es quelconques, nous proposons un cadre dans lequel cette int´egrale se
g´en´eralise au niveau du degr´e 1. Dans une seconde partie, nous ´etudions plus sp´ecifiquement
l’int´egrale de Kontsevich des noeuds dans les sph`eres d’homologie rationnelles. L’invariant de
Kontsevichs’exprimecommeunes´eriedediagrammesmonotrivalentsmodulocertainesrelations.
Ilesttr`esdifficileded´eterminercettes´erieexplicitement.LestravauxdeL.Rozansky,A.Kricker
et S. Garoufalidis ont permis de mettre en ´evidence la structure rationnelle de l’int´egrale de
Kontsevichetc’estleurpointdevuequenousavonsadopt´edanscettepartie.Apr`esavoirrappel´e
les techniques introduites par leurs travaux, nous prouvons de fa¸con purement combinatoire une
formule explicite de l’int´egrale des noeuds toriques `a l’aide d’arbres dont on a rempl