Écoulement d'un film mince d'un fluide visqueux sur un plan incliné MF électronique interférences

Jprey

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
PHYSIQUE II Filière PC Concours Centrale-Supélec 1999 Le problème s'intéresse à divers aspects de l'écoulement et de l'étalement de liquides vis- queux sous forme de films minces. Il comporte des questions non calculatoires, pour les- quelles le candidat s'efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en général. Les parties I, II, III sont indépendantes. Hypothèses : L'écoulement est supposé incompressible. Le liquide est décrit par sa masse volumique , sa viscosité et sa viscosité cinématique supposées cons- tantes. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme avec . On note le champ des vitesses et le champ des accélérations. L'équation du mouve- ment d'une particule de fluide s'écrit alors : (1) Partie I - Écoulement d'un film mince sur un plan incliné Une goutte de fluide visqueux s'écoule sur un plan incliné d'angle (cf. figure 1 où sont défi- nies les directions unitaires , et ) en for- mant un film d'épaisseur localisé entre et . Le problème est invariant par translation selon et on a . I.A - On note une vitesse caractéristique selon , une épaisseur carac- téristique du film, et une longueur caractéristique du film selon . L'hypo- thèse film mince se traduit a priori par la condition , qu'on suppose vérifiée dans la suite.

• point de l'interface


• épaisseur carac- téristique du film


• ex ey ez


• aire de l'inter- face air-liquide


• film d'eau


• indice de l'huile


• interface liquide-air


• laser

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PHYSIQUE II Filière PC
Le problème s’intéresse à divers aspects de l’écoulement et de l’étalement de liquides vis-
queux sous forme de films minces. Il comporte des questions non calculatoires, pour les-
quelles le candidat s’efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en
général. Les parties I, II, III sont indépendantes.
Hypothèses : L’écoulement est supposé incompressible. Le liquide est décrit par sa
masse volumique rh, sa viscosité et sa viscosité cinématique nh=r⁄ supposées cons-
–2
tantes. Le champ de pesanteur terrestre g est supposé uniforme avec g = 98, m ? s.
On note u le champ des vitesses et a le champ des accélérations. L’équation du mouve-
ment d’une particule de fluide s’écrit alors :
1
ag= – gradp + nD u (1)---
Partie I - Écoulement d’un film mince sur un plan incliné
Une goutte de fluide visqueux s’écoule sur un z goutte
hxt(),plan incliné d’angle (cf. figure 1 où sont défi- gx ()tavnies les directions unitaires e , e et e ) en for-x y z + y O
mant un film d’épaisseur hxt(), localisé entre
xFigure 1x = 0 et xx= ()t . Le problème est invariantav
par translation selon e et on a u = 0 .y y
I.A - On note U une vitesse caractéristique selon e , h une épaisseur carac-x
téristique du film, et L une longueur caractéristique du film selon e . L’hypo-x
thèse "film mince" se traduit a priori par la condition h « L, qu’on suppose
vérifiée dans la suite.
I.A.1) Exprimer l’ordre de grandeur de u ⁄ u en fonction de L et h . Dansz x
la suite, on supposera que u 0 dans l’équation (1).z
2 2 2 2I.A.2)u ⁄ z , u ⁄ x et des composan-x x
tes selon e de nD u et ()u ?grad u en fonction de ,U ,L et h .x
I.A.3) À quelle condition sur h , L , U , et le terme d’accélération convec-
tive est-il négligeable devant le terme de viscosité dans l’équation (1) ? Cette
condition est supposée vérifiée dans la suite.
I.B -
I.B.1) On se place dans l’approximation des états quasi-stationnaires, ce qui
revient à négliger u ⁄ t dans l’équation (1). Cette approximation sera justifiée a
posteriori en I.C.2. Projeter l’équation (1) sur e et e .x z
I.B.2) En déduire l’expression de la pression p en fonction de hxt(), r, g, z, ,
et de la pression p imposée par l’atmosphère à l’interface liquide-air.0
I.B.3) La condition aux limites imposées par l’interface liquide-air s’écrit
u ⁄ z = 0 . Montrer que dans le cas où n’est pas trop petit, ce que l’on sup-x
pose dans la suite, on a :
Concours Centrale-Supélec 1999
an*¶¶¶*¶r¶*¶*¶a»a*n***¶****a*
PHYSIQUE II Filière PC
2
gsin z????u = ----------------- hz – ----- (2)xŁłŁł2
Préciser l’inégalité entre tan , L et h traduisant l’hypothèse " pas trop
petit".
I.B.4) Exprimer le débit volumique à travers la section d’épaisseur hxt(), et
de largeur L selon e en fonction de L ,hxt (), ,g ,an et .y
I.B.5) Une expérience de la vie quotidienne : hFigure 2 0
lorsqu’on incline rapidement un verre d’eau puis qu’on film d’eau
le repose en position verticale, un film d’eau apparaît, Hparoi g
puis disparaît progresssivement en s’écoulant vers le verticale
de verrefond (figure 2). En admettant que le film initial a une
épaisseur uniforme h et une hauteur H = 10 cm et0
qu’à la base du film, son épaisseur reste constamment égale à h , déterminer la0
