PDF Chapitres et conclusion annexes et résumé

Introini, Clément

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Lire le début de la thèse

• breve description


• probleme du changement d'echelle


• cadre de la construction de conditions aux limites effectives


• vitesse de melange


• parametre d'ordre


• fraction volumique


• interface d'epaisseur finie


• simulation numerique directe d'ecoulements diphasiques

Sujets

• Paramètre d'ordre

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
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• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 8 Mo

Extrait

Lire
le début
de la thèseChapitre III
Simulation num´erique directe
d’´ecoulements diphasiques
compositionnels
Nous avons vu dans le chapitre d’introduction g´en´erale (I) que les mod`eles d’´echange de cha-
leur propos´es `a l’´echelle de description du code d’´evaluation r´eacteur soulevaient de nombreuses
questions, tant d’un point de vue de la description adopt´ee de la couche limite que des aspects
multi-´echelle couplant les´echanges au front d’ablation et l’´ecoulement dans le puits de cuve. Dans
cecontexte,nousavonspr´esent´elastrat´egiededescriptionetdemod´elisationmulti-´echelledansla-
quelle s’inscrit ce travail. Nous avons, en particulier, pr´esent´e le probl`eme du changement d’´echelle
et le probl`eme de la description locale de l’´ecoulement multiphasique. Le probl`eme du changement
d’´echellea´et´eabord´edanslechapitrepr´ec´edent(II) dans lecadrede laconstructiondeconditions
aux limites effectives pour un probl`eme mod`ele d’´ecoulements laminaires anisothermes sur des pa-
roisrugueuses.Danslecaspluscomplexedes´ecoulementsmultiphasiques,lapremi`ere´etapeestde
disposerd’unoutildesimulationnum´eriquedirectea`l’´echelledufrontd’ablationpour,d’unepart,
avoir acc`es `a la structure de la couche limite difficilement accessible par l’exp´erience et mener une
analysecritiquedes diff´erentsmod`elespropos´es et, d’autrepart, construireune solutionapproch´ee
du probl`eme `a la petite´echelle pour le d´eveloppement de conditions aux limites effectives pour les
outils existants aux ´echelles de description sup´erieures.
Ce chapitre est consacr´e `a la construction d’un outil de simulation num´erique directe qui sera
utilis´e dans le chapitre (IV) pour l’´etude de la structure de la couche limite au voisinage du front
d’ablation. On s’int´eresse ici a` la d’un mod`ele de Cahn-Hilliard pour la simulation
d’´ecoulements diphasiques incompressibles sans changement de phase dont l’une des deux phases
est constitu´ee de deux esp`eces miscibles. Nous renvoyons le lecteur au chapitre d’introduction
g´en´erale pour les motivations conduisant a` cette classe d’´ecoulements diphasiques compositionnels
ainsi qu’au choix de la m´ethode.
Lemod`eledeCahn-Hilliarddiphasiquecompositionnelpropos´es’appuiesurunedescriptiondu
syst`eme selon trois param`etres d’ordre associ´es respectivement aux fractions volumiques du gaz et
desdeuxesp`ecesmisciblesdelaphaseliquide.Les´equationsdetransportdumod`elesontobtenues
danslecadredelathermodynamiquedesprocessusirr´eversiblesselondeuxcontraintes.Lapremi`ere
contrainte, commune aux diff´erents mod`eles multiphasiques propos´es, impose que la somme des
param`etres d’ordre vaille un a` chaque instant et en tout point. La deuxi`eme contrainte, sp´ecifique
a`laclassed’´ecoulements´etudi´es,estassoci´ee`alad´efinitiondelavitessedem´elange.Onadopteici
une d´efinition classique pour la partie purement compositionnelle, correspondant a` une moyenne
barycentrique de la vitesse du m´elange pond´er´ee par les masses volumiques, alors que la d´efinition
de la vitesse du m´elange dans le cas purement diphasique correspond a` une moyenne volumique
69´ ´Chapitre III. Simulation numerique directe d’ecoulements diphasiques
compositionnels
permettant dans ce cas de conserver une vitesse de m´elange `a divergence nulle. Le mod`ele s’appuie
´egalement sur une d´ecomposition originale de l’´energie libre selon une contribution diphasique et
une contribution compositionnelle. Selon cette d´ecomposition, le mod`ele propos´e d´eg´en`ere bien
vers un mod`ele de Cahn-Hilliard diphasique lorsque l’un des constituants liquides est absent et
vers un mod`ele de diffusion massique lorsque la phase non-miscible est absente.
Apr`es avoir rappel´e dans la premi`ere partie l’´elaboration d’un mod`ele de Cahn-Hilliard di-
phasique (cf. (III.1)), nous pr´esentons dans la deuxi`eme partie la construction d’un mod`ele de
Cahn-Hilliard diphasique compositionnel (cf. (III.2)). Comme les mod`eles de type
