1GENERALIZED ENRIQUES DIAGRAMS AND CHARACTERISTIC CONES

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
1GENERALIZED ENRIQUES DIAGRAMS AND CHARACTERISTIC CONES GERARD GONZALEZ-SPRINBERG Abstract. Generalized Enriques diagrams are combinatorial data as- sociated with constellations of infinitely near points and proximity re- lations. Classically they were introduced to deal with linear systems of curves with base conditions. We present a survey on some aspects and new results on this diagrams, examples and applications to relative characteristic cones and Zariski's complete ideal theory. 1. Introduction In [6] (Libro Quarto: “Le singolarita delle curve algebriche”, I. 12 et II. 17), Enriques and Chisini consider systems of plane curves passing, with assigned multiplicities, through an assigned set of points or infinitely near points to a point of the plane. They found that there exist curves with such prescribed multiplicities (with no conditions on the degree of the curves) if and only if some inequalities, on these virtual multiplicities, hold for the given points, the so-called proximity relations. Enriques associates a graph (“schema grafico”) to the constellation of infinitely near points appearing in the desingularisation of a plane curve and equiped this graph with the data of the proximity relations which keep track of the incidence between points and the exceptional divisors obtained by blowing-up precedent points. Du Val also considers these proximities relations (see [5]) and defines the proximity matrix. Some years later Zariski introduces the notion of complete ideals to give a new algebraic setup of the previous geometric theory ([14], [15]), where complete (i.

• cone associated


• intermediate point


• dimensional local


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• characteristic cones


• dimension than


• minimum dimension


• complete ideals

Informations

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Extrait

Le Point Guy 29/11/07 15:50 Page 6

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LE POINT

Surlapisteduvivant

L’évolution… une suite d’innovations morphologiques dues aux changements de climat, de configuration des masses terrestres et au hasard : une longue course entre les espèces. > PAR CHRISTIANE DENYS, DÉPARTEMENT SYSTÉMATIQUE ET ÉVOLUTION, MUSÉUM NATIONAL D’HISTOIRE NATURELLE elon la définition biologique, patrons et des processus cherchant à retra- l’évolution concerne la descen- cer l’histoire des grands groupes d’orga- dance avec modification sous l’ef- nismes en précisant les affinités entre fet de la sélection naturelle. Cette taxons*. Grâce au développement fou- c’es S t la façon dont la descendance de dif- définition s’applique à l’étude des droyant de la phylogénie moléculaire*, il changements de fréquence de devient en effet possible de retracer l’arbre gènes dans une population et de du vivant avec une précision inégalée à leur transmission à la génération suivante. ce jour, tandis que les témoins fossiles Ce qui est moins facile à appréhender, apportent leur contribution en fournissant des explications sur l’âge des divergences, férentes espèces peut s’effectuer à partir les r ythmes de diversification au sein d’un ancêtre commun au cours du temps, des clades*en lien avec les grands événe- qui se mesure en millions d’années. ments biogéographiques et climatiques En effet, au cours des 4,6 milliards (voir p. 22-24). d’années que compte la Terre, une longue Actuellement, une partie des débats évolution des environnements et des orga- concernant l’évolution porte sur les trois nismes s’est opérée. Si la diversification de questions suivantes : la variation géné- la vie a démarré il y a environ 3 milliards tique actuelle est-elle le fait du hasard ou d’années avec les bactéries, en évoluant existe-t-il des directions privilégiées d’évo- à partir d’organismes unicellulaires, il a lution dues aux contraintes évolutives? Le fallu attendre les 600 derniers millions hasard ou les processus de sélection inter- d’années pour que le monde terrestre soit viennent-ils à tous les s tades dans l’accu- enfin conquis. mulation des changements évolutifs ? Grâce aux archives fossiles, on peut À quel niveau les processus de sélection retracer l’histoire, les modes et les rythmes agissent-ils: ADN, populations, espèces ou d’évolution des espèces sur le g lobe. organismes? L’étude de la diversification des grandes Nous verrons ici comment, à travers lignées (phyla) appartient à une discipline l’étude des archives paléontologiques et nommée macroévolution. Ce dernier des arbres de phylogénie moléculaire, terme a été créé par l’Américain George nous pouvons essayer de répondre à ces Simpson en 1944 et désigne l’étude des questions.