–6 2 –1durée de vie T du film en fonction de g, h, et calculer T pour = 10 m ?s0
et .h = 05, m m0
I.C - On revient au problème général
I.C.1) Montrer que hxt(), est solution de :
3
h gsin h
+0----------------- ? --------- = (3)------
t 3 x
I.C.2) Déduire de l’équation (3) un ordre de grandeur de la durée caracté-
ristique de l’évolution temporelle de l’écoulement en fonction de g , an , , h et
L . Vérifier alors que l’hypothèse " u ⁄ t négligeable" dans l’équation (1) est
valide.
I.D - Dans cette question, on suppose qu’à l’instant t = 0 une goutte de petite
taille selon e , de largeur L selon e et invariante par translation selon e estx y y
déposée au voisinage de x = 0 . On note x ()t l’abscisse du front avant de l’écou-av
lement à l’instant t (figure 1). On cherche une solution hxt(), de l’équation (3)
sous la forme :
–
hx()>x = 0 et hx()<x = Cx t (4)av av
I.D.1) Déterminer les constantes positives bg , et C , puis écrire hxt(), pour
xx< .av
I.D.2) Calculer l’aire S de la section de la goutte dans le plan xOz en fonction
de x ()t , g , na, et t . En déduire que x ()t est proportionnel à t où est unav av
exposant à déterminer.
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b*aad*¶*nt*¶a*n¶nga¶¶¶dnPHYSIQUE II Filière PC
I.D.3) Le modèle adopté prévoit une discontinuité de h en hFigure 3
x ()t . En réalité, les phénomènes de tension superficielleav
limitent la raideur du front avant. On admet que ces phéno- b c
mènes sont associés à une énergie potentielle AS où A > 0
hest le coefficient de tension superficielle et S l’aire de l’inter-
hface air-liquide. En comparant les deux formes de surface
libre de la figure 3, évaluer c en fonction de h et b puis jus-
tifier le rôle modérateur de la tension superficielle.
Partie II - Etude expérimentale
On dépose à la date t = 0 une goutte z OO z
hx(), t = h ()td’huile, milieu transparent d’indice goutte A A
n , dont on veut mesurer la viscosité A x A()Pa b, au sommet O d’un miroir plan ver-
()Ptical ()P (figure 4a). La goutte s’étale
t = 0 txen restant "accrochée" en O et engen- x
dre un film dont l’épaisseur hxt(), du O()C
efront arrière (figure 4b) s’écrit pour
cun modèle invariant par translation ()P
selon : ey laser A
Figure 4x lame x
hxt(), = ------ (5)
gt cheminement du (des) rayon(s)
non détaillé
Un laser incident est dirigé sous inci-
dence quasi-normale sur un point A de l’interface huile-air. La lumière réfléchie
par le dispositif est ensuite récupérée par une photodiode ()C (figure 4c). Le
signal électrique délivré par la photodiode est traité puis envoyé dans un dispo-
sitif de comptage. Des lentilles non représentées sur la figure permettent de
focaliser le laser en A puis de faire l’image de A sur la cellule.
II.A - Dispositif de translation du laser
Pour régler x sans changer l’angle d’incidence duA Olamelaser, on intercale sur son trajet une lame à faces laser A0parallèles d’épaisseur e et d’indice n . Lorsqu’elle0 Aest traversée par le faisceau laser sous incidence
enormale, le faisceau frappe l’huile au point A x0 Figure 5
d’abscisse x . Lorsqu’on fait tourner la lame d’un0
petit angle , l’abscisse du nouveau point d’impact
A est x (figure 5). Exprimer x – x en fonction de , e et n en limitant lesA A 0 0
calculs à l’ordre un en . Application numérique : n = 15, ; calculer poure0
qu’une rotation =520? provoque une translation du faisceau laser de m. m
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qnqqqnqPHYSIQUE II Filière PC
II.B - Éclairement reçu par la photodiode
II.B.1) On observe un phéno- i en mA
mène d’interférences pour lequel Figure 6
la différence de marche vaut
200= 2nh ()t où n est l’indice deA
l’huile et h ()t l’épaisseur duA
film au point A à l’instant . t
150Quelles sont les deux ondes qui
interfèrent ? Justifier briève-
ment que le contraste n’est pas
100optimum.
II.B.2) On suppose pour sim-
plifier que les deux ondes qui
50interfèrent ont le même éclaire-
ment E . Établir l’expression de0
l’éclairement E au point A enA F = 0
fonction de E , h ()t , l et n . 00 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5A
F = F 0 V en VoltII.B.3) Le laser a un temps de
–8 F = 2F 0cohérence . Cela= 10 sc
-50entraîne-t-il en pratique une F = 3F 0
limitation sur l’épaisseur h F = 4F 0
admissible ?
F = 5F 0 -100
II.C - Traitement
électronique
La caractéristique de la photodiode est donnée sur la figure 6 pour différentes
valeurs de la puissance lumineuse reçue. On réalise le montage de la figure 7
où l’amplificateur opérationnel est idéal et de gain infini.
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ftdPHYSIQUE II Filière PC
II.C.1)Exprimer la tension V aux bornes de
Figure 7U la diode en fonction de R ,U et du courant i
qui la traverse (figure 7).
Vs Figure 8
V
i
+
V– réf
V S
R
R2
R1
t
0
Comment faut-il choisir le signe de U pour
que la tension V soit proportionnelle à , ce qu’on suppose dans la suite.s
II.C.2) La figure 8 donne l’allure du graphe de V ()t quand la gou