sont bas´es sur une mod´elisation diffuse des interfaces, nous devons nous assurer que le mod`ele
propos´e converge bien vers le mod`ele dit “sharp” correspondant a` une description classique des
interfaces,c’est-`a-direlorsqu’ellessont assimil´ees`a des surfaces de discontinuit´edou´ees de propri´e-
t´es en exc`es telle que la tension de surface. Pour cela, nous r´ealisons une analyse asymptotique
dite “sharp” dans le cadre de la m´ethode des d´eveloppements asymptotiques raccord´es et nous
pr´esentons l’ensemble des d´eveloppements dans l’annexe (A).
A partir du mod`ele propos´e, nous proposons dans la partie (III.3) un sch´ema de discr´etisation
entempsetenespacedansuncontexte´el´ementsfinisdanslecadredel’approximationdeGalerkin.
Nouspr´esentonsensuitedanslapartie(III.4)unem´ethodedestabilisationparviscosit´eentropique
et nous renvoyons le lecteur au chapitre d’introduction (cf. (I)) pour une discussion sur les liens
avec les m´ethodes de simulation des grandes ´echelles pour les probl`emes a` interfaces. La partie
(III.5) est consacr´e au traitement num´erique des conditions aux limites de sortie pour les mod`eles
detypeCahn-Hilliard.Ils’agitdanscettepartiedeproposerunesolutionquipermetted’am´eliorer
le comportement des interfaces en sortie du domaine de calcul. Enfin, nous pr´esentons dans la
derni`ere partie de ce chapitre (cf. (III.6)) des exp´eriences num´eriques permettant, d’une part, de
valider l’outil de simulation num´erique directe d´evelopp´e au travers des pr´ec´edentes parties et,
d’autre part, de montrer ses potentialit´es d’applications sur des probl`emes complexes.
III.1 Mod`ele de Cahn-Hilliard diphasique
Danscettepartie,onseproposededonnerunebr`evedescriptiond’unmod`eledeCahn-Hilliardpour
deux constituants (ou phases) non miscibles. Ce rappel a pour but d’introduire la d´emarche qui
serautilis´eedanslasection(III.2)pourled´eveloppementd’unmod`eledeCahn-Hilliarddiphasique
compositionnel.
Unemod´elisationdetypeCahn-Hilliardpourunsyst`emediphasiqueconsiste`ad´ecrirelesdeux
phases du syst`eme au travers d’une indicatrice de phase r´egularis´ee ' appel´ee param`etre d’ordre.
Comme l’indicatrice de phase, le param`etre d’ordre prend les valeurs 0 et 1 dans les phases mais
varie continumenˆ t au travers de l’interface sur une longueur caract´eristique ? (cf. Fig.III.1). Les
mod`eles de Cahn-Hilliard ou, plus g´en´eralement, les m´ethodes a` interface diffuse consistent a`
mod´eliser les interfaces comme des zones de transition volumique de longueur caract´eristique ?au
travers desquelles les propri´et´es des fluides (e.g. densit´e, viscosit´e, ...) varient brusquement mais
continumenˆ t. Si, pour des syst`emes diphasiques avec changement de phase, le param`etre d’ordre
peut ne pas avoir de r´eelle signification physique (e.g. [131]), il est g´en´eralement associ´e a` une
fraction massique ou `a une fraction volumique pour des syst`emes sans changement de phase. On
cite ici en particulier le mod`ele propos´e par Lowengrub et Truskinovsky [110] dans le cas ou` la
fraction massique joue le rˆole de param`etre d’ordre et les mod`eles propos´es par Antanovskii [7],
Boyer [22] ou encore Chupin et Jamet [88] dans le cas ou` c’est la fraction volumique qui joue le
rˆole de param`etre d’ordre. Dans le cas ou` les deux phases ont la mˆeme densit´e ou dans le cadre
d’une approximation de type Boussinesq, ces mod`eles sont formellement identiques et se r´eduisent
au mod`ele propos´e par Jacqmin [85].
De notre point de vue, le choix d’une fraction volumique comme param`etre d’ordre semble
70`III.1. Modele de Cahn-Hilliard diphasique
1
?
'
0
(a) Exemple de mod´elisation d’une bulle (b) Profil du param`etre d’ordre ' `a travers l’interface
de gaz (' = 1) a` l’´equilibre dans un liquide
(' = 0)
Fig. III.1: Evolution du param`etre d’ordre ' pour un syst`eme diphasique.
ˆetre mieux adapt´e pour la r´esolution num´erique, essentiellement en raison des non-lin´earit´es dans
les ´equations de Cahn-Hilliard et de Navier-Stokes dues a` la masse volumique du m´elange [110].
Nous choisissons donc ici la fraction volumique comme param`etre d’ordre et nous donnons ici, une
br`eve description d’un mod`ele diphasique qui pr´esente de plus l’avantage d’une vitesse de m´elange
`a divergence nulle comme les autres m´ethodes de simulation num´erique directe (e.g. VOF [20, 81],
Level-Set [64, 140], Front-Tracking [145, 146]). Nous rappelons ici la d´efinition de la vitesse de
m´elange propos´ee par Boyer [22] et le mod`ele de Cahn-Hilliard diphasique obtenu par Jamet et
Chupin [88] dans le cadre de la thermodynamique des processus irr´eversibles.
Pour d´ecrire l’´evolution d’un m´elange diphasique, o