Genericite de la propriete de Morse Smale

Romain Joly

Description

Genericite de la propriete de Morse-Smale Romain Joly sous la direction de Genevieve Raugel April 7, 2006 1 Introduction Dans ce memoire, nous nous interessons aux problemes de transversalite de l'intersection des varietes stables et instables de points d'equilibres hyperboliques de systemes dy- namiques locaux de type gradient, engendres par des equations d'evolution. On rappelle qu'un systeme dynamique continu local est de type gradient s'il admet une fonctionnelle de Lyapounov (dans ce cas, s'il est non-vide, l'ensemble ?-limite de tout point est contenu dans l'ensemble des points d'equilibre). Un systeme dynamique de type gradient est dit de Morse-Smale si les points d'equilibre sont en nombre fini et sont tous hyperboliques, et si les varietes stables et instables de deux points d'equilibre s'intersectent toujours transversalement (c'est-a-dire qu'en tout point d'intersection, la somme des espaces tan- gents des deux varietes est egale a l'espace entier). En particulier, si V est un champ de vecteurs “gradients” sur une variete compacte M de dimension finie n, on dit que V est un champ de vecteurs gradients de Morse-Smale si le flot defini par ce champ de vecteurs est un systeme dynamique de Morse-Smale de type gradient. L'interet de l'etude de ces proprietes de transversalite a son origine dans l'etude de la stabilite des flots definis par des champs de vecteurs sur des varietes compactes et remonte aux theoremes de stabilite dus a Palis et Smale dans les annees 1970-1975.

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Extrait

G´en´ericit´edelaproprie´t´edeMorse-Smale

Romain Joly sousladirectiondeGenevie`veRaugel April 7, 2006

1 Introduction Dansceme´moire,nousnousinte´ressonsauxprobl`emesdetransversalite´del’intersection desvari´ete´sstablesetinstablesdepointsd’e´quilibreshyperboliquesdesyste`mesdy- namiqueslocauxdetypegradient,engendr´espardese´quationsd’´evolution.Onrappelle qu’unsyst`emedynamiquecontinulocalestdetypegradients’iladmetunefonctionnelle de Lyapounov (dans ce cas, s’il est non-vide, l’ensembleω-limite de tout point est contenu dansl’ensembledespointsd’´equilibre).Unsyste`medynamiquedetypegradientestdit deMorse-Smalesilespointsd’e´quilibresontennombrefinietsonttoushyperboliques, etsilesvari´et´esstablesetinstablesdedeuxpointsd’´equilibres’intersectenttoujours transversalement(c’est-`a-direqu’entoutpointd’intersection,lasommedesespacestan- gentsdesdeuxvarie´t´eseste´gale`al’espaceentier).Enparticulier,siVest un champ de vecteurs“gradients”surunevarie´t´ecompacteMde dimension finien, on dit queVest unchampdevecteursgradientsdeMorse-Smalesileflotd´efiniparcechampdevecteurs estunsyst`emedynamiquedeMorse-Smaledetypegradient.L’int´erˆetdel’e´tudedeces propri´t´esdetransversalite´asonoriginedansl’e´tudedelastabilit´edesflotsde´finispar e deschampsdevecteurssurdesvarie´t´escompactesetremonteauxthe´or`emesdestabilit´e dusa`PalisetSmaledanslesann´ees1970-1975.Eneffet,lesth´eor`emesdestabilit´ede Palis et Smale disent qu’un champ de vecteurs gradientsV 0 orpa´irpe´teedfiile´vreqiu Morse-Smaleeststructurellementstable,c’est-`a-direquetoutchampdevecteursgradi- entsVassez voisin deV 0 toapuoclealsetntuqeumievongti´qesrtcueedevahpmV 0 (lire [13]).Outresoninte´reˆtthe´orique,lastabilit´eadesapplicationspratiques:enanal- ysenumerique,lestrajectoirescalcul´eesnesontqu’uneapproximationdestrajectoires ´ re´elles.Lapropri´et´edestabilit´enouspermetd’affirmerquelecalculdonneunr´esultat qualitativement correct. Leth´eor`emedeKupka-Smale(voir[13])nousditquel’ensembledeschampsdevecteurs gradientsr´eguliersdeMorse-Smale,surunevari´et´ecompactededimensionfinien, est un ensemblege´ne´riquedansl’espacedeschampsdevecteursgradientsr´eguliers. Les´equationsauxde´riv´eespartiellesd’e´volutionfournissentdesexemplesdesyste`mes dynamiques (locaux) de dimension infinie. Il est donc naturel d’essayer de g´ ´ liser les enera the´ore`mesdestabilit´edePalisetSmaleainsiqueleth´eor`emedege´ne´ricite´deKupka- Smale.Cespropri´ete´snepassentpasparfaitement`aladimensioninfinie.Parexemple,la

