Approximants de Pade et series hypergeometriques equilibrees

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Approximants de Pade et series hypergeometriques equilibrees S. Fischler et T. Rivoal Resume. Dans cet article, nous enonc¸ons et resolvons des problemes d'approximation de Pade nouveaux et tres generaux dont les solutions s'ex- priment a l'aide de series hypergeometriques : par specialisation, ces series permettent de retrouver l'irrationalite de ?(3), d'une infinite de ?(2n+ 1), n entier ≥ 1, et essentiellement tous les resultats de cette nature deja presents dans la litterature. Nous presentons egalement deux nouvelles applications diophantiennes de notre methode. Mots cles. Approximants de Pade, series hypergeometriques, approxi- mation diophantienne, fonction ? de Riemann. Abstract. In this article, we present and solve some very general new Pade approximant problems, whose solutions can be expressed with hyperge- ometric series. These series appear in the proofs of the irrationality of ?(3), of infinitely many ?(2n+ 1), and in essentially all results of this kind in the literature. We also prove two new diophantine results with this method. Key words. Pade approximants, hypergeometric series, diophantine approximation, Riemann ? function. 1 Introduction Les demonstrations donnees par Apery en 1978 [Ap] de l'irrationalite de ?(2) et ?(3) sont apparues initialement comme tres mysterieuses. Neanmoins, dans [Be2] et [Be3], Beukers est parvenu a les replacer dans le cadre plus connu des approximants de Pade des polylogarithmes, definis (pour s ≥ 1 et 1

• lacet entourant les points ?n


• irrationalite de ?


• systeme d'equations lineaires


• serie


• demonstration alternative


• unique solution


• theoremes d'apery


• approximants de pade

Sujets

• Système d'équations linéaires

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Approximants de Pade et series
hypergeometriques equilibrees
S. Fischler et T. Rivoal
Resume. Dans cet article, nous enon cons et resolvons des problemes
d’approximation de Pade nouveaux et tres generaux dont les solutions s’ex-
priment a l’aide de series hypergeometriques : par specialisation, ces series
permettent de retrouver l’irrationalite de (3), d’une in nite de (2n + 1),n
entier 1, et essentiellement tous les resultats de cette nature dej a presents
dans la litterature. Nous presentons egalement deux nouvelles applications
diophantiennes de notre methode.
Mots cles. Approximants de Pade, series hypergeometriques, approxi-
mation diophantienne, fonction de Riemann.
Abstract. In this article, we present and solve some very general new
Pade approximant problems, whose solutions can be expressed with hyperge-
ometric series. These series appear in the proofs of the irrationality of (3),
of in nitely many (2n + 1), and in essentially all results of this kind in the
literature. We also prove two new diophantine results with this method.
Key words. Pade approximants, hypergeometric series, diophantine
approximation, Riemann function.
1 Introduction
Les demonstrations donnees par Apery en 1978 [Ap] de l’irrationalite de(2)
et (3) sont apparues initialement comme tres mysterieuses. Neanmoins,
dans [Be2] et [Be3], Beukers est parvenu a les replacer dans le cadre plus
connu des approximants de Pade des polylogarithmes, de nis (pour s 1 et
1jzj< 1) par le developpement en serie entiere
1 kXz
Li (z) = :s sk
k=1
De fa con precise, il considere les deux problemes suivants : determiner pour
tout entier n 0 des polyn^ omes a, b, c de degre au plus n tels que
(
n 1S(z) =a(z)Li (1=z) +b(z)Li (1=z) +c(z) = O(z )2 1
(1)
n+1R(z) =a(z) log(z) b(z) = O (1 z)
1et des polyn^ omes A, B, C et D de degre au plus n tels que ( )
8
n 1>U(z) =A(z)Li (1=z) +B(z)Li (1=z) +C(z) = O(z )2 1<
n 1 (2)V (z) = 2A(z)Li (1=z) +B(z)Li (1=z) +D(z) = O(z )3 2>:
W (z) =A(z) log(z) B(z) = O(1 z):
Remarque : etant donnee une fonctionF (w) developpable en serie de Laurent
P+1 nF (w) = a w au voisinage de w = 0 (avec w =z, 1=z ou 1 z dansnn= m
N+1la suite), on noteF (w) = O(w ) sia =a = =a = 0. Il s’agitm m+1 N
d’une majoration quand z tend vers 0, l’in ni ou 1 (suivant la valeur de w).
Les solutions de ces deux problemes et de ceux qui suivent font intervenir
les series hypergeometriques F de nies (pour q 1) par :q+1 q
? 1X? ( ) ( ) ( ) ; ; :::; 0 k 1 k q k0 1 q k?F z = z ;q+1 q ? ; :::; 1 q (1) ( ) ( )k 1 k q k
k=0
ou les , etz sont des complexes convenables, et () =( + 1) ( +j j k
k 1) est le symbole de Pochhammer. Dans les ouvrages traitant de ces
fonctions (par exemple [AAR]), on trouve les de nitions suivantes :
F est quasi equilibree si + = = +q+1 q 1 1 q q
F est bien equilibree si + 1 = + = = +