Caractère d'isogénie et borne uniforme pour les homothéties Par Agnès DAVID

Agnes David

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Caractère d'isogénie et borne uniforme pour les homothéties Par Agnès DAVID Soutenue le mardi 2 décembre 2008 devant la commission d'examen : Gerhard FREY Loïc MEREL Rutger NOOT Pierre PARENT Jean-Pierre WINTENBERGER Rapporteur externe Rapporteur externe Rapporteur interne Examinateur Directeur de thèse

• caractère d'isogénie


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• examinateur directeur de thèse


• uniforme pour les homothéties


• rapporteur externe


• pierre parent

Informations

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• Publié le: 01 décembre 2008
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• Langue: Français

Extrait

Par Agnès DAVID

Caractère d’isogénie et borne uniforme
pour les homothéties

Soutenue le mardi 2 décembre 2008 devant la commission d'examen :

Gerhard FREY Rapporteur externe
Loïc MEREL Rapporteur externe
Rutger NOOT Rapporteur interne
Pierre PARENT Examinateur
Jean-Pierre WINTENBERGER Directeur de thèse
Agnes David
CARACTERE D’ISOGENIE
ET BORNE UNIFORME
POUR LES
HOMOTHETIESAgnes David CARACTERE D’ISOGENIE ET BORNE
UNIFORME POUR LES
HOMOTHETIES
Agnes DavidTABLE DES MATIERES
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
1. Etude locale aux places nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Hors de p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Au-dessus de p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Resume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Les types de familles (a ) possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17p p
2.1. Theorie du corps de classes pour le caractere . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Loi de reciprocite pour le caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Borne pour la hauteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Les familles de coe cients ( a ) possibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25p p
3. Forme du caractere d’isogenie - homotheties. . . . . . . . . . . . . . 35
3.1. Une version e ective du theoreme de Chebotarev. . . . . . . . . . . . 35
3.2. Deux formes pour le caractere d’isogenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3. Homotheties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51INTRODUCTION
L’objet de cette these est l’obtention de resultats uniformes sur
l’image des representations galoisiennes associees aux points de torsion
des courbes elliptiques possedant une isogenie de degre premier.
Le cadre precis se compose d’un corps de nombres K di erent de Q,
d’une courbe elliptique E de nie sur K et d’un nombre premier p.
Le module de Tate T (E) de E en p est un Z -module libre de rangp p
2 sur lequel le groupe de Galois absolu G de K agit Z -lineairement.K p
Cette action fournit donc une representation de G dans le groupep K
GL (T (E)).Z pp
Le groupe E(K)[p] des points de p-torsion de E dans une cl^ oture
algebriqueK deK est unF -espace vectoriel de dimension 2, isomorphep
au quotient T (E)=pT (E). L’action deG sur T (E) induit une actionp p K p
F -lineaire de G sur E(K)[p] qui donne une representation ’ de Gp K p K
dans GL (E(K)[p]).Fp
Lorsque des bases compatibles de T (E) et E(K)[p] sont xees, onp
peut considerer que est a valeurs dans GL (Z ) et ’ a valeurs dansp 2 p p
GL (F ) ; ’ correspond alors a la reduction de modulo p.2 p p p
Dans tout ce texte, on se place dans le cas ou la courbe elliptique E
possede une isogenie de degrep de nie sur K. Cela signi e que E possede
un sous-groupe d’ordre p de ni sur K. Pour tout la suite on xe V un
tele.
L’existence d’une isogenie de degrep de nie sur K implique que l’image