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stabilite´structurellen’est,enge´ne´ral,conserve´equesurunensemblecompactmaximal Aet,creoiemm´censad(seriotcejartedneesbmelAstcejerio´edestraitcomposetsneaf borne´espourtouttempst∈Rcecoifs,tmpacnsDa).)essdcaleseme`tsytapissidA coı¨ncideavecl’attracteurglobalcompact,onpeutciterlag´en´eralisationsuivantedu the´ore`medePalis-Smale,duˆa`Oliva.Siunsyste`megradientdissipatifdedimension infinieesttelquetoussespointsd’e´quilibresonthyperboliquesetquetouteslesvari´ete´s stablesetinstablesdecese´quilibress’intersectenttransversalement,alorslesemi-flot restreinta`l’attracteurcompacteststructurellementstable(voir[6]). Lage´n´eralisationduthe´ore`medeKupka-Smaleauxsyst`emesdynamiques(etaussiaux syst`emesdynamiqueslocaux)engendre´spardes´equationsauxd´eriv´eespartiellesestun proble`meencorelargementouvert.Unedifficult´e,parmid’autres,estlalatitudedans lechoixduparam`etredeg´ene´ricit´e.Peuder´esultatsdetransversalit´esontconnus,si cen’estpourlesyst`emedynamiquelocaldetypegradientengendr´eparl’´equationde r´eaction-diffusion u t = Δu+f(x, u), pos´eesurunouvertborne´r´egulierΩdeR N avec, par exemple, la condition de Dirichlet homog`eneaubordu= 0 sur∂rdbo’atdeoh´nt,uuoT.Ω([9]et[1]),`rmeremerauqbael d´emontr´eparD.Henryen1985,ditquelesvarie´t´esstablesetinstablesdedeuxpoints d’´equilibrehyperboliquesquelconquess’intersectenttoujourstransversalement,dansle cas de la dimensionNarvsiatdtselusnevtearit´ersaltplun’eshlaM.1=emusreeur´cet,en endimensionsup´erieure(voir[15]pouruncontre-exemple)etn’estremplac´equeparune propri´et´eg´eneriquedetransversalit´e. ´ Lere´sultatduˆa`Brunovsk´yetPol´acˇikquioccuperalamajeurepartiedecem´emoire ditqu’ilexisteunensemblege´ne´riquedefonctionsf(x, u) telles que tous les points d’´equilibredeu t = Δu+f(x, uleabtisen-srueirav´te´tsseypthon)sleuqteseuqilobre stabless’intersectenttransversalement(voir[3]).Ilestinte´ressantderemarquerquela de´pendanceenxnctionsourdesfoicirpe´t´gale´ne’annusplaiss:ore´eceestnf(u) qui ne d´ependentquedeu(voir [16] pour un contre-exemple). Toutefois, le choix defbaelavirptsa’nseourstoujspertr`eE.tnenitteffenmoemcfest souventunedonn´eefixedansunee´quation.Aussi,peut-ons’inte´resser`acequicepasse quandonfaitvarierledomaineΩ(lire[10]et[19])cequiestplusre´alistedupointdevue delaphysique.Remarquonsfinalementquelage´n´ericite´delaproprie´te´detransversalit´e danslecasdel’´equationdesondesavecdissipationfaibleesttrait´eedans[4]. Danslapremi`erepartiedecem´emoire,nousrappelonsdesthe´ore`mesdetransversalit´e detypeSard-Smalequisontnotreoutilprincipaldanslad´emonstrationduthe´ore`mede Brunovsky´etPol´aˇcik.Ensuite,nousmontronslage´ne´ricit´eenf(x, uedtee´rp´ipaorel)d transversalite´pourl’e´quationdereaction-diffusionci-dessus.Enfin,nousde´montronsla ´ ge´n´ericit´edelapropri´ete´d’hyperbolicit´eparrapportaudomaineΩ.