de la representation ’ est incluse dans un sous-groupe de Borel dep
GL (E(K)[p]) : dans une base de E(K)[p] dont le premier vecteur ap-Fp
partient a V (K), la representation ’ est triangulaire superieure.pii INTRODUCTION
Dans toute la suite du texte on xe egalement une telle base de E(K)[p]
et on considere la representation ’ comme a valeur dans GL (F ). Ellep 2 p
est alors de la forme
?
00
0 ou et sont deux caracteres de G dans F . Le caractere corres-K p
pond a l’action de G sur V (K) ; suivant la terminologie de [Maz78]K
et [Mom95], on l’appelle « caractere d’isogenie ». On sait de plus que
le determinant de la representation ’ est le caractere cyclotomique ;p p
0 1ceci implique que le caractere est egal auere .p
On suppose egalement a( partir de la partie 2.2 et jusqu’ a la n du
texte) que le corps K est galoisien surQ.
On obtient le resultat suivant (partie 3.2) sur la forme du caractere
d’isogenie :
Theoreme I. | Il existe un nombre reelC ne dependant que du corpsK
K et veri ant : si p est strictement plus grand que C , le caractereK
d’isogenie est de l’un des deux types suivants.
12 6Type (0) : Le caractere est egal a (dans ce cas, p est congrup
a 3 modulo 4) ;
Type (MC) : Il existe un corps quadratique imaginaire L veri ant
{ L est contenu dans K ;
{ p est totalement decompose dans L ;
{ le corps de classes de Hilbert de L est contenu dans K (en
particulier la norme dans l’extension K=L d’un ideal de K est
un ideal principal de L) ;
{ il existe un ideal p de L au-dessus de p veri ant : pour toutL
ideal maximal q de K premier a p, et tout element deOq L
12generateur de N (q), l’image par d’un relevement a GK=L K
12du Frobenius de q est mod p .Lq
On s’attend a ce que le type (0) ne se produise pas lorsquep est« assez
grand» et a ce que le type (MC) provienne de courbes a multiplication
complexe.
Le theoreme I a pour consequence (partie 3.3) :
Theoreme II. | Un nombre reel C satisfaisant le theoreme I veri eK
egalement : si p est strictement superieur a C , alors l’image de ’K p
contient les homotheties qui sont des puissances douziemes.INTRODUCTION iii
De plus, on determine de maniere e ective un nombre reel C satis-K
faisant le theoreme I. Les grandeurs associees au corps K qui entrent en
jeu sont les suivantes :
{ d le degre de K surQ ;
{ h le nombre de classes d’ideaux de K ;
{ le discriminant de K ;K
{ r le rang du groupe des unites deK (comme on a suppose l’exten-K
sion K=Q galoisienne, r est egal a d 1 si K est inclus dansR etK
da 1 sinon) ;
2
{ R le regulateur de K ;K
{ un reel strictement positif minorantd ln(h()) pour tout elementK
non nul de K qui n’est pas une racine de l’unite, ou h designe la
hauteur absolue surK ; on peut prendre (voir partie 2.3 et [BG96])
ln 2{ egal a si d vaut 1 ou 2 ;K r +1K 31 1 ln lnd{ egal a ou sid est superieur ou egal a 3.K 53d ln(6d) 1201 lnd
A partir de ces donnees on de nit :
(r 1)r +1K Kr
K KC (K) = et C (K) = exp (12dC (K)R ):1 2 1 K
2
On utilise egalement une constante absolue (et calculable)A, intervenant
dans une forme e ective du theoreme de Chebotarev (voir [ LMO79] et
partie 3.1). On a alors le resultat suivant :
Theoreme I’. | Le maximum des deux quantites
h i2d 12h 6h12d 6 Ah Ah65(3 1)(24d) et 2( ) C (K) + 2( )K 2 K
satisfait le theoreme I.
Une forme du theoreme I gure dej a dans l’article [ Mom95] de Mo-
mose, mais sans determination explicite de la constanteC ; le theoremeK
de Momose presente egalement un troisieme type, que l’on a ici elimine
(partie 3.2.1).
Ces resultats s’inscrivent dans le domaine des bornes uniformes sur
l’image des representations galoisiennes associees aux points de torsion
des courbes elliptiques.
On s’attend a ce que l’image de ’ soit « asymptotiquement grosse »p
au sens du resultat demontre par Serre dans [Ser72] :