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2Th´eoremesdetransversalite´ ` 2.1 Rappels sur les espaces de Baire OnappelleespacedeBaireunespacetelquetouteintersectiond´enombrabled’ouverts densesestencoredense.Leth´eor`emedeBaireditqu’unespaceme´triquecompletestun espacedeBaire,maisilexistedesespacesdeBairequinepeuventˆetrerenduscomplets parunchangementdem´etriquee´quivalente.OnappelleG δ enubaelmorbrsecinted´ention d’ouverts denses, lesG δ pserednoa`tndi’lorcottup”uourenpscad´eeeede“presquepar Baire(`arelierau“presquepartout”desmesuresdansR n  particulier, on note qu’une). En intersectiond´enombrabledeG δ est encore unG δ emnsne.Uqieuuotg´en´erbleestdi re´siduels’ilcontientunG δ te´iuqe´penUrpor.trtouepouvraiiestxdans unG δ est dite g´ene´rique,onditaussiqu’elleestve´rifi´eeg´ene´riquementenxou pour unxgenerique. ´ ´

2.2Unth´eor`emedeSardendimensioninfinie SoientMetVexnnetesbliacoes.selpe´sbaravxraduee´ds´iteachdeBanrentiff´e

De´finition2.2.1Soitf:M−→V, une fonction de classeC 1  point. Unx∈Mest ditpointr´egulierdefsiDf(x) :T x (M)−→T f(x) (V)stapeeteepoipel´sesttcviruejtn singuliersinon.L’imaged’unpointsingulierestunevaleursinguli`ere(oucritique),sinon c’estunevaleurr´eguli`ere(enparticulier,y∈Vseisere`iulegr´urlevanetuyn’est pas dans l’image). Onrappelleleth´eor`emedeSard: Th´eore`me2.2.1SiUest un ouvert deR p etf:U−→R q est de classeC s avecs > max(p−q,0), alors l’ensemble des valeurs critiques defdansR q est de mesure nulle. D´emonstration: tration d´On trouvera l dans [18]. a emons

L’id´eeestdedonneruneversiondeceth´eore`meendimensioninfiniepourlesapplications deFredholm.Eneffet,departlame´thodedeLyapounov-Schmidt,lesope´rateursde Fredholmsontlesbonsope´rateurssionveutfairepasserdesproprie´t´esdedimensionfinie `aladimensioninfinie. D´efinition2.2.2SoientXetYuedpsexsecaaBednie´oilnoc-niaer.Unenachicatappl tinueLdeXdansYre´ponutFedruetaesihdersmloI m(L),seertfeem´dim(Ker L) etcodim(I m L)osSonindicntfinies.:rapinfie´dtseeI nd(L) =dim(Ker L)− codim(I m L). Propri´ete´2.2.1sop´Letdel’ensembledespoe´aretrusaterrseuFrdehoedofmlnemronutrevu line´airescontinusetdeplusl’indiceestunefonctioncontinue.Enfin,lasommed’un ope´rateurdeFredholmetd’unope´rateurcompactestunop´erateurdeFredholmdemˆeme indice.

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